Fiche de révision : Champs électromagnétiques dans la matière

📋 Plan du Cours

1. Vie et interaction des ondes
2. Outils mathématiques des ondes
3. Delta de Dirac et convolution
4. Séries et transformées de Fourier
5. Champs de Maxwell et propagation
6. Spectre angulaire et diffraction naturelle
7. Régimes de diffraction paraxiale
8. Ondes évanescentes et résolution
9. Approximation dipolaire et champ lointain
10. Champs et puissance rayonnée
11. Diffusion et diffraction des ondes
12. Moyennage spatial et champs macroscopiques
13. Charges et courants liés
14. Relations constitutives et dispersion
15. Modèles microscopiques de polarisation
16. Causalité et relations de Kramers-Kronig
17. Propagation et énergétiques des ondes
18. Conditions d’interface et réfraction

📖 1. Vie et interaction des ondes

★ À maîtriser

• Les ondes électromagnétiques transportent l’essentiel des informations échangées et leurs longueurs d’onde s’étendent sur douze ordres de grandeur, des ondes radio kilométriques aux ondes ultraviolettes nanométriques.

• 🔄 La vie d’une onde comporte trois étapes:

  1. Émission par une antenne, un radar ou un laser
  2. Propagation dans le vide, l’air, un milieu dense ou un guide
  3. Interaction avec la matière par diffusion, absorption ou réflexion

📌 Un matériau n’est pas intrinsèquement transparent ou opaque : le verre transmet le visible mais bloque l’ultraviolet, tandis que le silicium est opaque dans le visible et transparent dans l’infrarouge.

Compléments

• Le cours s’organise autour de quatre questions: Pourquoi une ouverture diffracte et détermine la largeur angulaire d’un faisceau, D’où viennent l’indice de réfraction et la permittivité, Quelle est l’origine de l’atténuation et de l’absorption, Que devient une onde lorsqu’elle rencontre une interface

💡 Astuce mémo

Émission → propagation → interaction avec la matière

📖 2. Outils mathématiques des ondes

🔑 Notions clés & Définitions

• Distribution de Dirac : Définie par son action dans une intégrale : $\int f(\mathbf r)\,\delta(\mathbf r-\mathbf r_0)\,d^3r=f(\mathbf r_0)$.
• Fonction de Green : $G(\mathbf r)=\frac{1}{4\pi r}$ et constitue la réponse de l’opérateur $\Delta$ à une source ponctuelle unitaire, car $\Delta G(\mathbf r)=-\delta(\mathbf r)$.

★ À maîtriser

📐 Formule - La distribution de Dirac est normalisée par $\int \delta(\mathbf r)\,d^3r=1$ et se factorise en trois dimensions selon $\delta(\mathbf r)=\delta(x)\delta(y)\delta(z)$.

• Toute fonction d’espace et de temps peut être décomposée en ondes planes de vecteur d’onde k et de pulsation ω selon une transformée de Fourier bidimensionnelle.

📐 Formule - Pour l’équation des ondes $\frac{\partial^2 f}{\partial x^2}-\frac{1}{c^2}\frac{\partial^2 f}{\partial t^2}=0$, la relation de dispersion est $\omega^2=c^2k^2$ et la solution générale s’écrit $f(x,t)=F_+(x-ct)+F_-(x+ct)$.

📐 Formule - Avec la convention temporelle $e^{-i\omega t}$, une grandeur réelle monochromatique s’écrit $A(\mathbf r,t)=\operatorname{Re}[A(\mathbf r)e^{-i\omega t}]$ et sa moyenne produituelle vérifie $\langle AB\rangle_t=\frac12\operatorname{Re}(AB^*)$.

Compléments

📐 Formule - La transformée de Fourier d’une porte spatiale de largeur L est $\widetilde A(k)=L\,\operatorname{sinc}(kL/2)$, avec $\operatorname{sinc}(x)=\sin(x)/x$, et ses largeurs caractéristiques vérifient $\Delta x\,\Delta k\sim2\pi$.

