QCM : Calculs et arithmétique (18 questions)

Questions et réponses du QCM

1. Pour calculer 23+14\frac{2}{3}+\frac{1}{4}, quelle méthode faut-il appliquer ?

Réduire les fractions au même dénominateur, additionner les numérateurs, puis simplifier si possible.
Soustraire les numérateurs après avoir multiplié les dénominateurs.
Additionner les numérateurs et les dénominateurs, puis simplifier si possible.
Multiplier les numérateurs et les dénominateurs, puis simplifier si possible.

Réduire les fractions au même dénominateur, additionner les numérateurs, puis simplifier si possible.

Explication

L’addition s’effectue après réduction au même dénominateur, puis les numérateurs sont additionnés et le résultat peut être simplifié. Multiplier les numérateurs et les dénominateurs correspond à la règle du produit de fractions, pas à celle de leur somme.

2. Comment calcule-t-on le produit 23×54\frac{2}{3}\times\frac{5}{4} ?

On multiplie les numérateurs entre eux et les dénominateurs entre eux, puis on simplifie si possible.
On additionne les numérateurs et les dénominateurs séparément, puis on simplifie si possible.
On réduit au même dénominateur, puis on additionne les numérateurs et on simplifie si possible.
On multiplie le premier numérateur par le second dénominateur et on conserve les autres termes.

On multiplie les numérateurs entre eux et les dénominateurs entre eux, puis on simplifie si possible.

Explication

Pour multiplier des fractions, on multiplie leurs numérateurs entre eux et leurs dénominateurs entre eux, puis on simplifie si possible. La réduction au même dénominateur est une étape utilisée pour une addition ou une soustraction.

3. Pour calculer 7÷237\div\frac{2}{3}, quelle opération équivalente peut-on effectuer ?

Calculer 7+327+\frac{3}{2}, en remplaçant le diviseur par son inverse.
Calculer 7×237\times\frac{2}{3}, en multipliant par le diviseur lui-même.
Calculer 23÷7\frac{2}{3}\div 7, en inversant l’ordre des termes.
Calculer 7×327\times\frac{3}{2}, en multipliant par l’inverse du diviseur.

Calculer $$7\times\frac{3}{2}$$, en multipliant par l’inverse du diviseur.

Explication

Diviser par un nombre non nul revient à multiplier par l’inverse de ce nombre, ici 32\frac{3}{2}. Multiplier par 23\frac{2}{3} utilise le diviseur lui-même plutôt que son inverse.

4. Que représente (−3)4(-3)^4 d’après la définition d’une puissance à exposant entier positif non nul ?

La somme de quatre termes égaux à −3-3.
Le produit de −3-3 par quatre facteurs égaux à 33.
Le produit de quatre facteurs égaux à −3-3.
Le produit de trois facteurs égaux à −4-4.

Le produit de quatre facteurs égaux à $$-3$$.

Explication

Une puissance ana^n désigne le produit de nn facteurs égaux à aa ; ici, il y a donc quatre facteurs égaux à −3-3. La somme de quatre termes égaux à −3-3 correspond à une addition répétée, et non à la définition de cette puissance.

5. Pour a≠0a\ne 0, à quoi est égal a−3a^{-3} ?

À l’inverse de aa, élevé à la puissance 33, soit (1a)3\left(\frac{1}{a}\right)^3.
À l’opposé de a3a^3, soit −a3-a^3.
À l’inverse de a3a^3, soit 1a3\frac{1}{a^3}.
À aa multiplié par −3-3, soit −3a-3a.

À l’inverse de $$a^3$$, soit $$\frac{1}{a^3}$$.

Explication

Une puissance négative est l’inverse de la puissance positive correspondante : a−3=1a3a^{-3}=\frac{1}{a^3}. Elle ne signifie pas que la valeur de la puissance est rendue négative; l’expression (1a)3\left(\frac{1}{a}\right)^3 est toutefois équivalente à l’inverse donné.

6. Dans l’expression 3+22×53+2^2\times 5, dans quel ordre faut-il effectuer les opérations ?

Calculer la puissance, puis l’addition, puis la multiplication.
Calculer la multiplication, puis l’addition, puis la puissance.
Calculer l’addition, puis la puissance, puis la multiplication.
Calculer la puissance, puis la multiplication, puis l’addition.

