QCM : Continuité des fonctions (10 questions)

Question 1

1. Pour une fonction définie en $x_0$ , quelle condition équivaut à sa continuité en ce point ?

La limite de

f(x)

quand

x

tend vers

x_0

existe et est finie.

La limite de

f(x)

quand

x

tend vers

x_0

est égale à

f(x_0)

.

La valeur

f(x_0)

est égale à

f(x)

pour tout

x

proche de

x_0

.

La limite à gauche de

f(x)

en

x_0

est égale à

f(x_0)

.

Explication

La continuité en $x_0$ signifie que la limite bilatérale de $f(x)$ en ce point coïncide avec $f(x_0)$ . La limite à gauche seule ne suffit pas, l’existence seule de la limite ne garantit pas l’égalité, et la continuité n’exige pas une fonction localement constante.

Answer

La limite de $$f(x)$$ quand $$x$$ tend vers $$x_0$$ est égale à $$f(x_0)$$.

Question 2

2. En un point intérieur $x_0$ , une fonction a une limite à gauche égale à $f(x_0)$ , mais sa limite à droite est différente de $f(x_0)$ . Que peut-on conclure sur sa continuité en $x_0$ ?

Elle est continue en

x_0

, car sa limite à gauche vaut sa valeur.

Elle n’est pas continue en

x_0

, car les deux continuités latérales sont nécessaires.

Elle est continue en

x_0

, car les deux limites latérales existent.

Elle est continue en

x_0

, car la continuité à gauche suffit.

Explication

La continuité en un point équivaut à la continuité à gauche et à droite en ce point ; l’échec de la condition à droite exclut donc la continuité. La continuité à gauche seule et la seule existence des limites latérales ne suffisent pas.

Answer

Elle n’est pas continue en $$x_0$$, car les deux continuités latérales sont nécessaires.

Question 3

3. Sur un ensemble $X$ , les fonctions $f$ et $g$ sont continues. Quelle conclusion s’applique à la fonction $h(x)=f(x)g(x)$ ?

La fonction

h

est continue seulement si

g

ne s’annule pas sur

X

.

La fonction

h

est continue sur

X

.

La fonction

h

est continue seulement si

f

et

g

ont la même valeur sur

X

.

La fonction

h

est continue seulement si l’une des deux fonctions est constante sur

X

.

Explication

Le produit de deux fonctions continues sur $X$ est continu sur $X$ , sans condition de non-annulation. La non-annulation concerne le quotient, tandis que l’égalité des fonctions ou la constance ne sont pas nécessaires.

Answer

La fonction $$h$$ est continue sur $$X$$.

Question 4

4. Une fonction continue $f$ envoie un ensemble $X$ dans $Y$ , et une fonction $g$ est continue sur $Y$ . Quelle propriété possède la composée $g\circ f$ ?

Elle est continue sur

X

seulement si

f

et

g

sont inverses.

Elle est continue sur

Y

.

Elle est continue sur

X

.

Elle est continue sur

X

si

g

ne s’annule pas sur

Y

.

Explication

La continuité de $f$ sur $X$ et celle de $g$ sur $Y$ garantissent la continuité de $g\circ f$ sur $X$ . La condition de non-annulation concerne les quotients, et ni l’ordre inversé ni le fait que les fonctions soient inverses ne découlent de cette règle.

Answer

Elle est continue sur $$X$$.

Question 5

5. Que garantit le théorème des valeurs intermédiaires pour une fonction continue sur un intervalle $I$ et deux points $a<b$ de $I$ ?

La fonction atteint un maximum et un minimum sur

[a,b]

.

L’image de

[a,b]

est égale à l’intervalle

[f(a),f(b)]

, quel que soit leur ordre.

Toute valeur comprise entre

f(a)

et

f(b)

est prise par la fonction en un point de

[a,b]

.

Toute valeur comprise entre

f(a)

et

f(b)

est prise une seule fois en un point de

[a,b]

.

Explication

La continuité sur $I$ garantit qu’une valeur intermédiaire entre les valeurs aux extrémités possède au moins un antécédent dans $[a,b]$ . Le théorème n’assure pas l’unicité de cet antécédent, contrairement à ce que suggère une autre réponse.

Answer

Toute valeur comprise entre $$f(a)$$ et $$f(b)$$ est prise par la fonction en un point de $$[a,b]$$.

Question 6

6. Si une fonction est définie partout sauf en $x_0$ , où sa limite existe et vaut $\ell$ , quelle valeur faut-il lui attribuer en $x_0$ pour obtenir son unique prolongement continu ?

