Fiche de révision : Cinématique et mouvement des projectiles

📋 Plan du Cours

1. Vecteurs et outils mathématiques
2. Position et déplacement
3. Vitesse et accélération
4. Lois du mouvement accéléré
5. MRU et chute libre
6. Mouvement des projectiles

📖 1. Vecteurs et outils mathématiques

★ À maîtriser

• Un vecteur est caractérisé par :
  • son origine
  • sa norme
  • sa direction
  • son sens

Compléments

📐 Formule - Les composantes d’un vecteur de norme $P$ faisant un angle $\theta$ avec l’axe horizontal sont $P_x=P\cos\theta$ et $P_y=P\sin\theta$, et sa norme vérifie $P=\sqrt{P_x^2+P_y^2}$.

• Les prérequis mathématiques du cours sont :
  • les dérivées
  • les systèmes d’équations
  • les vecteurs
  • la trigonométrie dans le triangle rectangle

📖 2. Position et déplacement

🔑 Notions clés & Définitions

• Vecteur position : Le vecteur position $\vec r(t)=x(t)\vec u_x+y(t)\vec u_y+z(t)\vec u_z$ donne la position d’un point dans un repère cartésien.
• Objet point : Modèle de translation où le mouvement d’un seul point décrit complètement celui de l’objet et où ce point porte toute la masse du corps modélisé.

📝 Points essentiels

📌 Le déplacement est le vecteur entre la position initiale et la position finale, tandis que la distance parcourue mesure la longueur du trajet suivi.

💡 Astuce mémo

La trajectoire décrit le chemin ; le déplacement relie départ et arrivée.

📖 3. Vitesse et accélération

★ À maîtriser

📐 Formule - La vitesse moyenne en une dimension est $\bar v=\frac{\Delta x}{\Delta t}=\frac{x_2-x_1}{t_2-t_1}$.

📐 Formule - La vitesse instantanée est la limite du rapport entre le déplacement et la durée lorsque celle-ci tend vers zéro, soit $v=\lim_{\Delta t\to0}\frac{\Delta x}{\Delta t}=\frac{dx}{dt}$.

📐 Formule - L’accélération instantanée est la dérivée de la vitesse par rapport au temps, soit $a=\frac{dv}{dt}=\frac{d^2x}{dt^2}$, et son unité est le m/s².

Compléments

• En deux ou trois dimensions, la vitesse instantanée est tangente à la trajectoire et l’accélération peut exister même si la norme de la vitesse reste constante.

• La patte de la crevette-mante passe du repos à 10 m/s en 4,0 ms, soit une accélération moyenne de 2,5 × 10³ m/s², environ 250 g et 25 fois l’accélération maximale de 10 g attribuée au F16 dans l’exemple.

💡 Astuce mémo

La vitesse varie → il y a accélération, même si seule sa direction change.

📖 4. Lois du mouvement accéléré

★ À maîtriser

📐 Formule - Pour un mouvement rectiligne à accélération constante, la vitesse suit $v(t)=v_0+at$ et la position suit $x(t)=x_0+v_0t+\frac12at^2$.

📐 Formule - Pour un mouvement rectiligne à accélération constante, la relation sans temps est $v^2=v_0^2+2a(x-x_0)$.

Compléments

📐 Formule - En trois dimensions et à accélération constante, les lois s’écrivent $\vec v(t)=\vec v_0+\vec a t$ et $\vec r(t)=\vec r_0+\vec v_0t+\frac12\vec a t^2$, composante par composante.

📖 5. MRU et chute libre

🔑 Notions clés & Définitions

• Mouvement rectiligne uniforme : Mouvement en ligne droite à vitesse constante et sans accélération.
• Chute libre : Mouvement soumis au seul effet de la gravité, qu’il s’agisse d’un objet qui tombe ou d’un objet lancé vers le haut puis retombant.

📝 Points essentiels

📐 Formule - En MRU, la position vérifie $x(t)=x_0+v_0t$ et la vitesse vérifie $v(t)=v_0=\text{constante}$.

📐 Formule - Avec l’axe vertical orienté vers le haut, la chute libre vérifie $a_y=-g$ avec $g=9{,}81\ \text{m/s}^2$, $y(t)=y_0+v_{0y}t-\frac12gt^2$ et $v_y(t)=v_{0y}-gt$.

• En l’absence de résistance de l’air, tous les corps en chute libre ont la même accélération, quelle que soit leur taille et leur forme.

💡 Astuce mémo

MRU : accélération nulle ; chute libre : accélération gravitationnelle.

📖 6. Mouvement des projectiles

🔑 Notions clés & Définitions

• Trajectoire parabolique : Sans résistance de l’air, la trajectoire d’un projectile lancé obliquement est parabolique, avec $y(x)=x\tan\theta-\frac{gx^2}{2(v_0\cos\theta)^2}$ lorsque le lancement a lieu à l’origine.

★ À maîtriser

📐 Formule - Pour un projectile lancé et retombant à la même hauteur, la portée est $R=\frac{v_0^2\sin(2\theta)}{g}$ et elle est maximale pour un angle de 45° avec l’horizontale.

• Le mouvement d’un projectile sans résistance de l’air se décompose en un mouvement horizontal à vitesse constante et un mouvement vertical soumis à la gravité.

Compléments

• Une trajectoire située au-dessus de celle de la chute libre correspond à un objet qui plane.

💡 Astuce mémo

Une parabole sépare le mouvement horizontal uniforme de la chute verticale.