Calculer la puissance, puis la multiplication, puis l’addition.

Explication

Les puissances sont calculées avant les multiplications et les divisions, qui précèdent ensuite les additions et les soustractions. Effectuer l’addition avant la puissance ne respecte pas les priorités opératoires.

7. Laquelle de ces écritures est une notation scientifique valide ?

10,2×10210,2\times10^2
72×10−372\times10^{-3}
7,2×10−47,2\times10^{-4}
0,72×1050,72\times10^5

$$7,2\times10^{-4}$$

Explication

En notation scientifique, le coefficient est compris entre 1 inclus et 10 exclu, et l’exposant de 10 est un entier. Les coefficients 0,72, 72 et 10,2 ne respectent pas cet intervalle.

8. Si 42=6×742=6\times7, quelle conclusion décrit correctement la relation entre 42 et 6 ?

6 est un multiple de 42, et 42 est un diviseur de 6.
6 et 42 sont tous deux des multiples de 7, sans relation de divisibilité entre eux.
42 est un multiple de 6, et 6 est un diviseur de 42.
42 est un diviseur de 6, et 6 est divisible par 42.

42 est un multiple de 6, et 6 est un diviseur de 42.

Explication

Comme 42=6×742=6\times7 avec un entier naturel 7, 42 est un multiple de 6 et 6 est un diviseur de 42. La relation inverse ne découle pas de cette égalité, car 6 n’est pas égal à 42 multiplié par un entier naturel.

9. Quel critère permet de déterminer si 1 316 est divisible par 4 ?

Vérifier si le nombre est pair, ce qui suffit à prouver sa divisibilité par 4.
Vérifier si son dernier chiffre, 6, est égal à 0 ou à 5.
Vérifier si le nombre formé par ses deux derniers chiffres, 16, est divisible par 4.
Vérifier si la somme de ses chiffres est divisible par 4.

Vérifier si le nombre formé par ses deux derniers chiffres, 16, est divisible par 4.

Explication

La divisibilité par 4 se teste à partir du nombre formé par les deux derniers chiffres : 16 est divisible par 4, donc 1 316 l’est aussi. Être pair constitue le critère de divisibilité par 2, mais ne suffit pas à établir la divisibilité par 4.

10. Un entier a une somme de chiffres égale à 27. Que peut-on en conclure à l’aide des critères de divisibilité par 3 et par 9 ?

L’entier est divisible par 3, mais pas par 9.
La somme des chiffres ne permet de conclure ni pour 3 ni pour 9.
L’entier est divisible par 3 et par 9.
L’entier est divisible par 9, mais pas par 3.

L’entier est divisible par 3 et par 9.

Explication

La somme des chiffres, 27, est divisible à la fois par 3 et par 9 ; l’entier est donc divisible par ces deux nombres. Le critère du 3 ne suffit pas à lui seul à établir la divisibilité par 9, mais ici la somme vérifie également le critère du 9.

11. Quelle propriété définit un nombre entier positif premier ?

Il possède au moins trois diviseurs positifs distincts.
Il possède exactement deux diviseurs : 1 et lui-même.
Il possède un nombre pair de diviseurs positifs.
Il est divisible par tous les entiers inférieurs à lui.

Il possède exactement deux diviseurs : 1 et lui-même.

Explication

Un nombre entier positif est premier lorsqu’il admet exactement deux diviseurs, 1 et lui-même. Un nombre ayant au moins trois diviseurs, comme 8, n’est pas premier.

12. Que peut-on affirmer de la décomposition en facteurs premiers d’un entier supérieur ou égal à 2 ?

Elle existe et est unique, à l’ordre des facteurs près.
Elle existe seulement lorsque l’entier est lui-même premier.
Elle est unique et les facteurs doivent être rangés dans l’ordre croissant.
Elle existe, mais plusieurs décompositions différentes sont possibles.

Elle existe et est unique, à l’ordre des facteurs près.

Explication

Tout entier supérieur ou égal à 2 se décompose en facteurs premiers, et cette décomposition est unique si l’on ne tient pas compte de l’ordre des facteurs. L’ordre croissant n’est pas une condition d’unicité : les facteurs peuvent être écrits dans différents ordres.

