Fiche de révision : Circuit linéaire du premier ordre

📋 Plan du Cours

1. Essai indiciel et régimes électriques
2. Continuité et état initial
3. Réponse indicielle du circuit RC
4. Puissance et énergie dans le circuit RC
5. Réponse indicielle du circuit RL
6. Régime libre et résolution numérique

📖 1. Essai indiciel et régimes électriques

🔑 Notions clés & Définitions

• Réponse indicielle : Réponse d’un système à un échelon de tension d’amplitude E.

• Régime transitoire : Phase variable pendant laquelle les grandeurs électriques de sortie dépendent du temps.
• Régime permanent : Régime établi après le régime transitoire et de même forme que le signal d’entrée qui l’entretient.
• Tension d’entrée : Signal qui excite le système électrique.
• Temps de relaxation : Durée du régime transitoire nécessaire au système pour atteindre le régime permanent.

📝 Points essentiels

• Lors d’un essai indiciel, l’entrée est un échelon de tension nul avant l’instant zéro et égal à E à partir de cet instant.

💡 Astuce mémo

Transitoire : variable ; permanent : établi

📖 2. Continuité et état initial

★ À maîtriser

📌 La tension aux bornes d’un condensateur reste continue au cours du temps, même lorsque la tension d’entrée est discontinue.

📌 L’intensité qui parcourt une bobine reste continue au cours du temps, même lorsque la tension d’entrée est discontinue.

Compléments

• Dans l’essai indiciel RC étudié, le condensateur initialement déchargé vérifie $u_C(0^-)=u_C(0^+)=0$.

• Dans l’essai indiciel RL étudié, la bobine ne laisse initialement passer aucun courant et l’intensité reste continue à l’instant de commutation.

📖 3. Réponse indicielle du circuit RC

★ À maîtriser

📐 Formule - La réponse indicielle en tension du circuit RC est $u_C(t)=E\left(1-\exp\left(-\frac{t}{\tau}\right)\right)$, avec $\tau=RC$.

📐 Formule - Dans un circuit RC, la constante de temps vaut $\tau=RC$ et s’exprime en secondes.

Compléments

• Dans un circuit RC soumis à un échelon, la solution homogène caractérise le régime transitoire et tend vers zéro, tandis que la solution particulière caractérise le régime permanent.

• Pour la réponse indicielle RC, $u_C(\tau)$ atteint environ 63 % de sa valeur finale.

• La tangente à l’origine de la réponse indicielle RC coupe l’asymptote de régime permanent à l’instant $t=\tau$.

• Dans le circuit RC étudié, le régime permanent est atteint à 99 % au bout de $4{,}6\tau$.

📐 Formule - Dans le circuit RC, l’intensité pendant l’essai indiciel vaut $i(t)=\frac{E}{R}\exp\left(-\frac{t}{\tau}\right)$.

💡 Astuce mémo

La tension du condensateur monte en exponentielle vers l’asymptote E.

📖 4. Puissance et énergie dans le circuit RC

★ À maîtriser

• En régime permanent continu, le condensateur se comporte comme un interrupteur ouvert et les transferts de puissance cessent après sa charge.

• Au cours de l’essai indiciel RC, l’énergie fournie par le générateur est équi-répartie : la moitié est stockée dans le condensateur et l’autre moitié est dissipée par effet Joule dans le résistor.

Compléments

📐 Formule - Dans le circuit RC, le bilan de puissance s’écrit $\frac{d}{dt}\left(\frac{1}{2}Cu_C^2\right)+Ri^2=Ei$.

• Pendant le régime transitoire de charge du condensateur RC, la source, le résistor et le condensateur reçoivent ou fournissent une puissance positive selon leur convention de puissance : la source fournit, tandis que le résistor et le condensateur reçoivent.

📐 Formule - L’énergie électrique stockée dans un condensateur vaut $E_C=\frac{1}{2}Cu_C^2$.

📐 Formule - Le travail reçu par un dipôle entre $t_A$ et $t_B$ vaut $W_{t_A\to t_B}=\int_{t_A}^{t_B}p(t)\,dt$.

💡 Astuce mémo

Condensateur récepteur → énergie stockée croissante

📖 5. Réponse indicielle du circuit RL

★ À maîtriser

📐 Formule - La réponse indicielle en intensité du circuit RL est $i(t)=\frac{E}{R}\left(1-\exp\left(-\frac{t}{\tau}\right)\right)$, avec $\tau=\frac{L}{R}$.

• En régime permanent continu, la bobine se comporte comme un fil et n’intervient plus dans les transferts de puissance entre la source et le résistor.

Compléments

• Pendant l’essai indiciel RL, l’énergie stockée dans la bobine augmente et la bobine fonctionne en récepteur.

📐 Formule - L’énergie magnétique stockée dans une bobine vaut $E_L=\frac{1}{2}Li^2$.

📖 6. Régime libre et résolution numérique

🔑 Notions clés & Définitions

• Régime libre : Régime au cours duquel le système évolue sans qu’aucun signal ne soit appliqué en entrée.

📝 Points essentiels

📐 Formule - La réponse en tension du circuit RC en régime libre est $u_C(t)=U_0\exp\left(-\frac{t}{\tau}\right)$, avec $\tau=RC$.

• Au cours du régime libre RC, la puissance reçue par le condensateur est négative, son énergie stockée diminue et il se décharge.

📊 Tableaux de synthèse

Comportement en régime permanent continu