Fiche de révision : Données et estimateurs statistiques

📋 Plan du Cours

1. Vocabulaire statistique et échantillonnage
2. Représenter les données graphiquement
3. Paramètres de position et robustesse
4. Paramètres de dispersion des données
5. Lois discrètes de probabilité
6. Lois continues et loi normale
7. Théorème central limite et conséquences
8. Estimateurs et incertitude d’échantillonnage

📖 1. Vocabulaire statistique et échantillonnage

🔑 Notions clés & Définitions

• Variable aléatoire : Caractère dont la réalisation pour un individu ne peut pas être prédite à coup sûr.
• Population : Ensemble des individus statistiques auxquels porte l’étude, qu’ils soient ou non des êtres vivants.
• Échantillon : Sous-ensemble de la population dont les valeurs de la variable aléatoire sont observées.
• Série statistique : Ensemble des N réalisations X₁, X₂, …, Xₙ de la variable aléatoire X sur un échantillon de N individus.

★ À maîtriser

📌 Les statistiques descriptives décrivent les données de l’échantillon, tandis que les statistiques inférentielles étendent les informations de l’échantillon à la population.

• Les types de variables se distinguent ainsi :
  • Une variable quantitative continue prend ses modalités dans des intervalles de valeurs numériques
  • Une variable quantitative discrète prend des valeurs numériques ponctuelles
  • Une variable qualitative ordinale prend des valeurs ponctuelles ordonnables
  • Une variable qualitative nominale prend des valeurs ponctuelles non ordonnées

Compléments

• Un échantillon comportant au moins 30 individus est généralement préférable à un petit échantillon pour améliorer la fiabilité des résultats.

📌 Une étude est univariée si elle porte sur une variable aléatoire, bivariée si elle en étudie deux simultanément, et multivariée si elle en étudie plus de deux simultanément.

💡 Astuce mémo

Population → échantillon → série de réalisations

📖 2. Représenter les données graphiquement

★ À maîtriser

📌 Pour représenter une variable quantitative continue, on utilise généralement un histogramme construit à partir de classes d’intervalles.

📌 Pour les variables quantitatives discrètes ou qualitatives, on préfère un diagramme en bâtons fondé sur la répartition des effectifs selon les modalités.

Compléments

📌 Les classes d’un histogramme doivent couvrir l’ensemble de l’intervalle des valeurs sans se chevaucher ; par convention, elles sont généralement de la forme ]aₖ, aₖ₊₁].

• Le nombre de classes d’un histogramme peut être estimé par $1 + 3.3\log_{10}(N)$, puis ajusté pour obtenir des amplitudes faciles à manipuler.

📌 Lorsque les classes d’un histogramme ont des amplitudes inégales, la hauteur des barres doit être adaptée pour que leurs aires respectent les proportions des effectifs.

• Un diagramme circulaire peut représenter les proportions respectives des modalités ou des classes.

📌 Une courbe cumulée donne, pour chaque classe ou modalité, l’effectif total des classes ou modalités inférieures ou égales, tandis qu’une courbe rétrocumulée donne celui des classes ou modalités supérieures ou égales.

💡 Astuce mémo

Histogramme pour les intervalles, bâtons pour les modalités

📖 3. Paramètres de position et robustesse

🔑 Notions clés & Définitions

• Mode : Valeur la plus représentée dans une série statistique ; pour une variable quantitative continue, on utilise plutôt la classe modale déterminée à partir de l’histogramme.
• Médiane : Valeur M telle que 50 % des valeurs sont inférieures et 50 % des valeurs sont supérieures ; elle est définie pour les variables quantitatives et les variables qualitatives ordinales.

★ À maîtriser

📐 Formule - La moyenne arithmétique d’un échantillon de N réalisations est $\bar{X} = \frac{1}{N}\sum_{i=1}^{N}X_i$.

📌 La moyenne est peu robuste aux valeurs extrêmes, tandis que la médiane est très robuste.

Compléments

• Pour un effectif impair N = 2p + 1, la médiane est la valeur de rang p + 1 après classement des données.

• Pour un effectif pair N = 2p, la médiane est la moyenne des valeurs de rang p et p + 1 après classement des données.

• La moyenne et la médiane coïncident pour une distribution parfaitement symétrique, et leur écart augmente à mesure que la distribution s’éloigne de la symétrie.

