Fiche de révision : Cinématique du point

📋 Plan du Cours

1. Repérage du point dans l’espace
2. Position et trajectoire du point
3. Déplacement, vitesse et accélération
4. Coordonnées des grandeurs cinématiques
5. Mouvement rectiligne
6. Mouvement à accélération constante
7. Mouvement circulaire
8. Repère de Frenet et courbure
9. Composantes de l’accélération

📖 1. Repérage du point dans l’espace

🔑 Notions clés & Définitions

• Cinématique : Partie de la mécanique qui étudie les mouvements indépendamment des causes qui les produisent.
• Référentiel : Solide de référence, réel ou fictif, par rapport auquel on étudie le mouvement d’un objet.
• Point matériel : Solide dont on peut négliger l’extension spatiale et la rotation sur lui-même.
• Repère temporel : Ensemble constitué d’une origine des temps, d’un axe temporel orienté et d’une unité de temps qui le gradue.

★ À maîtriser

📌 Le repère de référence est cartésien et lié au référentiel, tandis que le repère d’étude est choisi pour décrire le mouvement et peut être le repère de référence, un autre repère cartésien, cylindrique ou sphérique.

📌 La mécanique classique suppose que le temps est absolu et identique dans deux référentiels en mouvement l’un par rapport à l’autre ; cette hypothèse est valable lorsque la vitesse du mobile est très inférieure à celle de la lumière.

Compléments

• La position d’un point dans l’espace est complètement déterminée par trois coordonnées.

• Le mouvement n’a pas de signification absolue et se définit toujours par rapport à un autre objet.

• En mécanique classique, le repérage spatial utilise un ou plusieurs repères orthonormés directs de dimension 3 ; un repère de dimension 2 suffit pour un mouvement plan, et un repère de dimension 1 pour un mouvement à un degré de liberté.

📖 2. Position et trajectoire du point

🔑 Notions clés & Définitions

• Vecteur position : Vecteur qui relie, à un instant donné, un point fixe du référentiel au point étudié.
• Trajectoire : Ensemble des positions successives d’un point.
• Équations paramétriques : Équations qui expriment les coordonnées d’un point en fonction du temps.

📝 Points essentiels

• L’équation de la trajectoire s’obtient en éliminant le temps des équations paramétriques.

• La trajectoire dépend du référentiel d’étude.

📖 3. Déplacement, vitesse et accélération

🔑 Notions clés & Définitions

• Accélération instantanée : L’accélération instantanée d’un point est la dérivée par rapport au temps de son vecteur vitesse, donc la dérivée seconde de son vecteur position, dans le référentiel considéré.

• Vecteur déplacement : Le vecteur déplacement entre deux instants est la différence entre le vecteur position final et le vecteur position initial.
• Vitesse moyenne : La vitesse moyenne vectorielle d’un point dans un référentiel est le rapport de son vecteur déplacement à la durée du déplacement.
• Accélération moyenne : L’accélération moyenne d’un point dans un référentiel est le rapport de la variation de son vecteur vitesse à la durée de cette variation.

★ À maîtriser

• Le vecteur vitesse est tangent à la trajectoire et orienté dans le sens du mouvement.

📌 Un mouvement est uniforme si la norme de la vitesse est constante, accéléré si elle augmente et décéléré si elle diminue.

Compléments

• Le vecteur déplacement élémentaire est tangent à la trajectoire.

• La norme de la vitesse se mesure en mètres par seconde.

• Un mouvement est rectiligne si le vecteur vitesse garde une direction constante.

• La norme de l’accélération se mesure en mètres par seconde carrée.

📖 4. Coordonnées des grandeurs cinématiques

★ À maîtriser

📐 Formule - En coordonnées cartésiennes, le vecteur vitesse est $\vec{v}=\dot{x}\vec{u}_x+\dot{y}\vec{u}_y+\dot{z}\vec{u}_z$ et sa norme est $\|\vec{v}\|=\sqrt{\dot{x}^{2}+\dot{y}^{2}+\dot{z}^{2}}$.

