Fiche de révision : Traitement numérique du signal

📋 Plan du Cours

1. Numérisation et acquisition des signaux
2. Traitement et restitution du signal
3. Équations de récurrence
4. Représentation structurelle des algorithmes
5. Transformée en z des séquences
6. Transmittance des systèmes échantillonnés
7. Filtrage numérique et stabilité
8. Réponse fréquentielle des filtres

📖 1. Numérisation et acquisition des signaux

🔑 Notions clés & Définitions

• Convertisseur Analogique Numérique : Transforme les échantillons analogiques en codes binaires afin de produire une séquence numérique.

★ À maîtriser

📌 Un signal analogique est continu en temps et en amplitude, un signal échantillonné est continu en amplitude mais discret en temps, un signal quantifié est discret en amplitude mais continu en temps, et un signal numérique est discret en temps et en amplitude.

📌 D’après le théorème de Shannon, la fréquence d’échantillonnage doit être supérieure au double de la fréquence maximale contenue dans le signal analogique.

Compléments

• Un CAN unipolaire accepte uniquement des tensions positives, tandis qu’un CAN bipolaire accepte des tensions positives et négatives.

• Avec un CAN de n bits, chaque échantillon peut être codé parmi 2ⁿ valeurs différentes.

• Pour une tension maximale convertible Vmax, la plage d’un CAN unipolaire est [0 ; Vmax], tandis que celle d’un CAN bipolaire est [-Vmax /2 ; Vmax /2].

📐 Formule - Le quantum, ou pas de quantification, vérifie $q = \frac{\Delta U}{2^n}$.

💡 Astuce mémo

Échantillonné : temps discret, amplitude continue ; quantifié : temps continu, amplitude discrète.

📖 2. Traitement et restitution du signal

🔑 Notions clés & Définitions

• Convertisseur Numérique Analogique : Transforme un code numérique en une tension analogique proportionnelle à ce code.

★ À maîtriser

• La chaîne de traitement numérique du signal comprend l’acquisition, le traitement numérique et la restitution du signal analogique.

Compléments

• Le calculateur traite les séquences d’entrée et les échantillons antérieurs de sortie pour produire les échantillons de sortie à la même cadence que les échantillons d’entrée.

• Le traitement numérique peut réaliser les opérations suivantes :

  • des additions
  • des soustractions
  • des multiplications par une constante
  • des retards

• Le filtre de lissage, un filtre passe-bas, atténue les composantes de haute fréquence du bruit de quantification afin de réduire les sauts du signal restitué.

📌 Le traitement numérique facilite le stockage, la transformation et le multiplexage des signaux et réduit les coûts par standardisation, mais la conversion peut entraîner une perte d’information et demande du temps.

💡 Astuce mémo

Acquisition → calculateur → restitution

📖 3. Équations de récurrence

★ À maîtriser

📐 Formule - L’approximation d’Euler de la dérivée au temps nTe est $\frac{dy(nT_e)}{dt} \approx \frac{y_n-y_{n-1}}{T_e}$.

📐 Formule - Une équation de récurrence linéaire générale peut s’écrire $y_n=a_0x_n+a_1x_{n-1}+a_2x_{n-2}+\cdots+b_1y_{n-1}+b_2y_{n-2}+\cdots$.

📌 Un algorithme non récursif calcule la sortie à partir des échantillons d’entrée présents et antérieurs, tandis qu’un algorithme récursif utilise aussi des échantillons antérieurs de sortie.

Compléments

• L’approximation d’Euler estime la pente de la tangente à la courbe au temps nTe par la pente de la droite reliant les échantillons aux temps nTe et (n−1)Te, lorsque Te est suffisamment faible.

📌 Pour un système numérique, l’équation de récurrence joue un rôle analogue à celui de l’équation différentielle pour un système analogique linéaire.

📖 4. Représentation structurelle des algorithmes

🔑 Notions clés & Définitions

• Retard : Un retard correspond au décalage d’un terme vers un rang inférieur de la séquence, soit à la prise du même échantillon après une période d’échantillonnage.

📝 Points essentiels

• La représentation structurelle repose sur trois opérations :
  • l’addition de termes
  • la multiplication par un coefficient constant
  • la création d’un retard

📖 5. Transformée en z des séquences

🔑 Notions clés & Définitions

• Transformée en z : La transformée en z d’une séquence causale est $X(z)=\sum_{n=0}^{\infty}x(nT_e)z^{-n}=x_0+x_1z^{-1}+x_2z^{-2}+\cdots$.

★ À maîtriser

📌 La transformée en z est adaptée à l’étude des signaux numériques discrets, contrairement aux transformées de Laplace ou de Fourier qui ne sont pas adaptées aux signaux échantillonnés.

📐 Formule - La transformée en z de l’échelon unité est $U(z)=\frac{z}{z-1}$.

📐 Formule - Un retard de k périodes d’échantillonnage correspond à une multiplication par $z^{-k}$ : $\mathcal{Z}[f(t-kT_e)]=F(z)z^{-k}$.

📐 Formule - Le théorème de la valeur finale donne, lorsque la limite existe, $\lim_{n\to\infty}x_n=\lim_{z\to1}(z-1)F(z)$.

Compléments

• La transformée en z de l’impulsion unité est $\Delta(z)=1$.

• La table des transformées usuelles donne pour la rampe échantillonnée $x_n=anT_e$ la transformée $X(z)=\frac{aT_ez}{(z-1)^2}$.

