QCM : Cinématique en coordonnées cylindriques (5 questions)

Questions et réponses du QCM

1. Un point a pour coordonnées cylindriques ρ=3\rho=3 et z=2z=2. Quelle expression donne son vecteur position depuis OO ?

OM→=3e⃗3+2e⃗ρ\overrightarrow{OM}=3\vec e_3+2\vec e_\rho
OM→=3e⃗ρ+2e⃗3\overrightarrow{OM}=3\vec e_\rho+2\vec e_3
OM→=3e⃗ρ+2e⃗φ\overrightarrow{OM}=3\vec e_\rho+2\vec e_\varphi
OM→=3e⃗φ+2e⃗3\overrightarrow{OM}=3\vec e_\varphi+2\vec e_3

$$\overrightarrow{OM}=3\vec e_\rho+2\vec e_3$$

Explication

La position cylindrique s’écrit comme la somme de la composante radiale ρe⃗ρ\rho\vec e_\rho et de la composante verticale ze⃗3z\vec e_3. Permuter les composantes confond les directions radiale et verticale, tandis que e⃗φ\vec e_\varphi est une direction azimutale et ne figure pas dans cette expression.

2. À un instant donné, un point a ρ˙=2\dot\rho=2, ρ=4\rho=4, φ˙=3\dot\varphi=3 et z˙=−1\dot z=-1. Quelle est sa vitesse dans la base cylindrique ?

2e⃗ρ+12e⃗φ−e⃗32\vec e_\rho+12\vec e_\varphi-\vec e_3
12e⃗ρ+2e⃗φ−e⃗312\vec e_\rho+2\vec e_\varphi-\vec e_3
2e⃗ρ+3e⃗φ−e⃗32\vec e_\rho+3\vec e_\varphi-\vec e_3
2e⃗ρ+12e⃗φ+e⃗32\vec e_\rho+12\vec e_\varphi+\vec e_3

$$2\vec e_\rho+12\vec e_\varphi-\vec e_3$$

Explication

La vitesse est ρ˙e⃗ρ+ρφ˙e⃗φ+z˙e⃗3\dot\rho\vec e_\rho+\rho\dot\varphi\vec e_\varphi+\dot z\vec e_3 : ici, la composante azimutale vaut 4×3=124\times3=12, et la composante verticale vaut −1-1. La valeur 3 omet le facteur ρ\rho, la permutation échange les directions, et le signe positif contredit z˙=−1\dot z=-1.

3. Un point tourne autour de l’axe avec une vitesse angulaire positive φ˙=4\dot\varphi=4. Dans quelle direction et avec quelle amplitude varie son vecteur unitaire azimutal par unité de temps ?

Dans la direction e⃗ρ\vec e_\rho, avec une amplitude −4-4
Dans la direction e⃗φ\vec e_\varphi, avec une amplitude −4-4
Dans la direction e⃗ρ\vec e_\rho, avec une amplitude 44
Dans la direction e⃗ρ\vec e_\rho, avec une amplitude φ¨\ddot\varphi

Dans la direction $$\vec e_\rho$$, avec une amplitude $$-4$$

Explication

La relation de⃗φdt=−φ˙e⃗ρ\frac{d\vec e_\varphi}{dt}=-\dot\varphi\vec e_\rho donne ici −4e⃗ρ-4\vec e_\rho. La réponse positive inverse le signe, la direction e⃗φ\vec e_\varphi confond les vecteurs de base et φ¨\ddot\varphi remplace la vitesse angulaire par l’accélération angulaire.

4. Un point tourne avec une vitesse angulaire φ˙=5\dot\varphi=5. Quelle est la dérivée temporelle de son vecteur unitaire radial ?

e⃗φ\vec e_\varphi
−5e⃗ρ-5\vec e_\rho
−5e⃗φ-5\vec e_\varphi
5e⃗φ5\vec e_\varphi

$$5\vec e_\varphi$$

Explication

La dérivée temporelle vérifie de⃗ρdt=φ˙e⃗φ\frac{d\vec e_\rho}{dt}=\dot\varphi\vec e_\varphi, donc elle vaut ici 5e⃗φ5\vec e_\varphi. Le choix sans facteur omet φ˙\dot\varphi, le signe négatif inverse la direction azimutale, et une dérivée selon e⃗ρ\vec e_\rho confond les directions.

5. Quelle base mobile définit le repère cylindrique, par opposition à la base du repère de référence ?

(e⃗ρ,e⃗3,e⃗1)(\vec e_\rho,\vec e_3,\vec e_1)
(e⃗1,e⃗2,e⃗3)(\vec e_1,\vec e_2,\vec e_3)
(e⃗ρ,e⃗φ,e⃗3)(\vec e_\rho,\vec e_\varphi,\vec e_3)
(e⃗1,e⃗φ,e⃗3)(\vec e_1,\vec e_\varphi,\vec e_3)

$$(\vec e_\rho,\vec e_\varphi,\vec e_3)$$

Explication

Le repère cylindrique est défini par la base mobile (e⃗ρ,e⃗φ,e⃗3)(\vec e_\rho,\vec e_\varphi,\vec e_3), tandis que le repère de référence utilise (e⃗1,e⃗2,e⃗3)(\vec e_1,\vec e_2,\vec e_3). La base de référence est donc une confusion entre les deux repères, et les autres choix substituent une direction à l’une des directions cylindriques.

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Comment s’écrit la position du point MM en coordonnées cylindriques ?

OM→=ρe⃗ρ+ze⃗3\overrightarrow{OM}=\rho\vec e_\rho+z\vec e_3

Quelle est la vitesse de MM en coordonnées cylindriques ?

V⃗R0(M)=ρ˙e⃗ρ+ρφ˙e⃗φ+z˙e⃗3\vec V_{R_0}(M)=\dot\rho\vec e_\rho+\rho\dot\varphi\vec e_\varphi+\dot z\vec e_3

Quelle base mobile définit le repère cylindrique ?

(e⃗ρ,e⃗φ,e⃗3)\left(\vec e_\rho,\vec e_\varphi,\vec e_3\right)

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