Fiche de révision : Calculs et arithmétique

📋 Plan du Cours

1. Opérations sur les fractions
2. Puissances et notation scientifique
3. Diviseurs et divisibilité
4. Nombres premiers et factorisation
5. Fractions irréductibles
6. PGCD et PPCM

📖 1. Opérations sur les fractions

★ À maîtriser

• Pour additionner ou soustraire des fractions, on les réduit au même dénominateur, on additionne ou soustrait les numérateurs, puis on simplifie si possible.

📌 Pour multiplier deux fractions, on multiplie les numérateurs entre eux et les dénominateurs entre eux, puis on simplifie si possible, avec des dénominateurs non nuls.

📌 Diviser un nombre par un nombre non nul revient à multiplier ce nombre par l’inverse du diviseur.

Compléments

📐 Formule - Pour $b \ne 0$ et $d \ne 0$, le produit de deux fractions vérifie $\frac{a}{b}\times\frac{c}{d}=\frac{a\times c}{b\times d}$.

• La division $\frac{4}{5}\div\frac{3}{2}$ donne $\frac{4}{5}\times\frac{2}{3}=\frac{8}{15}$.

💡 Astuce mémo

Même dénominateur, calcul des numérateurs, puis simplification.

📖 2. Puissances et notation scientifique

🔑 Notions clés & Définitions

• Puissance : Le produit de n facteurs égaux à a, où n est un entier positif non nul et a un nombre relatif.
• Notation scientifique : Un nombre est en notation scientifique lorsqu’il s’écrit $a\times10^n$, avec $1\le a<10$ et n un entier positif ou négatif.

★ À maîtriser

📐 Formule - Pour $a\ne 0$, une puissance négative vérifie $a^{-n}=\frac{1}{a^n}$.

📐 Formule - Les règles des puissances sont $a^m\times a^n=a^{m+n}$, $\frac{a^m}{a^n}=a^{m-n}$, $(a^m)^n=a^{m\times n}$, $(ab)^m=a^mb^m$ et $\left(\frac{a}{b}\right)^m=\frac{a^m}{b^m}$.

• Dans une expression comportant des puissances, on calcule d’abord les parenthèses, puis les puissances, puis les multiplications et les divisions.

Compléments

• Les cas particuliers sont $a^0=1$, $a^1=a$, $a^{-1}=\frac{1}{a}$, $1^n=1$ et $0^n=0$.

💡 Astuce mémo

Les parenthèses fixent le signe : (-5)² = 25, mais -5² = -25.

📖 3. Diviseurs et divisibilité

🔑 Notions clés & Définitions

• Multiple : Pour des entiers naturels a et b, a est un multiple de b s’il existe un entier naturel k tel que $a=k\times b$ ; alors b est un diviseur de a et a est divisible par b.
• Entier naturel : Un nombre entier positif ou nul.

★ À maîtriser

📌 Un entier est divisible par 2 s’il est pair, par 5 s’il se termine par 0 ou 5, et par 4 si le nombre formé par ses deux derniers chiffres est divisible par 4.

📌 Un entier est divisible par 3 si la somme de ses chiffres est divisible par 3, et divisible par 9 si la somme de ses chiffres est divisible par 9.

Compléments

• Tout entier naturel est un diviseur de 0 et de lui-même, 0 est un multiple de tout entier naturel, tout entier naturel est un multiple de 1 et de lui-même, et 1 est un diviseur de tout entier naturel.

📖 4. Nombres premiers et factorisation

🔑 Notions clés & Définitions

• Nombre premier : Un nombre entier positif qui admet exactement deux diviseurs : 1 et lui-même.

★ À maîtriser

• Tout nombre supérieur ou égal à 2 se décompose en produit de facteurs premiers, et cette décomposition est unique à l’ordre près.

Compléments

• Le nombre 8 n’est pas premier car il est divisible par 2, le nombre 1 n’est pas premier car il n’a qu’un diviseur, et 0 n’est pas premier car il est divisible par tout nombre non nul.

• La décomposition de 84 en facteurs premiers est $84=2^2\times3\times7$.

📖 5. Fractions irréductibles

🔑 Notions clés & Définitions

• Fraction irréductible : Une fraction dont le numérateur et le dénominateur n’ont aucun diviseur commun autre que 1.

★ À maîtriser

• 🔄 Pour rendre une fraction irréductible :
  1. Décomposer le numérateur en facteurs premiers
  2. Décomposer le dénominateur en facteurs premiers
  3. Simplifier par tous les facteurs communs

Compléments

• En simplifiant $\frac{204}{72}$ par ses facteurs premiers communs, on obtient $\frac{17}{6}$.

💡 Astuce mémo

Décomposer, repérer les facteurs communs, puis simplifier.

📖 6. PGCD et PPCM

🔑 Notions clés & Définitions

• PGCD : Le plus grand diviseur commun de plusieurs nombres.
• PPCM : Le plus petit multiple commun non nul de plusieurs nombres.

★ À maîtriser

• Pour trouver un PGCD, on peut lister les diviseurs des nombres et choisir le plus grand en commun, ou décomposer les nombres en facteurs premiers et retenir les facteurs communs.

• Pour trouver un PPCM, on peut lister les premiers multiples non nuls et choisir le plus petit en commun, ou décomposer les nombres en facteurs premiers et compléter la décomposition de l’un avec les facteurs manquants de l’autre.

Compléments

• Le PGCD de 70 et 245 est 35, et leur PPCM est 490.

💡 Astuce mémo

Le PGCD retient les facteurs communs ; le PPCM complète les facteurs manquants.

📊 Tableaux de synthèse

PGCD et PPCM