📐 Formule - La transformée en z de la séquence exponentielle $x_n=a^n$ est $X(z)=\frac{z}{z-a}$.

📐 Formule - La transformée en z de la séquence sinus échantillonnée est $X(z)=\frac{z\sin(\omega T_e)}{z^2-2z\cos(\omega T_e)+1}$.

📐 Formule - La transformée en z de la séquence cosinus échantillonnée est $X(z)=\frac{z(z-\cos(\omega T_e))}{z^2-2z\cos(\omega T_e)+1}$.

📐 Formule - La transformée en z est linéaire : $\mathcal{Z}[f(t)+g(t)]=F(z)+G(z)$ et $\mathcal{Z}[af(t)]=aF(z)$.

📐 Formule - Le théorème de la valeur initiale donne $x_0=\lim_{z\to\infty}F(z)$.

• Pour une entrée échelon et une transmittance $H(z)=\frac{0{,}5}{1-0{,}8z^{-1}}$, la valeur finale de la sortie est $\lim_{n\to\infty}y_n=2{,}5$.

📖 6. Transmittance des systèmes échantillonnés

🔑 Notions clés & Définitions

• Transmittance en z : La transmittance en z d’un système échantillonné est le rapport de la transformée en z de la sortie à celle de l’entrée : $H(z)=\frac{Y(z)}{X(z)}$.

★ À maîtriser

• Lorsque l’entrée d’un système est l’impulsion unité, sa transformée vaut 1 et la transformée en z de sa sortie est égale à la transmittance, qui est donc la transformée en z de la réponse impulsionnelle.

• Pour déterminer la transmittance à partir d’une équation de récurrence, on transforme les termes en utilisant le retard, on regroupe les termes en Y(z) et X(z), on factorise ces deux transformées puis on calcule $H(z)=Y(z)/X(z)$.

Compléments

• Pour l’équation $y_n=2x_n+y_{n-1}-6y_{n-2}$, la transmittance est $H(z)=\frac{2}{1-z^{-1}+6z^{-2}}=\frac{2z^2}{z^2-z+6}$.

📖 7. Filtrage numérique et stabilité

🔑 Notions clés & Définitions

• Filtrage numérique : Sélection d’une gamme de fréquences en atténuant relativement les autres afin d’extraire une information utile ou d’améliorer la qualité d’un signal.
• Stabilité d’un filtre : Stable si sa réponse impulsionnelle tend vers zéro lorsque n tend vers l’infini.
• Zéro : Valeur de z qui annule le numérateur de la fonction de transfert.
• Pôle : Valeur de z qui annule le dénominateur de la fonction de transfert.

★ À maîtriser

• Un filtre non récursif calcule ses sorties uniquement à partir des échantillons d’entrée, tandis qu’un filtre récursif utilise aussi des échantillons antérieurs de sortie.

• Un filtre à réponse impulsionnelle finie (RIF) possède un nombre fini d’échantillons impulsionnels non nuls, tandis qu’un filtre à réponse impulsionnelle infinie (RII) possède une réponse qui ne s’annule pas en un nombre fini d’échantillons.

• Un filtre RII est stable si tous les pôles de sa transmittance sont strictement à l’intérieur du cercle unité dans le plan complexe, c’est-à-dire si leur module est inférieur à 1.

Compléments

📐 Formule - La transmittance d’un filtre numérique est $T(z)=\frac{Y(z)}{X(z)}=\frac{a_0+a_1z^{-1}+a_2z^{-2}+\cdots}{1+b_1z^{-1}+b_2z^{-2}+\cdots}$ pour l’équation de récurrence générale correspondante.

• Les filtres non récursifs sont des filtres RIF et sont toujours stables selon la définition donnée pour la stabilité des filtres numériques.

• La valeur des zéros d’une transmittance n’a pas d’influence sur la stabilité du filtre.

📖 8. Réponse fréquentielle des filtres

★ À maîtriser

📐 Formule - La réponse fréquentielle complexe d’un filtre s’obtient à partir de sa transmittance en effectuant le changement de variable $z=e^{j\omega T_e}$, avec $\omega=2\pi f$.

📐 Formule - Le gain en décibels est donné par $G_{\mathrm{dB}}=20\log_{10}(|H(z)|)$.

• Le filtre moyenneur est un passe-bas à phase linéaire dont la fréquence de coupure à -3 dB est $f_c=f_e/4$ et peut être réglée en agissant sur la fréquence d’échantillonnage.

Compléments

• Le diagramme de Bode représente l’évolution du module et de l’argument de la fonction de transfert complexe sur la gamme de fréquences $[0;F_e/2]$, respectant le critère de Shannon.

📐 Formule - Si $H(z)=N(z)/D(z)$, alors le gain en décibels vérifie $G_{\mathrm{dB}}=20\log_{10}(|N(z)|)-20\log_{10}(|D(z)|)$.

📐 Formule - Pour une fraction complexe $H(j\omega)=(a+jb)/(c+jd)$, son argument vaut $\arg H(j\omega)=\tan^{-1}(b/a)-\tan^{-1}(d/c)$.

• Pour le filtre moyenneur $y_n=(x_n+x_{n-1})/2$, la transmittance complexe est $H(jf)=\cos(\pi f/f_e)e^{-j\pi f/f_e}$, son module vaut $|H(jf)|=|\cos(\pi f/f_e)|$ et sa phase vaut $-\pi f/f_e$.

📊 Tableaux de synthèse

Récursivité et réponse impulsionnelle