💡 Astuce mémo

Restriction spectrale → relation de dispersion → profils se propageant

📖 3. Delta de Dirac et convolution

🔑 Notions clés & Définitions

• Onde plane : La transformée de Fourier d'une onde plane $A(x)=e^{ik_0x}$ est $2\pi\delta(k-k_0)$.
• Produit de convolution : Le produit de convolution de deux fonctions est défini par $$(f*g)(t)=\int_{-\infty}^{+\infty}f(t')g(t-t'),dt'=\int_{-\infty}^{+\infty}f(t-t')g(t'),dt'.$

📝 Points essentiels

📐 Formule - Pour une fenêtre rectangulaire de largeur L, $\lim_{L\to+\infty}\int_{-L/2}^{L/2}e^{-ikx}\,dx=2\pi\delta(k)$ au sens des distributions.

📐 Formule - La transformée de Fourier d'une convolution est le produit des transformées : $\widetilde{f*g}(\omega)=\widetilde f(\omega)\,\widetilde g(\omega)$.

💡 Astuce mémo

Pic de Dirac : plus haut et plus étroit, mais même aire

📖 4. Séries et transformées de Fourier

★ À maîtriser

📐 Formule - Pour une fonction périodique de période d, les nombres d'onde sont $k_n=\frac{2\pi n}{d}$ et la série de Fourier s'écrit $f(x)=\sum_{n=-\infty}^{+\infty}c_ne^{ik_nx}$.

📐 Formule - Avec la convention du cours, la transformée et la transformée inverse sont $\widetilde f(k)=\int_{-\infty}^{+\infty}f(x)e^{-ikx}\,dx$ et $f(x)=\int_{-\infty}^{+\infty}\widetilde f(k)e^{ikx}\frac{dk}{2\pi}$.

📐 Formule - La transformée de Fourier conserve l'énergie selon la relation de Parseval-Plancherel $\int_{-\infty}^{+\infty}|f(x)|^2dx=\int_{-\infty}^{+\infty}|\widetilde f(k)|^2\frac{dk}{2\pi}$.

📐 Formule - La largeur quadratique moyenne vérifie l'inégalité d'incertitude $\Delta x\,\Delta k\geq\frac12$, avec égalité pour une gaussienne.

Compléments

📌 La largeur d'une fonction et celle de sa transformée varient en proportion inverse : rétrécir une fonction d'un facteur a élargit exactement sa transformée du même facteur.

💡 Astuce mémo

Convoluer dans le temps → multiplier en fréquence

📖 5. Champs de Maxwell et propagation

🔑 Notions clés & Définitions

• Théorème de Helmholtz : Le théorème de Helmholtz décompose un champ vectoriel suffisamment régulier et décroissant à l'infini en une partie rotationnelle et une partie irrotationnelle : $\mathbf C=\operatorname{curl}\mathbf A-\operatorname{grad}V$.

📝 Points essentiels

📌 Dans l'espace de Fourier, un champ transverse vérifie $\widetilde{\mathbf C}(\mathbf k)\perp\mathbf k$ et est équivalent à $\operatorname{div}\mathbf C=0$, tandis qu'un champ longitudinal vérifie $\widetilde{\mathbf C}(\mathbf k)\parallel\mathbf k$ et est équivalent à $\operatorname{curl}\mathbf C=0$.

📐 Formule - Les potentiels électromagnétiques s'expriment par $\mathbf B=\operatorname{curl}\mathbf A$ et $\mathbf E=-\frac{\partial\mathbf A}{\partial t}-\operatorname{grad}V$.

📌 La transformation de jauge $\mathbf A' = \mathbf A-\operatorname{grad}X$ et $V'=V+\frac{\partial X}{\partial t}$ laisse inchangés les champs électrique et magnétique.

📐 Formule - Dans le vide, la vitesse de propagation électromagnétique vérifie $c^2=\frac{1}{\epsilon_0\mu_0}$ et vaut $c=299\,792\,458\ \mathrm{m\,s^{-1}}$.

📐 Formule - Pour une onde plane se propageant dans la direction $\mathbf e_x$, les champs sont transverses et vérifient $\mathbf e_x\times\mathbf E=c\mathbf B$, de sorte que le trièdre $\left(\mathbf k,\mathbf E,\mathbf B\right)$ est direct.

📐 Formule - La densité d'énergie électromagnétique et le vecteur de Poynting sont $u=\frac{\epsilon_0E^2}{2}+\frac{B^2}{2\mu_0}$ et $\mathbf\Pi=\frac{\mathbf E\times\mathbf B}{\mu_0}$.