La valeur de la fonction en un point voisin de

x_0

Une valeur arbitraire, puisque la fonction n’est pas définie en

x_0

La moyenne des limites à gauche et à droite en

x_0

La valeur

\ell

, égale à la limite de la fonction en

x_0

Explication

Attribuer à la fonction en $x_0$ la valeur de sa limite rend le prolongement continu et celui-ci est unique. Une valeur arbitraire ne garantit pas la continuité, même si la fonction n’était pas définie en ce point.

Answer

La valeur $$\ell$$, égale à la limite de la fonction en $$x_0$$

Question 7

7. Quel rôle joue la stricte monotonie d’une fonction continue sur un intervalle dans l’étude de son injectivité ?

Elle garantit que la fonction est bornée, et le fait d’être bornée implique réciproquement la stricte monotonie.

Elle garantit que la fonction est surjective sur les réels, sans renseigner sur son injectivité.

Elle garantit que la fonction est injective, et l’injectivité implique réciproquement la stricte monotonie.

Elle garantit que la fonction est périodique, et la périodicité implique réciproquement la stricte monotonie.

Explication

Pour une fonction continue sur un intervalle, être injective équivaut à être strictement monotone : l’une de ces propriétés entraîne donc l’autre. La bornitude, contrairement à l’injectivité, ne caractérise pas la stricte monotonie.

Answer

Elle garantit que la fonction est injective, et l’injectivité implique réciproquement la stricte monotonie.

Question 8

8. Quelle différence distingue une fonction continue sur un segment d’une fonction continue sur un intervalle ouvert qui tend vers $+\infty$ aux deux bornes ?

Sur le segment, elle est bornée sans devoir atteindre ses bornes ; sur l’intervalle ouvert, elle admet un maximum.

Sur le segment, elle admet un minimum ; sur l’intervalle ouvert, elle est bornée et atteint ses deux bornes.

Sur le segment, elle atteint ses bornes sans être nécessairement bornée ; sur l’intervalle ouvert, elle admet un minimum.

Sur le segment, elle est bornée et atteint ses bornes ; sur l’intervalle ouvert, elle admet un minimum.

Explication

Sur un segment fermé, la continuité garantit que la fonction est bornée et atteint son minimum et son maximum. Dans le cas d’un intervalle ouvert où la fonction tend vers $+\infty$ aux bornes, le résultat indiqué garantit un minimum, et non l’atteinte de deux bornes finies.

Answer

Sur le segment, elle est bornée et atteint ses bornes ; sur l’intervalle ouvert, elle admet un minimum.

Question 9

9. Si la limite de $f(x)$ lorsque $x$ tend vers $x_0$ est différente de $f(x_0)$ , quelle conséquence en découle pour la continuité de $f$ en $x_0$ ?

La fonction est continue en

x_0

si ses limites unilatérales existent toutes deux.

La fonction est continue à gauche en

x_0

, dès que sa limite à droite existe.

La fonction est discontinue en

x_0

, car la limite doit égaler sa valeur en ce point.

La fonction est continue sur son domaine, même si la limite diffère de sa valeur.

Explication

La continuité en un point exige que la limite de la fonction en ce point soit égale à la valeur de la fonction. L’existence des limites unilatérales, évoquée dans une autre proposition, ne suffit pas si leur valeur ne correspond pas à $f(x_0)$ .

Answer

La fonction est discontinue en $$x_0$$, car la limite doit égaler sa valeur en ce point.

Question 10

10. Sur un ensemble $X$ , $f$ et $g$ sont continues, et $g(x)\neq 0$ pour tout $x\in X$ . Quelle opération permet de construire une fonction continue à partir de ces deux fonctions ?

Former leur quotient

f/g

, dont le dénominateur ne s’annule pas sur

X

.

Former leur produit

fg

, à condition que

g

ne s’annule pas sur

X

.

Former leur quotient

f/g

, à condition que le numérateur ne s’annule pas sur

X

.

Former leur somme

f+g

, à condition que

f

ne s’annule pas sur

X

.

Explication

Le quotient de deux fonctions continues est continu lorsque le dénominateur ne s’annule pas sur $X$ . La non-annulation du numérateur, contrairement à celle du dénominateur, n’est pas la condition requise pour le quotient.

Answer

Former leur quotient $$f/g$$, dont le dénominateur ne s’annule pas sur $$X$$.

QCM : Continuité des fonctions (10 questions)

Questions et réponses du QCM

1. Pour une fonction définie en $x_0$ , quelle condition équivaut à sa continuité en ce point ?

2. En un point intérieur $x_0$ , une fonction a une limite à gauche égale à $f(x_0)$ , mais sa limite à droite est différente de $f(x_0)$ . Que peut-on conclure sur sa continuité en $x_0$ ?

3. Sur un ensemble $X$ , les fonctions $f$ et $g$ sont continues. Quelle conclusion s’applique à la fonction $h(x)=f(x)g(x)$ ?