• La médiane est moins efficiente et plus variable que la moyenne entre des jeux de données proches, tandis que la moyenne est très efficiente.

💡 Astuce mémo

La moyenne réagit aux extrêmes, la médiane y résiste

📖 4. Paramètres de dispersion des données

🔑 Notions clés & Définitions

• Étendue : Différence entre la valeur maximale et la valeur minimale d’une série ; elle est simple à calculer mais ne repose que sur les valeurs extrêmes.
• Écart interquartile : Différence entre le troisième et le premier quartile.
• Écart-type : Racine carrée de la variance, exprimant la dispersion dans la même unité que la variable.

★ À maîtriser

📐 Formule - La variance est la moyenne des écarts au carré à la moyenne et peut aussi s’écrire comme la moyenne des carrés moins le carré de la moyenne : $\sigma_X^2 = \frac{1}{N}\sum_{i=1}^{N}(X_i-\bar{X})^2 = \frac{1}{N}\sum_{i=1}^{N}X_i^2-\bar{X}^2$.

Compléments

• Les quartiles Q₁ et Q₃ délimitent respectivement les seuils associés à 25 % et 75 % des valeurs ordonnées, et l’écart interquartile décrit la dispersion entre ces deux quartiles.

• Les déciles divisent les données en tranches de 10 %, les centiles en tranches de 1 %, et les quantiles désignent plus généralement des découpages en tranches de différentes tailles.

• La somme des écarts signés à la moyenne vaut toujours zéro et ne mesure donc pas la dispersion.

📌 Une boîte à moustaches peut être tracée à partir de Q₁, de la médiane, de Q₃ et de moustaches bornées par les extrêmes compatibles avec 1,5 fois l’écart interquartile ; les valeurs au-delà sont représentées comme rares.

📖 5. Lois discrètes de probabilité

🔑 Notions clés & Définitions

• Loi uniforme discrète : Loi qui attribue la même probabilité à chacune de ses n modalités.
• Loi binomiale : Loi qui donne la probabilité d’obtenir k tirages favorables parmi N tirages, lorsque chaque tirage est favorable avec la probabilité p.
• Loi binomiale négative : Loi qui donne le nombre N de tirages nécessaires pour obtenir k tirages favorables, chaque tirage étant favorable avec la probabilité p.
• Loi de Poisson : Loi de paramètre λ dont la moyenne théorique et la variance théorique sont toutes deux égales à λ.

★ À maîtriser

• Dans une loi discrète à n modalités, la somme des probabilités des modalités vaut 1.

Compléments

📐 Formule - Une loi binomiale B(N,p) a pour moyenne théorique $\mu=Np$ et pour variance théorique $\sigma^2=Np(1-p)$.

📌 La loi de Bernoulli décrit un tirage à deux modalités codées 0 et 1, tandis que la loi binomiale compte le nombre de succès sur N tirages.

📐 Formule - Pour une loi binomiale négative de paramètres k et p, la probabilité d’obtenir le kᵉ succès au tirage N est $P_k(N)=\binom{N-1}{k-1}p^k(1-p)^{N-k}$.

📐 Formule - La loi de Poisson de paramètre λ attribue la probabilité $P(k)=\frac{e^{-\lambda}\lambda^k}{k!}$ à la valeur k.

📖 6. Lois continues et loi normale

🔑 Notions clés & Définitions

• Loi normale : Loi continue symétrique en forme de cloche, dont μ détermine la position et σ l’aplatissement.

★ À maîtriser

• Pour une variable continue, la probabilité d’obtenir une valeur ponctuelle est nulle et les probabilités se calculent sur des intervalles à partir de la fonction de densité.

📐 Formule - Pour une variable continue de densité f, la probabilité d’appartenir à l’intervalle [a,b] est l’aire sous la densité entre a et b : $P(X\in[a,b])=\int_a^b f(x)\,dx$.

• Dans une loi normale centrée réduite, 95 % des valeurs se situent entre −1,96 et 1,96, approximativement entre −2 et 2.

Compléments

📐 Formule - La densité d’une loi normale N(μ,σ²) est $f(x)=\frac{1}{\sigma\sqrt{2\pi}}e^{-\frac{(x-\mu)^2}{2\sigma^2}}$.

• La loi normale centrée réduite est la loi normale N(0,1), de moyenne 0 et d’écart-type 1.

