Fiche de révision : Mécanique du point et des systèmes

📋 Plan du Cours

1. Théorèmes fondamentaux du point
2. Systèmes de particules et barycentre
3. Forces intérieures et bilans dynamiques
4. Solides en rotation autour d’un axe
5. Pendules et applications énergétiques
6. Chocs entre particules
7. Frottements solides et fluides
8. Véhicules à roues

📖 1. Théorèmes fondamentaux du point

🔑 Notions clés & Définitions

• Force centrale : Dirigée selon le rayon reliant le centre de force au mobile, de sorte que son moment cinétique par rapport au centre est nul.

📝 Points essentiels

📐 Formule - Pour un système fermé dans un référentiel galiléen, le TMC autour d’un point fixe O s’écrit $\frac{d\vec L_O}{dt}=\sum \vec M_O(\vec F_{ext})$.

📐 Formule - Le théorème de l’énergie cinétique donne $\Delta E_c=\sum W$, où la somme porte sur les travaux des forces appliquées au système.

📐 Formule - Pour des forces conservatives, $W_{cons}=-\Delta E_p$ et la variation d’énergie mécanique vaut le travail des forces non conservatives, $\Delta E_m=\sum W_{NC}$.

💡 Astuce mémo

Le PFD suit la translation, le TMC suit la rotation.

📖 2. Systèmes de particules et barycentre

🔑 Notions clés & Définitions

• Centre de masse : G d’un système de particules est son barycentre, défini par $\sum_i m_i\overrightarrow{GH_i}=\vec 0$.
• Référentiel barycentrique : Lié au centre de masse G et en translation par rapport au référentiel d’étude.

★ À maîtriser

📐 Formule - La quantité de mouvement totale d’un système vaut $\vec p_{syst}=M\vec V_G$ dans le référentiel d’étude, tandis qu’elle est nulle dans le référentiel barycentrique.

📐 Formule - Le second théorème de König donne $E_c=E_c^{*}+\frac12 MV_G^2$ pour l’énergie cinétique totale.

Compléments

📐 Formule - Le premier théorème de König donne $\vec L_O=\vec L_O^{*}+\overrightarrow{OG}\wedge M\vec V_G$ pour le moment cinétique total.

📖 3. Forces intérieures et bilans dynamiques

🔑 Notions clés & Définitions

• Force intérieure : Exercée par une particule du système sur une autre particule du même système.

★ À maîtriser

📐 Formule - Dans un référentiel galiléen, le PFD appliqué à un système de particules donne $M\frac{d\vec V_G}{dt}=\sum\vec F_{ext}$.

📐 Formule - Dans un référentiel galiléen, le TMC appliqué au système autour de O donne $\frac{d\vec L_O}{dt}=\sum\vec M_O(\vec F_{ext})$.

📐 Formule - Pour un système dans un référentiel galiléen, le TEC donne $\Delta E_c=\sum(W_{ext}+W_{int})$.

Compléments

• Les forces intérieures et leurs moments résultants se compensent deux à deux selon le principe des actions réciproques.

• Dans un solide, la somme des travaux des forces intérieures peut être nulle ou non nulle ; un travail intérieur négatif correspond à une dissipation d’énergie.

• La puissance des forces intérieures peut être non nulle, par exemple lorsque des frottements internes provoquent un échauffement.

💡 Astuce mémo

Les forces intérieures se compensent globalement → les bilans du système ne gardent que les actions extérieures.

📖 4. Solides en rotation autour d’un axe

🔑 Notions clés & Définitions

• Solide : Un système dont la distance entre deux points quelconques reste constante.
• Couple : Un ensemble de forces de résultante nulle et de moment non nul.
• Moment d’inertie : Autour d’un axe, défini par $J_z=\int r^2\,dm$ et exprimé en kg·m².

📝 Points essentiels

📐 Formule - Le moment d’une force par rapport à l’axe orienté Δ est la projection sur l’axe du moment en O : $M_{\Delta}(\vec F)=(\overrightarrow{OH}\wedge\vec F)\cdot\vec u_z$.

📐 Formule - Le moment cinétique d’un solide tournant autour d’un axe fixe vérifie $L_z=J_z\omega$, où J_z est son moment d’inertie.