💡 Astuce mémo

Helmholtz → potentiels → jauge → onde → polarisation → énergie

📖 6. Spectre angulaire et diffraction naturelle

🔑 Notions clés & Définitions

• Spectre angulaire : Transformée de Fourier du champ dans le plan z=0 et donne l’amplitude des ondes planes dans chaque direction.

📝 Points essentiels

📐 Formule - La décomposition bidimensionnelle du champ dans un plan z constant s’écrit $\Psi(x,y,z)=\iint \widetilde{\Psi}(\alpha,\beta,z)e^{i(\alpha x+\beta y+\gamma z)}\frac{d\alpha}{2\pi}\frac{d\beta}{2\pi}$.

• Pour un champ se propageant dans la direction z>0, on calcule sa transformée de Fourier dans le plan z=0, on conserve le terme exponentiel progressif et on superpose les ondes planes obtenues pour déterminer le champ à tout z>0.

📐 Formule - Les composantes du vecteur d’onde vérifient la relation de dispersion dans le vide $\alpha^2+\beta^2+\gamma^2=\frac{\omega^2}{c^2}$.

📐 Formule - Pour une ouverture ou un faisceau de largeur Δx, l’angle maximal de divergence vérifie approximativement $\theta_{\max}\approx\frac{\lambda}{\Delta x}$ pour les petits angles.

💡 Astuce mémo

Ouverture finie → fréquences transverses → divergence angulaire

📖 7. Régimes de diffraction paraxiale

🔑 Notions clés & Définitions

• Principe de Huygens-Fresnel : Décrit le champ diffracté comme la superposition d’ondelettes sphériques émises par chaque point de la surface source.

★ À maîtriser

📐 Formule - Dans l’approximation de Fraunhofer, la condition de champ lointain est $\frac{L^2}{\lambda}\ll z$, où L est la dimension caractéristique de l’ouverture.

📌 L’approximation de Fresnel conserve le terme quadratique associé aux coordonnées de la source, tandis que l’approximation de Fraunhofer le néglige et transforme la diffraction en transformée de Fourier.

📐 Formule - En diffraction de Fraunhofer, le champ diffracté est proportionnel à la transformée de Fourier du champ après la pupille, évaluée aux fréquences spatiales $f_x=\frac{x}{\lambda z}$ et $f_y=\frac{y}{\lambda z}$.

Compléments

📐 Formule - Dans le plan focal d’une lentille de focale f, une fréquence spatiale fx est située à la position $x=\lambda f f_x$, et l’intensité mesurée est proportionnelle au carré du module de la transformée de Fourier du champ incident.

💡 Astuce mémo

Fresnel proche, Fraunhofer lointain

📖 8. Ondes évanescentes et résolution

★ À maîtriser

📌 Une onde plane est propagative lorsque γ est réel, tandis qu’elle est évanescente lorsque γ est imaginaire et que son amplitude décroît exponentiellement selon z.

📐 Formule - Seules les composantes spatiales vérifiant $\alpha^2+\beta^2<\frac{\omega^2}{c^2}$ peuvent se propager selon z.

• La fréquence spatiale maximale qui se propage est $\frac{1}{\lambda}$, de sorte que les détails plus petits que la longueur d’onde sont perdus après propagation sur plusieurs longueurs d’onde.

Compléments

• En microscopie en champ proche, un détecteur placé à une distance inférieure à la longueur d’onde mesure les ondes évanescentes et permet une résolution meilleure que la longueur d’onde de détection.

• Pour un réseau périodique de période d, le spectre spatial contient la fréquence fondamentale 1/d et ses harmoniques n/d, qui peuvent produire des ordres de diffraction discrets.

💡 Astuce mémo

Fréquences ≤ 1/λ se propagent, fréquences > 1/λ s’évanouissent

📖 9. Approximation dipolaire et champ lointain

★ À maîtriser

📌 L’approximation dipolaire exige que la taille de la source vérifie L ≪ λ, tandis que l’approximation de champ lointain exige L²/λ ≪ r ; l’approximation dipolaire implique donc le champ lointain.

📐 Formule - Dans l’approximation dipolaire, le potentiel vecteur s’écrit $\mathbf{A}(\mathbf{r})=\frac{\mu_0}{4\pi}\frac{e^{i\omega r/c}}{r}(-i\omega\mathbf{p})$.

📐 Formule - Le moment dipolaire vérifie $\frac{d\mathbf{p}(t)}{dt}=\int_V\mathbf{j}(\mathbf{r},t)\,d^3r$.