13. Comment reconnaît-on qu’une fraction est irréductible ?

Son numérateur et son dénominateur n’ont aucun diviseur commun autre que 1.
Son numérateur et son dénominateur sont tous deux des nombres premiers.
Son dénominateur est supérieur à son numérateur et ils sont différents.
Son numérateur et son dénominateur ont le même nombre de diviseurs.

Son numérateur et son dénominateur n’ont aucun diviseur commun autre que 1.

Explication

Une fraction est irréductible lorsque son numérateur et son dénominateur n’ont aucun diviseur commun autre que 1. Le fait que les deux nombres soient premiers n’est pas nécessaire pour qu’une fraction soit irréductible.

14. Quelle démarche permet de rendre une fraction irréductible à l’aide de la factorisation ?

Décomposer le numérateur et le dénominateur en facteurs premiers, puis simplifier par tous les facteurs communs.
Remplacer le numérateur et le dénominateur par leurs plus grands facteurs premiers respectifs.
Décomposer le numérateur et le dénominateur en facteurs premiers, puis multiplier par les facteurs communs.
Additionner les facteurs premiers du numérateur et du dénominateur, puis réduire leur différence.

Décomposer le numérateur et le dénominateur en facteurs premiers, puis simplifier par tous les facteurs communs.

Explication

La méthode consiste à factoriser le numérateur et le dénominateur, puis à simplifier par chacun de leurs facteurs premiers communs. Multiplier par les facteurs communs ne simplifie pas la fraction et ne la rend pas irréductible.

15. Que désigne le PGCD de plusieurs nombres ?

Le plus grand nombre qui est un multiple de chacun d’eux.
Le plus grand nombre qui divise chacun d’eux.
Le plus petit nombre non nul qui est un multiple de chacun d’eux.
Le plus petit nombre qui divise chacun d’eux.

Le plus grand nombre qui divise chacun d’eux.

Explication

Le PGCD est le plus grand diviseur commun aux nombres considérés. Le plus petit multiple commun non nul correspond au PPCM, et non au PGCD.

16. Pour trouver le PGCD de deux nombres, quelle démarche convient ?

Additionner leurs diviseurs communs, ou retenir les facteurs premiers présents dans un seul nombre.
Lister leurs multiples et retenir le plus petit en commun, ou compléter leurs facteurs premiers manquants.
Multiplier leurs facteurs premiers communs, puis choisir le plus petit diviseur obtenu.
Lister leurs diviseurs et retenir le plus grand en commun, ou comparer leurs facteurs premiers communs.

Lister leurs diviseurs et retenir le plus grand en commun, ou comparer leurs facteurs premiers communs.

Explication

On peut chercher le PGCD en listant les diviseurs et en choisissant le plus grand commun, ou en repérant les facteurs premiers communs. La recherche du plus petit multiple commun est une méthode pour le PPCM, pas pour le PGCD.

17. Quelle définition correspond au PPCM de plusieurs nombres ?

Le plus petit diviseur commun non nul de ces nombres.
Le plus petit multiple commun non nul de ces nombres.
Le plus grand multiple commun de ces nombres.
Le plus grand diviseur commun de ces nombres.

Le plus petit multiple commun non nul de ces nombres.

Explication

Le PPCM est le plus petit multiple commun non nul des nombres considérés. Le plus grand diviseur commun est le PGCD, ce qui distingue les deux notions.

18. Pour déterminer le PPCM par factorisation, que faut-il faire ?

Supprimer de la décomposition de l’un les facteurs premiers absents de l’autre.
Additionner les exposants des facteurs premiers communs aux deux nombres.
Compléter la décomposition en facteurs premiers de l’un des nombres avec les facteurs manquants de l’autre.
Retenir dans les deux décompositions les seuls facteurs premiers communs.

Compléter la décomposition en facteurs premiers de l’un des nombres avec les facteurs manquants de l’autre.

Explication

Pour obtenir le PPCM par factorisation, on complète la décomposition de l’un des nombres avec les facteurs manquants de l’autre. Ne retenir que les facteurs communs conduit à une démarche associée au PGCD, pas au PPCM.

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Quelle est la première étape pour additionner ou soustraire des fractions ?

Les réduire au même dénominateur.

Comment calcule-t-on le numérateur du résultat d’une addition ou soustraction de fractions ?

On additionne ou soustrait les numérateurs.

Que fait-on après une addition ou soustraction de fractions, si possible ?

On simplifie le résultat.

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