📐 Formule - En coordonnées cartésiennes, le vecteur accélération est $\vec{a}=\ddot{x}\vec{u}_x+\ddot{y}\vec{u}_y+\ddot{z}\vec{u}_z$.

📐 Formule - En coordonnées cylindro-polaires, le vecteur vitesse est $\vec{v}=\dot{r}\vec{u}_r+r\dot{\theta}\vec{u}_\theta+\dot{z}\vec{u}_z$ et sa norme est $\|\vec{v}\|=\sqrt{\dot{r}^{2}+(r\dot{\theta})^{2}+\dot{z}^{2}}$.

📐 Formule - En coordonnées cylindro-polaires, le vecteur accélération est $\vec{a}=(\ddot{r}-r\dot{\theta}^{2})\vec{u}_r+(r\ddot{\theta}+2\dot{r}\dot{\theta})\vec{u}_\theta+\ddot{z}\vec{u}_z$.

Compléments

📐 Formule - En coordonnées cartésiennes, le vecteur position s’écrit $\overrightarrow{OM}=x\vec{u}_x+y\vec{u}_y+z\vec{u}_z$.

📐 Formule - En coordonnées cartésiennes, le vecteur déplacement élémentaire s’écrit $d\overrightarrow{OM}=dx\vec{u}_x+dy\vec{u}_y+dz\vec{u}_z$.

📐 Formule - En coordonnées cylindro-polaires, le vecteur position s’écrit $\overrightarrow{OM}=r\vec{u}_r+z\vec{u}_z$.

📐 Formule - Dans le plan, le déplacement élémentaire en coordonnées polaires s’écrit $d\overrightarrow{OM}=dr\vec{u}_r+r\,d\theta\vec{u}_\theta$.

📐 Formule - Dans le plan, les coordonnées cartésiennes et polaires sont liées par $x=r\cos\theta$ et $y=r\sin\theta$.

📐 Formule - En coordonnées sphériques, le vecteur position s’écrit $\overrightarrow{OM}=r\vec{u}_r$.

📐 Formule - En coordonnées sphériques, le déplacement élémentaire s’écrit $d\overrightarrow{OM}=dr\vec{u}_r+r\,d\theta\vec{u}_\theta+r\sin\theta\,d\varphi\vec{u}_\varphi$.

📐 Formule - En coordonnées sphériques, le vecteur vitesse s’écrit $\vec{v}=\dot{r}\vec{u}_r+r\dot{\theta}\vec{u}_\theta+r\sin\theta\,\dot{\varphi}\vec{u}_\varphi$.

📖 5. Mouvement rectiligne

🔑 Notions clés & Définitions

• Mouvement rectiligne : Le mouvement d’un point dans un référentiel est rectiligne si sa trajectoire dans ce référentiel est une portion de droite.

📝 Points essentiels

• Pour étudier un mouvement rectiligne à un degré de liberté, une seule coordonnée cartésienne suffit et le repère de travail peut être choisi le long de la droite du mouvement.

📐 Formule - Pour un mouvement rectiligne selon l’axe choisi, le vecteur position s’écrit $\overrightarrow{OM}=x\vec{u}_x$.

📐 Formule - Dans un repère cartésien où l’axe est confondu avec la droite du mouvement, la position s’écrit $\overrightarrow{OM}=x\,\vec{i}$, la vitesse $\vec{v}=\dot{x}\,\vec{i}$ et l’accélération $\vec{a}=\ddot{x}\,\vec{i}$.

• Dans un mouvement rectiligne, les vecteurs position, vitesse et accélération sont colinéaires entre eux et portés par la droite du mouvement à chaque instant.

📖 6. Mouvement à accélération constante

🔑 Notions clés & Définitions

• Mouvement rectiligne uniforme : Mouvement dont la trajectoire est une droite et la norme de la vitesse est constante.

📝 Points essentiels

📌 Un mouvement rectiligne uniforme est aussi caractérisé par un vecteur vitesse constant ou par un vecteur accélération nul à chaque instant.

📖 7. Mouvement circulaire

🔑 Notions clés & Définitions

• Mouvement à accélération constante : Mouvement dont le vecteur accélération est constant dans le référentiel considéré.