Compléments

• 🔄 Le développement multipolaire fournit successivement: la contribution dipolaire électrique, les contributions dipolaire magnétique et quadrupolaire électrique, les contributions multipolaires d’ordres supérieurs

💡 Astuce mémo

Dipolaire : L ≪ λ ; champ lointain : L²/λ ≪ r

📖 10. Champs et puissance rayonnée

★ À maîtriser

📐 Formule - En champ lointain, le champ magnétique vérifie $\mathbf{B}=i\mathbf{k}\times\mathbf{A}$ et le champ électrique vérifie $\mathbf{E}=i\omega\mathbf{A}_{\perp}$, où A⊥ est la composante de A perpendiculaire à la direction d’observation.

📌 En champ lointain, les ondes sphériques ont localement la structure d’ondes planes et le champ électrique est transverse à la direction de propagation.

📐 Formule - Pour des champs électromagnétiques sinusoïdaux, la moyenne temporelle du vecteur de Poynting est $\langle\mathbf{\Pi}\rangle_t=\frac{1}{2}\operatorname{Re}\left\{\frac{\mathbf{E}\times\mathbf{B}^*}{\mu_0}\right\}=\frac{\epsilon_0c}{2}\omega^2|\mathbf{A}_{\perp}|^2$.

📐 Formule - Pour un dipôle harmonique, la puissance rayonnée moyenne vaut $\langle\Pi\rangle_t=\frac{\mu_0}{32\pi^2c}\frac{\omega^4|\mathbf{p}_{\perp}|^2}{r^2}$.

📐 Formule - La puissance totale rayonnée par un dipôle accéléré est donnée par la formule de Larmor $P=\frac{\mu_0}{6\pi c}|\ddot{\mathbf{p}}|^2$.

Compléments

📐 Formule - La force de réaction radiative d’une charge est la force d’Abraham-Lorentz $\mathbf{F}_{\mathrm{rad}}=\frac{q^2}{6\pi\epsilon_0c^3}\,\dddot{\mathbf{r}}$.

💡 Astuce mémo

Charge accélérée → dipôle oscillant → rayonnement et perte d’énergie

📖 11. Diffusion et diffraction des ondes

🔑 Notions clés & Définitions

• Diffusion élastique : Diffusion sans changement de fréquence de l’onde incidente.

★ À maîtriser

• La diffusion se produit lorsqu’une onde incidente induit des courants dans un milieu, ces courants devenant des sources secondaires qui rayonnent un champ diffusé.

📐 Formule - Pour N diffuseurs ayant le même facteur d’amplitude S, le facteur de structure est $S(\mathbf{q})=S\sum_j\exp[-i\mathbf{q}\cdot\mathbf{r}_j]$, avec $\mathbf{q}=\mathbf{k}_d-\mathbf{k}_{\mathrm{inc}}$.

📌 Lorsque la longueur d’onde est grande devant la taille du système, les champs diffusés sont en phase et le flux diffusé est proportionnel à N² ; lorsque la taille devient comparable à la longueur d’onde, l’intensité dépend de la structure spatiale des diffuseurs.

📐 Formule - Dans un cristal, l’amplitude diffusée est proportionnelle à la transformée de Fourier de la densité électronique, et la diffraction apparaît dans les directions vérifiant $\mathbf{k}_d=\mathbf{k}_{\mathrm{inc}}+\mathbf{G}$.

Compléments

📐 Formule - Pour un atome, le facteur de diffusion atomique est $f_{\mathrm{at}}(\mathbf{q})=\sum_j\exp[-i\mathbf{q}\cdot\mathbf{r}_j]$, la somme portant sur tous les électrons de l’atome, et il vaut Z dans la direction avant où q = 0.

📐 Formule - Pour une diffusion par un milieu ordonné, la section efficace différentielle est proportionnelle à $\frac{d\sigma}{d\Omega}\propto|\rho_e(\mathbf{q})|^2$, où ρe(q) est la transformée de Fourier de la densité électronique.

💡 Astuce mémo

Diffuseur unique → ensemble de diffuseurs → cristal périodique

📖 12. Moyennage spatial et champs macroscopiques

🔑 Notions clés & Définitions

• Moyennage spatial : Remplace les distributions microscopiques de charge et de courant par des fonctions continues et supprime leurs variations rapides, en agissant comme un filtre passe-bas spatial.

