QCM : Données et estimateurs statistiques (28 questions)

Explication

Une variable aléatoire est un caractère dont la réalisation pour un individu ne peut être prédite à coup sûr. Une réalisation est une valeur particulière, tandis que la population et l’échantillon désignent des ensembles d’individus.

Explication

La population rassemble tous les individus statistiques auxquels porte l’étude, qu’ils soient ou non des êtres vivants. Les forêts visitées forment plutôt l’échantillon, et les présences observées sont des valeurs recueillies.

Explication

L’échantillon est le sous-ensemble de la population dont les valeurs de la variable sont observées. La population correspond à toutes les forêts concernées, et l’indice est la variable dont les réalisations sont mesurées.

Explication

Les statistiques inférentielles étendent les informations de l’échantillon à la population, tandis que les statistiques descriptives décrivent les données observées dans l’échantillon. La confusion consiste à attribuer l’extension à la description.

Explication

Une variable quantitative continue se représente généralement par un histogramme construit à partir de classes d’intervalles. Le diagramme en bâtons convient plutôt aux variables quantitatives discrètes ou qualitatives.

Explication

Le nombre de fleurs est une variable quantitative discrète ; on préfère donc un diagramme en bâtons fondé sur la répartition des effectifs selon les modalités. L’histogramme est généralement utilisé pour les variables quantitatives continues.

Explication

Le mode est la valeur ou la modalité la plus représentée dans une série. La position centrale relève de la médiane, le calcul par moyenne des valeurs de la moyenne arithmétique, et l’écart des extrêmes de l’étendue.

Explication

La moyenne est la somme des valeurs divisée par leur nombre : $(2+4+6+8)/4=5$. Le total 20 omet la division, 6,67 divise par 3, et 5,5 est la moyenne des deux valeurs centrales.

Explication

La médiane est très robuste aux valeurs extrêmes, alors que la moyenne est sensiblement affectée. L’étendue et la variance sont elles aussi sensibles aux valeurs éloignées, mais ce sont des paramètres de dispersion, pas des indicateurs de position.

Explication

L’étendue est la valeur maximale moins la valeur minimale : $31-12=19$ minutes. L’addition et la moyenne des extrêmes ne donnent pas l’étendue, et soustraire dans l’ordre inverse produit un résultat négatif.

Explication

L’écart interquartile est la différence entre le troisième et le premier quartile : $Q_3-Q_1=26-14=12$. Inverser l’ordre donne -12, tandis que 40 et 20 correspondent respectivement à leur somme et à leur moyenne.

Explication

Les écarts à la moyenne sont -2 et 2 ; leurs carrés valent 4 et 4, donc la variance est leur moyenne, soit 4. La valeur 2 est l’écart-type, 0 omet les carrés, et 13 est la moyenne des carrés sans soustraire le carré de la moyenne.

Explication

L’écart-type est la racine carrée de la variance et s’exprime dans la même unité que la variable, ici en secondes. Les secondes carrées sont l’unité de la variance ; l’absence d’unité et les minutes ne correspondent pas à l’unité des données.

Explication

Une loi uniforme répartit la probabilité totale également entre les 8 modalités, soit $\frac{1}{8}$ chacune. La valeur 1 correspond à la somme totale, 8 n’est pas une probabilité valide ici, et $\frac{1}{2}$ ne tient pas compte des huit modalités.

Explication

Les probabilités de toutes les modalités doivent totaliser 1 : $1-(0,12+0,28+0,35)=0,25$. La valeur 0,75 est la somme des probabilités déjà données, 0,19 résulte d’une addition erronée et 0,40 ne complète pas la somme à 1.

Explication

La loi binomiale décrit le nombre de succès parmi un nombre fixé d’essais, ici 12 avec une probabilité de succès de 0,3 par essai. La loi binomiale négative porte sur le nombre d’essais requis pour atteindre un nombre fixé de succès; la loi de Poisson ne décrit pas ce cadre binomial précis.

Explication

La loi binomiale négative de paramètres $k$ et $p$ modélise le nombre d’essais nécessaires pour obtenir $k$ succès, ici cinq. Le nombre de succès parmi cinq essais relève du cadre binomial à nombre d’essais fixé; quatre succès modifie la cible, et les essais défavorables parmi cinq ne correspondent pas à la variable décrite.

Explication

Pour une variable continue, toute valeur ponctuelle a une probabilité nulle; les probabilités se calculent sur des intervalles à partir de la densité. La densité en un point n’est pas la probabilité ponctuelle, et les paramètres de la loi ne changent pas ce principe.

Explication

La probabilité sur un intervalle est l’aire sous la densité entre ses bornes, soit $\int_2^5 f(x)\,dx$. Inverser les bornes change le signe de l’intégrale, tandis que $f(2)$ est une hauteur et que $5-2$ n’est que la largeur de l’intervalle.

Explication

Dans une loi normale, la moyenne détermine la position de la courbe, tandis que l’écart-type détermine son aplatissement. La forme en cloche, la continuité et la symétrie autour de la moyenne caractérisent la loi normale et ne sont pas les changements attribués à une moyenne différente.

Explication

Pour une somme de $n$ variables, la moyenne est $n\mu$ et la variance est $n\sigma^2$ ; ici, cela donne $40\times3=120$ et $40\times2=80$. La variance 2 n’est pas multipliée, 3200 applique à tort un facteur $n^2$, et $N(3,2)$ reprend les paramètres d’une seule variable.

Explication

Pour une taille d’échantillon d’au moins 30, la moyenne d’échantillon est approximativement normale, même si la distribution d’origine ne l’est pas, avec une variance $\sigma^2/N$. La variance non divisée oublie l’effet de la taille, les paramètres multipliés correspondent à la somme, et l’asymétrie conservée contredit l’approximation du théorème central limite.

Explication

Un estimateur est une statistique obtenue à partir de l’échantillon et utilisée pour prédire une caractéristique de la population. Un paramètre décrit la population, l’échantillonnage désigne la sélection des individus, et la variance mesure une dispersion.

Explication

La variance corrigée utilisée pour estimer la variance de la population divise la somme des carrés des écarts par $N-1$ ; pour $N=8$, le diviseur est 7. Diviser par 8 correspond à la variance descriptive, $8/7$ est le facteur de correction de cette variance descriptive, et 64 ne correspond pas à la formule.

Explication

L’erreur standard est $es=s/\sqrt{N}$ ; ici, $10/\sqrt{25}=10/5=2$. La valeur 10 oublie la taille de l’échantillon, 0,4 divise par 25 plutôt que par sa racine carrée, et 50 multiplie par cette racine.

Explication

La médiane peut être définie pour une variable qualitative ordinale, car ses catégories sont ordonnées et permettent de repérer la valeur centrale. Le mode décrit la catégorie la plus fréquente, tandis que la moyenne et l’écart-type requièrent une variable quantitative.

Explication

Le théorème central limite indique que la somme d’un grand nombre de variables indépendantes de même loi, avec variance finie strictement positive, devient approximativement normale. Une variable isolée ne suffit pas, et la loi de la somme n’est pas nécessairement celle de chaque terme.

Explication

La moyenne d’échantillon est sans biais : sa moyenne sur tous les échantillons possibles égale la moyenne de la population, soit 50. Une moyenne inférieure ou supérieure évoque un biais directionnel, tandis que l’égalité pour chaque échantillon confond absence de biais et résultat individuel.