★ À maîtriser

📌 Un mouvement rectiligne et uniformément varié possède un vecteur accélération constant, mais la réciproque est fausse.

Compléments

• Dans un mouvement à accélération constante, la norme de l’accélération est constante et le mouvement est uniformément varié.

• Une chute libre et le mouvement d’une particule chargée dans un champ électrique stationnaire uniforme sont des exemples de mouvements à accélération constante.

📐 Formule - Lorsque l’accélération constante est dirigée selon l’axe x, les équations du mouvement sont $a_x=a_0,\quad v_x(t)=a_0t+v_{x0},\quad x(t)=\frac12a_0t^2+v_{x0}t+x_0$, tandis que les coordonnées transversales restent constantes si la vitesse initiale est colinéaire à l’accélération.

📌 Lorsque l’accélération et la vitesse initiale sont de même sens, le mouvement est uniformément accéléré ; lorsqu’elles sont de sens opposés, il est d’abord uniformément décéléré puis uniformément accéléré.

📖 8. Repère de Frenet et courbure

🔑 Notions clés & Définitions

• Mouvement circulaire : Mouvement dont la trajectoire est un cercle ou une portion de cercle de centre fixe dans le référentiel et de rayon constant.
• Vitesse angulaire : La vitesse angulaire de M dans le référentiel considéré est $\omega=\dot{\theta}$ et s’exprime en rad·s⁻¹.
• Accélération angulaire : L’accélération angulaire de M est $\dot{\omega}=\ddot{\theta}$ et s’exprime en rad·s⁻².

★ À maîtriser

📐 Formule - Dans la base polaire du mouvement circulaire de rayon R, la position, la vitesse et l’accélération sont respectivement $\overrightarrow{OM}=R\vec{e}_r,\quad \vec{v}=R\dot{\theta}\vec{e}_\theta,\quad \vec{a}=-R\dot{\theta}^{2}\vec{e}_r+R\ddot{\theta}\vec{e}_\theta$.

• Dans un mouvement circulaire uniforme, la vitesse angulaire est constante et l’accélération est centripète.

Compléments

• La composante algébrique de la vitesse circulaire est positive si l’angle θ augmente au cours du mouvement et négative si θ diminue.

💡 Astuce mémo

Imaginez un point sur sa trajectoire, guidé par T tangent et N tourné vers le centre du cercle osculateur.

📖 9. Composantes de l’accélération

🔑 Notions clés & Définitions

• Repère de Frenet : Repère mobile du plan constitué du vecteur unitaire tangent T orienté dans le sens du mouvement et du vecteur unitaire normal N dirigé vers l’intérieur de la courbure.

★ À maîtriser

📐 Formule - Dans le repère de Frenet, la vitesse et l’accélération s’écrivent $\vec{v}=v\vec{T},\quad \vec{a}=\frac{v^2}{R}\vec{N}+\frac{dv}{dt}\vec{T}$, avec $v=\|\vec{v}\|$.

📌 La composante tangentielle de l’accélération est liée aux variations de la norme de la vitesse : elle est positive en mouvement accéléré, négative en mouvement décéléré et nulle en mouvement uniforme.

Compléments

• Le cercle osculateur est le cercle tangent à la trajectoire au point considéré, de centre vers lequel pointe N et de rayon égal au rayon de courbure R.

• Le rayon de courbure est infini sur une trajectoire rectiligne, varie d’un point à l’autre et est d’autant plus petit que le virage est serré.

• La composante normale de l’accélération est liée au changement de direction de la vitesse, est perpendiculaire à la trajectoire et s’oriente vers l’intérieur de la courbure.

• La composante normale de l’accélération est nulle sur les portions rectilignes et aux points d’inflexion, et sa norme augmente lorsque le rayon de courbure diminue.

• Le produit scalaire de l’accélération par la vitesse est positif en mouvement accéléré, négatif en mouvement décéléré et nul en mouvement uniforme.

💡 Astuce mémo

La composante normale tourne la vitesse ; la composante tangentielle en change la norme.