★ À maîtriser

📌 La longueur caractéristique L de la fonction de moyennage doit être grande devant la taille de la microstructure et petite devant la longueur d’onde des champs électromagnétiques.

📐 Formule - La densité de charge moyennée est définie par $\langle\rho(\mathbf r)\rangle=\int \rho(\mathbf r')f(\mathbf r-\mathbf r')\,d^3r'.$

📐 Formule - La dérivée d’une grandeur moyennée est égale à la moyenne de sa dérivée, par exemple $\frac{\partial\langle\mathbf E\rangle}{\partial x}=\left\langle\frac{\partial\mathbf E}{\partial x}\right\rangle.$

Compléments

• Pour une charge ponctuelle q située en r₀, le moyennage spatial donne une charge répartie selon $\langle\rho(\mathbf r)\rangle=qf(\mathbf r-\mathbf r_0).$

📐 Formule - Les équations macroscopiques sans charges sources conservent la forme $\operatorname{curl}\langle\mathbf E\rangle=-\frac{\partial\langle\mathbf B\rangle}{\partial t}$ et $\operatorname{div}\langle\mathbf B\rangle=0.$

💡 Astuce mémo

Microstructure rapide → moyennage spatial → champs macroscopiques continus

📖 13. Charges et courants liés

🔑 Notions clés & Définitions

• Polarisation : Une densité de moment dipolaire électrique créée par le déplacement des charges dans la matière.
• Magnétisation : Une densité de moment magnétique provenant notamment des courants intramoléculaires et des moments de spin et orbitaux.

📝 Points essentiels

📐 Formule - La densité de courant moyennée se décompose selon $\langle\mathbf j\rangle=\mathbf j_{\mathrm{free}}+\frac{\partial\mathbf P}{\partial t}+\operatorname{curl}\mathbf M,$ avec des contributions libre, de polarisation et de magnétisation.

📐 Formule - Les champs auxiliaires sont définis par $\mathbf D=\varepsilon_0\langle\mathbf E\rangle+\mathbf P$ et $\mathbf H=\frac{\langle\mathbf B\rangle}{\mu_0}-\mathbf M.$

📐 Formule - Les équations macroscopiques avec les champs auxiliaires s’écrivent $\operatorname{div}\mathbf D=\rho_{\mathrm{free}}$ et $\operatorname{curl}\mathbf H=\frac{\partial\mathbf D}{\partial t}+\mathbf j_{\mathrm{free}}.$

💡 Astuce mémo

Charges libres : déplacement macroscopique ; charges liées : polarisation et magnétisation

📖 14. Relations constitutives et dispersion

🔑 Notions clés & Définitions

• Relation constitutive : Décrit le comportement d’un matériau en reliant sa polarisation ou son courant au champ électromagnétique appliqué.

★ À maîtriser

📐 Formule - Dans un milieu homogène, isotrope, linéaire et local en régime harmonique, on a $\mathbf D=\varepsilon_0\varepsilon_r(\omega)\mathbf E$, $\mathbf B=\mu_0\mu_r(\omega)\mathbf H$ et $\mathbf j_{\mathrm{free}}=\sigma(\omega)\mathbf E.$

📌 Un milieu homogène ne dépend pas de la position, tandis qu’un milieu isotrope ne dépend pas de l’orientation du champ ; dans un milieu anisotrope, P et E ne sont généralement pas colinéaires.

📐 Formule - La dispersion correspond à une réponse dépendant de la fréquence, décrite par $\mathbf P(\omega)=\varepsilon_0\chi(\omega)\mathbf E(\omega).$

📐 Formule - En régime dynamique, les courants libre et de polarisation sont regroupés dans le courant effectif $\mathbf j_{\mathrm{eff}}=\mathbf j_{\mathrm{free}}+\frac{\partial\mathbf P}{\partial t},$ associé à $\varepsilon_r^{\mathrm{eff}}=\varepsilon_r(\omega)+\frac{i\sigma(\omega)}{\omega\varepsilon_0}.$

Compléments

• La dispersion provient de l’inertie des charges : leur réponse dépend du champ passé, ce qui produit une relation temporelle par convolution plutôt qu’une réponse instantanée.