• Pour une loi normale N(μ,σ²), 95 % des valeurs se situent entre μ−1,96σ et μ+1,96σ, approximativement entre la moyenne moins deux écarts-types et la moyenne plus deux écarts-types.

💡 Astuce mémo

La loi normale forme une cloche dont la moyenne place la pointe et l’écart-type règle l’aplatissement

📖 7. Théorème central limite et conséquences

★ À maîtriser

• Le théorème central limite indique que la somme de variables aléatoires mutuellement indépendantes, de même loi de moyenne μ et de variance finie σ² > 0, devient approximativement normale lorsque leur nombre n tend vers l’infini.

📐 Formule - Si Y est la somme de n variables indépendantes de moyenne μ et de variance σ², alors, lorsque n est grand, $Y\approx N(n\mu,n\sigma^2)$.

• Selon le théorème central limite, la moyenne d’un échantillon de taille N ≥ 30 est approximativement normale, de moyenne μ et de variance σ²/N, même si la variable d’origine n’est pas normalement distribuée.

Compléments

📐 Formule - La somme centrée réduite $Z=\frac{Y-n\mu}{\sqrt{n\sigma^2}}$ est approximativement distribuée selon $N(0{,}1)$ lorsque n est grand.

• En pratique, un nombre de variables n ≥ 30 peut suffire pour obtenir une approximation normale si la variance de chacune est faible par rapport à la variance totale.

📐 Formule - Pour une variable d’origine de moyenne μ et de variance σ², la moyenne d’échantillon de taille N a approximativement pour loi $\bar{X}\approx N\left(\mu,\frac{\sigma^2}{N}\right)$ lorsque N est assez grand.

• Une variable biologique résultant souvent d’une somme de petits effets aléatoires peut avoir une distribution proche d’une loi normale.

• Une distribution présentant plusieurs bosses peut indiquer la présence de plusieurs sous-populations.

💡 Astuce mémo

Somme de nombreux petits effets indépendants → approximation normale

📖 8. Estimateurs et incertitude d’échantillonnage

🔑 Notions clés & Définitions

• Estimateur : Statistique calculée sur l’échantillon et utilisée pour prédire un paramètre ou une information de la population.
• Biais statistique : Erreur systématique qui conduit toujours à une surestimation ou toujours à une sous-estimation.

★ À maîtriser

• La moyenne de l’échantillon est un estimateur sans biais de la moyenne de la population, car la moyenne de ses valeurs sur tous les échantillons possibles est égale à la moyenne de la population.

• La variance calculée en divisant par N sous-estime la variance de la population, car l’échantillon ne capture pas nécessairement toute sa variabilité.

📐 Formule - La variance corrigée de l’échantillon est $s^2=\frac{1}{N-1}\sum_{i=1}^{N}(X_i-\bar{X})^2=\frac{N}{N-1}\sigma_X^2$ et sert à estimer la variance de la population.

📐 Formule - L’erreur standard de la moyenne est $es=\frac{s}{\sqrt{N}}$ et correspond à l’écart-type de la moyenne d’échantillon.

Compléments

• À moins d’observer tous les individus de la population, ses paramètres restent inconnus et ne peuvent être obtenus que par estimation.

• Le mode, la médiane et les quartiles de l’échantillon ne sont pas, en général, des estimateurs sans biais des paramètres correspondants de la population.

• Un biais statistique peut provenir d’un échantillonnage non aléatoire qui laisse échapper plus facilement une partie de la population, ou d’une formule de calcul elle-même biaisée.

📐 Formule - L’écart-type corrigé est $s=\sqrt{s^2}$ et sert à estimer l’écart-type de la population.

📌 Une erreur standard doit être accompagnée de l’effectif N, car elle dépend de la taille de l’échantillon.

📌 Les barres d’erreur d’un graphique peuvent représenter un écart-type, une erreur standard ou un intervalle de confiance ; leur signification doit donc être précisée ou vérifiée.

📐 Formule - Pour une proportion p et son complément q = 1 − p, l’erreur standard de la proportion est $es_p=\sqrt{\frac{pq}{N}}$.

• Dans l’exemple de douleur à la mise au sein, 80 personnes sur 250 ont ressenti une douleur, soit une proportion de 32 % et une erreur standard de 3 %.

💡 Astuce mémo

La variance divisée par N est biaisée, celle divisée par N−1 corrige le biais