Fiche de révision : Continuité des fonctions

📋 Plan du Cours

1. Définitions de la continuité
2. Opérations sur les fonctions continues
3. Théorème des valeurs intermédiaires
4. Prolongement par continuité
5. Continuité et monotonie
6. Théorème des valeurs extrêmes

📖 1. Définitions de la continuité

🔑 Notions clés & Définitions

• Continuité en un point : La fonction f est continue en x₀ si la limite de f(x) lorsque x tend vers x₀ est égale à f(x₀), ce qui équivaut à : pour tout ε > 0, il existe δ > 0 tel que, pour tout x ∈ X vérifiant |x − x₀| < δ, on ait |f(x) − f(x₀)| < ε.
• Continuité unilatérale : La fonction f est continue à gauche en x₀ si sa limite à gauche en x₀ vaut f(x₀), et elle est continue à droite en x₀ si sa limite à droite en x₀ vaut f(x₀).
• Continuité sur un ensemble : La fonction f est continue sur X si elle est continue en tout point de X.

★ À maîtriser

📌 Une fonction est continue en x₀ si et seulement si elle est à la fois continue à gauche et continue à droite en x₀.

Compléments

• Les polynômes, les fonctions exponentielles et les fonctions trigonométriques sont continues en tout point de leur intervalle de définition.

• La partie entière est continue à droite en tout point et continue en tout point non entier, mais elle est discontinue à gauche en tout entier et discontinue en tout entier.

💡 Astuce mémo

Continuité au point : limite égale à la valeur ; continuité à gauche ou à droite : limite unilatérale égale à la valeur.

📖 2. Opérations sur les fonctions continues

📝 Points essentiels

• La somme et le produit de deux fonctions continues sur X sont continus sur X.

• Le quotient de deux fonctions f et g continues sur X est continu sur X si g ne s’annule pas sur X.

• Si f : X → Y est continue sur X et g : Y → R est continue sur Y, alors la composée g ∘ f est continue sur X.

📖 3. Théorème des valeurs intermédiaires

★ À maîtriser

📌 Si f est continue sur un intervalle I et si a < b sont dans I, alors toute valeur y comprise entre f(a) et f(b) possède un antécédent c ∈ [a,b] tel que f(c) = y.

📌 Si f(a) et f(b) sont de signes opposés et si f est continue sur l’intervalle contenant [a,b], alors f s’annule au moins une fois sur [a,b].

Compléments

📌 L’image directe d’un intervalle I par une fonction continue f : I → R est un intervalle de R.

📌 Si f est continue sur ]a,b[ et si ses limites aux bornes a et b existent, toute valeur strictement comprise entre ces limites possède un antécédent dans ]a,b[.

💡 Astuce mémo

Une courbe continue reliant deux valeurs traverse toutes les valeurs intermédiaires.

📖 4. Prolongement par continuité

🔑 Notions clés & Définitions

• Prolongement par continuité : Si f est continue sur un intervalle I sauf peut-être en x₀ et si sa limite en x₀ existe et vaut ℓ, le prolongement défini par g(x) = f(x) pour x ∈ I et g(x₀) = ℓ est l’unique prolongement continu de f à I ∪ {x₀}.

💡 Astuce mémo

Limite en x₀ → attribution de cette valeur en x₀ → prolongement continu unique.

📖 5. Continuité et monotonie

★ À maîtriser

• Pour une fonction continue sur un intervalle, l’injectivité est équivalente à la stricte monotonie.

• Pour une fonction strictement monotone sur un intervalle, la continuité est équivalente au fait que son image soit un intervalle.

• Si f est continue et strictement monotone sur un intervalle I de bornes a et b, alors J = f(I) est un intervalle de bornes limₓ→ₐ f(x) et limₓ→ᵦ f(x), f est une bijection de I sur J, et f⁻¹ est continue et strictement monotone dans le même sens que f.

Compléments

• Les couples d’intervalles et de fonctions réciproques donnés sont ]0,+∞[ vers R avec exp et ln, [0,π] vers [−1,1] avec cos et arccos, [−π/2,π/2] vers [−1,1] avec sin et arcsin, et ]−π/2,π/2[ vers R avec tan et arctan.

📖 6. Théorème des valeurs extrêmes

★ À maîtriser

📌 Toute fonction continue sur un segment [a,b], avec a < b, est bornée et atteint ses bornes ; son image est [m,M], où m = infₓ∈[a,b] f(x) et M = supₓ∈[a,b] f(x).

Compléments

📌 Si f : [a,b] → R₊* est continue sur [a,b], alors il existe m > 0 tel que f(x) ≥ m pour tout x ∈ [a,b].

📌 Si f est continue sur un intervalle ouvert I et tend vers +∞ aux bornes de I, alors f admet un minimum.

💡 Astuce mémo

Continuité sur un segment → fonction bornée et extrema atteints.