💡 Astuce mémo

Homogénéité → isotropie → linéarité → localité → dispersion

📖 15. Modèles microscopiques de polarisation

★ À maîtriser

📐 Formule - Pour un électron lié élastiquement, la constante diélectrique relative vérifie $\varepsilon_r(\omega)=1-\frac{n_0e^2}{\varepsilon_0m}\frac{1}{\omega^2-\omega_0^2+i\gamma\omega}$, où n₀ est la densité électronique et ω₀ la pulsation propre.

📐 Formule - Dans l’approximation des faibles perturbations, le mouvement électronique se décompose en $r(t)=r_0(t)+r_1(t)$, et la contribution induite vérifie $m\frac{d^2r_1}{dt^2}=-m\omega_0^2r_1-m\gamma\frac{dr_1}{dt}-eE$.

📐 Formule - Pour des molécules possédant un dipôle permanent p₀, la polarisation statique au premier ordre est $P=n\left(\alpha+\frac{p_0^2}{3kT}\right)E_m$, où α représente la déformation électronique et Eₘ le champ moléculaire.

📐 Formule - Avec le champ moléculaire de Lorentz $E_m=E+\frac{P}{3\varepsilon_0}$, la constante diélectrique vérifie $\frac{\varepsilon_r-1}{\varepsilon_r+2}=\frac{n}{3\varepsilon_0}\left[\alpha+\frac{p_0^2}{3kT}\frac{1}{1-i\omega\tau}\right]$.

Compléments

📐 Formule - Pour une onde harmonique, l’amplitude du déplacement électronique est $r_1(\omega)=\frac{eE}{m}\frac{1}{\omega^2-\omega_0^2+i\gamma\omega}$.

📐 Formule - La polarisation d’orientation suit une relaxation exponentielle décrite par $\frac{dP_{or}}{dt}+\frac{1}{\tau}P_{or}=0$ lorsque le champ extérieur est supprimé.

💡 Astuce mémo

Champ extérieur → déplacement électronique → polarisation

📖 16. Causalité et relations de Kramers-Kronig

🔑 Notions clés & Définitions

• Causalité : La causalité impose qu’un effet ne puisse pas se produire avant sa cause, ce qui entraîne que la réponse temporelle G(t) est nulle pour t<0.

★ À maîtriser

📐 Formule - La susceptibilité électrique relie la polarisation au champ par $P(\omega)=\varepsilon_0\chi(\omega)E(\omega)$ et la constante diélectrique par $\chi(\omega)=\varepsilon_r(\omega)-1$.

📐 Formule - Les relations de Kramers-Kronig relient les parties réelle et imaginaire de la susceptibilité : $\chi'(\omega_0)=\frac{1}{\pi}\mathcal{P}\int_{-\infty}^{\infty}\frac{\chi''(\omega')}{\omega'-\omega_0}d\omega'$ et $\chi''(\omega_0)=-\frac{1}{\pi}\mathcal{P}\int_{-\infty}^{\infty}\frac{\chi'(\omega')}{\omega'-\omega_0}d\omega'.$

Compléments

📌 Pour un matériau conducteur en régime permanent, la conductivité ajoute à la partie imaginaire de la susceptibilité le terme $\frac{\sigma}{\varepsilon_0\omega}$.

💡 Astuce mémo

Causalité → analyticity → lien entre dispersion et absorption

📖 17. Propagation et énergétiques des ondes

★ À maîtriser

📐 Formule - Dans un milieu homogène, l’équation de Helmholtz est $\Delta E(r,\omega)+n^2(\omega)\frac{\omega^2}{c^2}E(r,\omega)=0$, avec $n^2(\omega)=\varepsilon_r(\omega)\mu_r(\omega)$.

📌 La partie réelle de l’indice détermine la vitesse de phase $v_\varphi=c/n'$, tandis que sa partie imaginaire détermine l’atténuation de l’amplitude sur la longueur $\delta=\lambda_0/(2\pi n'')$.

📐 Formule - Dans un plasma sans pertes, la relation de dispersion est $\omega^2=c^2k^2+\omega_p^2$, et la propagation électromagnétique est impossible pour $\omega<\omega_p$.

📐 Formule - La puissance moyenne dissipée par unité de volume dans un milieu diélectrique vaut $\left\langle\frac{\partial P}{\partial V}\right\rangle_t=\frac{\omega\varepsilon_0}{2}\operatorname{Im}(\varepsilon_r)|E|^2$.