📐 Formule - Pour un solide en rotation autour d’un axe fixe dans un référentiel galiléen, le TMC s’écrit $J_z\frac{d\omega}{dt}=\sum M_z^{ext}$.

📐 Formule - L’énergie cinétique de rotation d’un solide autour d’un axe fixe est $E_c^{rot}=\frac12J_z\omega^2$.

📖 5. Pendules et applications énergétiques

★ À maîtriser

📐 Formule - Pour un solide en rotation, le TEC s’écrit $\Delta E_c=\sum W_{ext}$ ; le cours indique que le travail total des forces intérieures est nul pour un solide.

📐 Formule - Pour un pendule de torsion soumis au couple de rappel et au frottement fluide, l’équation est $J\ddot\theta+h\dot\theta+C\theta=0$ lorsque l’angle de référence est nul.

📐 Formule - Pour un pendule pesant de masse m, dont le centre de masse est à distance a de l’axe, le TMC donne $J\ddot\theta=-mga\sin\theta$.

Compléments

📐 Formule - La puissance d’un moment de force appliqué à un solide en rotation vaut $P=M_z\omega$.

📐 Formule - Le régime pseudo-périodique du pendule de torsion correspond à $h^2-4JC<0$, et son décrément logarithmique entre deux maxima successifs vaut $\delta=\frac{hT}{2J}$.

📌 Le pendule pesant possède une position d’équilibre stable en θ=0 et une position instable en θ=π.

📖 6. Chocs entre particules

📝 Points essentiels

📌 Lors d’un choc pseudo-isolé, la quantité de mouvement totale du système des deux particules se conserve.

📌 Un choc élastique conserve l’énergie cinétique totale, tandis qu’un choc mou dissipe une partie de cette énergie en chaleur ou en déformation.

💡 Astuce mémo

Choc élastique : énergie cinétique conservée ; choc mou : énergie dissipée.

📖 7. Frottements solides et fluides

★ À maîtriser

📐 Formule - En roulement sans glissement, la vitesse du centre de la roue vérifie $V=a\omega$.

📌 En glissement, la force tangentielle de Coulomb s’oppose à la vitesse de glissement et sa norme est proportionnelle à la réaction normale.

📌 Sans glissement, la force tangentielle vérifie $T\leq f_sN$, avec un coefficient de frottement statique supérieur ou égal au coefficient de frottement cinétique.

📐 Formule - À faible vitesse, la force de traînée fluide est proportionnelle à la vitesse et opposée à celle-ci : $\vec F_{frot}=-h\vec V$.

Compléments

📐 Formule - La vitesse de glissement au contact est la différence entre les vitesses du point de contact appartenant aux deux solides : $\vec V_g=\vec V(I\in S_1/R)-\vec V(I\in S_2/R)$.

• La réaction d’un support se décompose en une composante tangentielle T et une composante normale N.

💡 Astuce mémo

Solide : frottement borné sans glissement ; fluide : traînée liée à la vitesse.

📖 8. Véhicules à roues

★ À maîtriser

📐 Formule - À vitesse constante, pour une charrette à roues bloquées, la force de traction doit compenser la traînée et les frottements au sol : $F=hV^2+4fN$.

• Pour une charrette en roulement sans glissement, le moment des forces autour de l’axe de chaque roue impose une force tangentielle T nulle et la traction ne compense que la traînée de l’air.

📐 Formule - Pour un véhicule motorisé en roulement sans glissement, le moment moteur réparti sur les deux roues avant donne $T_{av}=\frac{\Gamma_m}{2a}$, tandis que la force tangentielle aux roues arrière est nulle.

• Le véhicule motorisé avance grâce au frottement de la route sur ses roues motrices, qui fournit la force nécessaire pour compenser la traînée de l’air.

Compléments

📐 Formule - À vitesse constante en roulement sans glissement, la puissance motrice compense la puissance de la traînée : $P_m=\Gamma_m\omega=hV^3$.

💡 Astuce mémo

Roues bloquées : traction contre le frottement du sol ; RSG : pas de frottement tangent requis pour la charrette.