4. Une fonction continue $f$ envoie un ensemble $X$ dans $Y$ , et une fonction $g$ est continue sur $Y$ . Quelle propriété possède la composée $g\circ f$ ?

5. Que garantit le théorème des valeurs intermédiaires pour une fonction continue sur un intervalle $I$ et deux points $a<b$ de $I$ ?

6. Si une fonction est définie partout sauf en $x_0$ , où sa limite existe et vaut $\ell$ , quelle valeur faut-il lui attribuer en $x_0$ pour obtenir son unique prolongement continu ?

7. Quel rôle joue la stricte monotonie d’une fonction continue sur un intervalle dans l’étude de son injectivité ?

8. Quelle différence distingue une fonction continue sur un segment d’une fonction continue sur un intervalle ouvert qui tend vers $+\infty$ aux deux bornes ?

9. Si la limite de $f(x)$ lorsque $x$ tend vers $x_0$ est différente de $f(x_0)$ , quelle conséquence en découle pour la continuité de $f$ en $x_0$ ?

10. Sur un ensemble $X$ , $f$ et $g$ sont continues, et $g(x)\neq 0$ pour tout $x\in X$ . Quelle opération permet de construire une fonction continue à partir de ces deux fonctions ?

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QCM : Continuité des fonctions (10 questions)

Questions et réponses du QCM

1. Pour une fonction définie en x0x_0x0​, quelle condition équivaut à sa continuité en ce point ?

2. En un point intérieur x0x_0x0​, une fonction a une limite à gauche égale à f(x0)f(x_0)f(x0​), mais sa limite à droite est différente de f(x0)f(x_0)f(x0​). Que peut-on conclure sur sa continuité en x0x_0x0​ ?

3. Sur un ensemble XXX, les fonctions fff et ggg sont continues. Quelle conclusion s’applique à la fonction h(x)=f(x)g(x)h(x)=f(x)g(x)h(x)=f(x)g(x) ?

4. Une fonction continue fff envoie un ensemble XXX dans YYY, et une fonction ggg est continue sur YYY. Quelle propriété possède la composée g∘fg\circ fg∘f ?

5. Que garantit le théorème des valeurs intermédiaires pour une fonction continue sur un intervalle III et deux points a<ba<ba<b de III ?

6. Si une fonction est définie partout sauf en x0x_0x0​, où sa limite existe et vaut ℓ\ellℓ, quelle valeur faut-il lui attribuer en x0x_0x0​ pour obtenir son unique prolongement continu ?

7. Quel rôle joue la stricte monotonie d’une fonction continue sur un intervalle dans l’étude de son injectivité ?

8. Quelle différence distingue une fonction continue sur un segment d’une fonction continue sur un intervalle ouvert qui tend vers +∞+\infty+∞ aux deux bornes ?

9. Si la limite de f(x)f(x)f(x) lorsque xxx tend vers x0x_0x0​ est différente de f(x0)f(x_0)f(x0​), quelle conséquence en découle pour la continuité de fff en x0x_0x0​ ?

10. Sur un ensemble XXX, fff et ggg sont continues, et g(x)≠0g(x)\neq 0g(x)=0 pour tout x∈Xx\in Xx∈X. Quelle opération permet de construire une fonction continue à partir de ces deux fonctions ?

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1. Pour une fonction définie en $x_0$ , quelle condition équivaut à sa continuité en ce point ?

2. En un point intérieur $x_0$ , une fonction a une limite à gauche égale à $f(x_0)$ , mais sa limite à droite est différente de $f(x_0)$ . Que peut-on conclure sur sa continuité en $x_0$ ?

3. Sur un ensemble $X$ , les fonctions $f$ et $g$ sont continues. Quelle conclusion s’applique à la fonction $h(x)=f(x)g(x)$ ?

4. Une fonction continue $f$ envoie un ensemble $X$ dans $Y$ , et une fonction $g$ est continue sur $Y$ . Quelle propriété possède la composée $g\circ f$ ?

5. Que garantit le théorème des valeurs intermédiaires pour une fonction continue sur un intervalle $I$ et deux points $a<b$ de $I$ ?

6. Si une fonction est définie partout sauf en $x_0$ , où sa limite existe et vaut $\ell$ , quelle valeur faut-il lui attribuer en $x_0$ pour obtenir son unique prolongement continu ?

8. Quelle différence distingue une fonction continue sur un segment d’une fonction continue sur un intervalle ouvert qui tend vers $+\infty$ aux deux bornes ?

9. Si la limite de $f(x)$ lorsque $x$ tend vers $x_0$ est différente de $f(x_0)$ , quelle conséquence en découle pour la continuité de $f$ en $x_0$ ?

10. Sur un ensemble $X$ , $f$ et $g$ sont continues, et $g(x)\neq 0$ pour tout $x\in X$ . Quelle opération permet de construire une fonction continue à partir de ces deux fonctions ?