Compléments

📐 Formule - Le vecteur de Poynting est $\Pi=E\times H$ et le bilan local d’énergie s’écrit $\frac{\partial w_{EM}}{\partial t}+\operatorname{div}\Pi=-\frac{\partial P_{abs}}{\partial V}$.

📐 Formule - La vitesse de groupe est $v_g=\left(\frac{dk'}{d\omega}\right)^{-1}$, tandis que la vitesse d’énergie est $v_E=\frac{\langle\Pi\rangle}{\langle u_E\rangle}$.

💡 Astuce mémo

Partie réelle de n : phase ; partie imaginaire de n : atténuation

📖 18. Conditions d’interface et réfraction

🔑 Notions clés & Définitions

• Milieu double négatif : Milieu dont la permittivité et la perméabilité relatives sont toutes deux négatives, avec ε_r<0 et \mu{}_r<0 ; son indice peut être choisi négatif, $n=-\sqrt{\varepsilon_r\mu_r}$.
• Métamatériau : Matériau artificiel composite dont les propriétés effectives, notamment la permittivité diélectrique et la perméabilité magnétique, sont contrôlées par une structuration de méta-atomes à une échelle inférieure à la longueur d’onde.
• Guide d’ondes : Système linéaire possédant un axe invariant par translation le long duquel une onde se propage en confinant l’énergie.

📝 Points essentiels

• À une interface, la composante normale de l’induction électrique vérifie D_{n,1}-D_{n,2}=σ_{free}, où σ_{free} est la densité de charge libre surfacique.

• La composante normale de l’induction magnétique est continue à l’interface : B_{n,1}=B_{n,2}.

• La composante tangentielle du champ électrique est continue à l’interface : E_{tg,1}=E_{tg,2}.

📐 Formule - La loi de Snell-Descartes impose $\sin\theta_i=\sin\theta_r$ et $n_1\sin\theta_i=n_2\sin\theta_t$.

📐 Formule - Pour une polarisation TE entre deux milieux non magnétiques, les facteurs complexes d’amplitude sont $r=\frac{\gamma_i-\gamma_t}{\gamma_i+\gamma_t}$ et $t=\frac{2\gamma_i}{\gamma_i+\gamma_t}$.

📐 Formule - Les facteurs d’intensité sont définis par $R=|r|^2$ et $T=|t|^2\frac{\operatorname{Re}(\gamma_t)}{\operatorname{Re}(\gamma_i)}$.

📌 Pour des milieux diélectriques sans pertes, la conservation de l’énergie donne R+T=1, mais la relation générale est $R+T=1+\frac{2\operatorname{Im}(\gamma_i)\operatorname{Im}(r)}{\operatorname{Re}(\gamma_i)}$.

• Lors d’une réflexion totale, l’onde transmise devient évanescente : son amplitude décroît exponentiellement dans le second milieu, tandis que |r|=1 et T=0.

📌 Dans un matériau double négatif, le vecteur d’onde k et le vecteur de Poynting Π, qui représente le transport d’énergie, sont orientés en sens opposés.

📐 Formule - À l’interface entre un milieu double positif et un milieu double négatif, la réfraction vérifie $\sqrt{\varepsilon_1\mu_1}\sin\theta_1=-\sqrt{\varepsilon_2\mu_2}\sin\theta_2$, ce qui produit un angle réfracté négatif.

📌 Dans un milieu doublement négatif, où $\varepsilon<0$ et $\mu<0$, le vecteur d’onde et le vecteur de Poynting sont opposés, ce qui produit une réfraction négative à l’interface avec un milieu doublement positif.

📐 Formule - La loi de réfraction à l’interface entre les deux milieux s’écrit $\sqrt{\varepsilon_1\mu_1}\sin(\theta_1)=-\sqrt{\varepsilon_2\mu_2}\sin(\theta_2)$.

• Les métamatériaux obtiennent une permittivité négative avec un réseau de fils métalliques et une perméabilité négative avec des résonateurs en anneau fendu, dont la résonance est de type LC. - J. Pendry, Extremely Low Frequency Plasmons in Metallic Mesostructures, 1996

💡 Astuce mémo

D_n saute avec σ_free, tandis que B_n et E_tg restent continus

📊 Tableaux de synthèse

Décompositions d'un champ vectoriel

Régimes de diffraction