Continuité des fonctions

📋 Plan du Cours

1. Définitions de la continuité
2. Opérations sur les fonctions continues
3. Théorème des valeurs intermédiaires
4. Prolongement par continuité
5. Continuité et monotonie
6. Théorème des valeurs extrêmes

📖 1. Définitions de la continuité

🔑 Notions clés & Définitions

• Continuité en un point : La fonction f est continue en x₀ si la limite de f(x) lorsque x tend vers x₀ est égale à f(x₀), ce qui équivaut à : pour tout ε > 0, il existe δ > 0 tel que, pour tout x ∈ X vérifiant |x − x₀| < δ, on ait |f(x) − f(x₀)| < ε.
• Continuité unilatérale : La fonction f est continue à gauche en x₀ si sa limite à gauche en x₀ vaut f(x₀), et elle est continue à droite en x₀ si sa limite à droite en x₀ vaut f(x₀).
• Continuité sur un ensemble : La fonction f est continue sur X si elle est continue en tout point de X.

★ À maîtriser

📌 Une fonction est continue en x₀ si et seulement si elle est à la fois continue à gauche et continue à droite en x₀.

Compléments

• Les polynômes, les fonctions exponentielles et les fonctions trigonométriques sont continues en tout point de leur intervalle de définition.