Fiche de révision : Cinématique du point matériel

📋 Plan du Cours

1. Mécanique et degrés de liberté
2. Position, vitesse et accélération
3. Mouvements uniformes et accélérés
4. Vecteurs et mouvements bidimensionnels
5. Mouvements balistiques et portée
6. Mouvement dans l’espace tridimensionnel

📖 1. Mécanique et degrés de liberté

🔑 Notions clés & Définitions

• Cinématique : Branche de la mécanique qui étudie les mouvements indépendamment des causes qui les produisent.
• Mécanique : Branche de la physique qui étudie les corps en mouvement ou à l’équilibre et les forces qui produisent ces mouvements ou cet équilibre.
• Point matériel : Point géométrique doté d’une masse.

📝 Points essentiels

• Les deux types de mouvement étudiés sont les translations et les rotations.

• Un point matériel en mouvement à 1D possède 1 degré de liberté, un objet 2D dans un espace 2D en possède 3 (2 de translation et 1 de rotation), et un objet 3D dans un espace 3D en possède 6 (3 de translation et 3 de rotation).

• Le chapitre traite des translations d’un point matériel en 1D, 2D et 3D ; les rotations sont étudiées dans un autre chapitre.

💡 Astuce mémo

La mécanique étudie les causes des mouvements ; la cinématique les décrit sans étudier leurs causes.

📖 2. Position, vitesse et accélération

★ À maîtriser

📐 Formule - La vitesse moyenne est $\bar{v} = \frac{\Delta x}{\Delta t} = \frac{x_2-x_1}{t_2-t_1}$ et s’exprime en $\mathrm{m\,s^{-1}}$.

📐 Formule - La vitesse instantanée est la dérivée de la position par rapport au temps : $v = \lim_{\Delta t\to 0}\frac{\Delta x}{\Delta t} = \frac{dx}{dt}$.

📐 Formule - L’accélération moyenne est $\bar{a} = \frac{\Delta v}{\Delta t} = \frac{v_2-v_1}{t_2-t_1}$ et l’accélération instantanée est $a = \frac{dv}{dt} = \frac{d^2x}{dt^2}$.

Compléments

📐 Formule - Le déplacement unidimensionnel entre les positions $x_1$ et $x_2$ est $\Delta x = x_2 - x_1$, et le temps écoulé entre $t_1$ et $t_2$ est $\Delta t = t_2 - t_1$.

• En 1D, une vitesse positive indique que la position augmente, tandis qu’une vitesse négative indique qu’elle diminue.

• Dans un graphe position-temps, la vitesse correspond à la pente de la courbe et l’accélération est liée à sa concavité.

📖 3. Mouvements uniformes et accélérés

★ À maîtriser

📐 Formule - Dans un MRU, la position vérifie $x = x_0 + v_0t$, où $x_0$ est la position initiale et $v_0$ la vitesse constante.

📐 Formule - Dans un MRUA, la vitesse vérifie $v = v_0 + at$.

📌 Dans un mouvement rectiligne uniforme (MRU), l’accélération est nulle et la vitesse est constante ; dans un mouvement rectiligne uniformément accéléré (MRUA), l’accélération est constante.

• Au voisinage de la surface terrestre, en négligeant la résistance de l’air, l’accélération gravitationnelle est identique pour tous les objets en chute et vaut $g = 9.81\,\mathrm{m/s^2}$. - Galilée, 1564-1642

Compléments

📐 Formule - Dans un MRUA, la position vérifie $x = x_0 + v_0t + \frac{1}{2}at^2$.

📐 Formule - Dans un MRUA, la vitesse moyenne est $\bar{v} = \frac{v_0+v}{2}$.

• La valeur de l’accélération gravitationnelle varie d’une planète à l’autre.

📖 4. Vecteurs et mouvements bidimensionnels

🔑 Notions clés & Définitions

• Vecteur : Grandeur caractérisée par un module, une orientation et une direction.

★ À maîtriser

📐 Formule - Dans un repère cartésien 2D, un vecteur s’écrit $\vec{A}=A_x\hat{x}+A_y\hat{y}$, avec $A_x=A\cos\theta$, $A_y=A\sin\theta$ et $A^2=A_x^2+A_y^2$.

📐 Formule - En 2D, la vitesse instantanée est $\vec{v}=\frac{dx}{dt}\hat{x}+\frac{dy}{dt}\hat{y}$ et elle est toujours tangente à la trajectoire.

• La position, la vitesse et l’accélération sont des vecteurs, tandis que le temps, la masse et la température sont des scalaires :
  • la position
  • la vitesse
  • l’accélération
  • le temps
  • la masse
  • la température

Compléments

📐 Formule - Les composantes cartésiennes des sommes et différences de vecteurs sont $\vec{A}+\vec{B}=(A_x+B_x)\hat{x}+(A_y+B_y)\hat{y}$ et $\vec{A}-\vec{B}=(A_x-B_x)\hat{x}+(A_y-B_y)\hat{y}$.

📐 Formule - La position en 2D s’écrit $\vec{P}=x\hat{x}+y\hat{y}$, également notée $(x,y)$.

📐 Formule - En 2D, l’accélération instantanée est $\vec{a}=\frac{dv_x}{dt}\hat{x}+\frac{dv_y}{dt}\hat{y}=\frac{d^2x}{dt^2}\hat{x}+\frac{d^2y}{dt^2}\hat{y}$.

• La norme d’un vecteur $\vec{A}$ est notée $A$, et un vecteur unitaire $\hat{A}$ a une norme égale à 1.

• L’accélération est nulle lorsque la direction et la grandeur de la vitesse restent constantes.

📖 5. Mouvements balistiques et portée

★ À maîtriser

📐 Formule - Pour un projectile qui retombe à sa hauteur de lancement, le temps de vol est $t=\frac{2v_{0y}}{g}=\frac{2v_0\sin\theta}{g}$.

📐 Formule - Pour un projectile qui retombe à sa hauteur de lancement, la portée est $P=\frac{2v_{0x}v_{0y}}{g}=\frac{v_0^2}{g}\sin(2\theta)$.

• En 2D, le mouvement d’un objet se décompose en deux mouvements à 1D, un selon chaque axe, avec $x=v_{0x}t+\frac{1}{2}a_xt^2$, $y=v_{0y}t+\frac{1}{2}a_yt^2$, $v_x=v_{0x}+a_xt$ et $v_y=v_{0y}+a_yt$.

• En négligeant la résistance de l’air, un projectile est soumis uniquement à l’accélération gravitationnelle, avec $a_x=0$ et $a_y=-g$.

Compléments

📐 Formule - Pour un projectile lancé sans résistance de l’air, $x=v_{0x}t$, $y=v_{0y}t-\frac{1}{2}gt^2$, $v_x=v_{0x}$ et $v_y=v_{0y}-gt$.

• La trajectoire d’un projectile sans résistance de l’air est parabolique et vérifie $y=\frac{v_{0y}}{v_{0x}}x-\frac{g}{2v_{0x}^2}x^2$.

• Le temps de vol est maximal pour un angle de lancement de 90°, la portée est maximale pour 45°, et deux angles complémentaires $\theta$ et $90°-\theta$ donnent la même portée.

💡 Astuce mémo

Sans résistance de l’air, la gravité courbe la trajectoire du projectile en parabole.

📖 6. Mouvement dans l’espace tridimensionnel

📝 Points essentiels

📐 Formule - En 3D, la vitesse instantanée s’écrit $\vec{v}=\frac{dx}{dt}\hat{x}+\frac{dy}{dt}\hat{y}+\frac{dz}{dt}\hat{z}$.

📐 Formule - En 3D, l’accélération instantanée s’écrit $\vec{a}=\frac{d^2x}{dt^2}\hat{x}+\frac{d^2y}{dt^2}\hat{y}+\frac{d^2z}{dt^2}\hat{z}$.