Fiche de révision : Dérivées et différentielles

📋 Plan du Cours

1. Définition et interprétation géométrique
2. Règles de dérivation usuelles
3. Dérivation des fonctions composées
4. Définition et approximation différentielle
5. Calcul différentiel et logarithmique
6. Différentielles à plusieurs variables

📖 1. Définition et interprétation géométrique

🔑 Notions clés & Définitions

• Dérivée en un point : Limite finie de $\frac{\Delta f}{\Delta x}=\frac{f(x₀+\Delta x)-f(x₀)}{\Delta x}$ lorsque Δx tend vers 0.

★ À maîtriser

📌 Géométriquement, la dérivée en x₀ est la pente de la tangente à la courbe au point d’abscisse x₀, car la droite sécante devient tangente lorsque le point voisin se rapproche du point étudié.

Compléments

• La pente d’une droite passant par A et B vaut $p=\frac{y_B-y_A}{x_B-x_A}=\frac{\Delta y}{\Delta x}=\tan\alpha$.

• Si le quotient d’accroissement tend vers l’infini lorsque Δx tend vers 0, la tangente fait un angle de $\frac{\pi}{2}$ avec l’axe des abscisses.

📌 Lorsque les dérivées à gauche et à droite en un point sont différentes, les deux tangentes ont des pentes différentes et le point est anguleux.

💡 Astuce mémo

Sécante pour un accroissement fini, tangente quand Δx tend vers 0

📖 2. Règles de dérivation usuelles

📝 Points essentiels

📐 Formule — Pour deux fonctions dérivables u et v, les règles usuelles sont $(u+v)'=u'+v'$, $(ku)'=ku'$, $(uv)'=u'v+uv'$, $\left(\frac{u}{v}\right)'=\frac{u'v-uv'}{v^2}$ et $\left(\frac{1}{v}\right)'=-\frac{v'}{v^2}$.

📐 Formule — Les dérivées usuelles sont $(u^\alpha)'=\alpha u'u^{\alpha-1}$, $(e^u)'=u'e^u$, $(\ln u)'=\frac{u'}{u}$, $(\sin u)'=u'\cos u$ et $(\cos u)'=-u'\sin u$.

💡 Astuce mémo

SPQI : somme, produit, quotient, inverse

📖 3. Dérivation des fonctions composées

★ À maîtriser

📌 Pour une fonction composée, la dérivée s’obtient en multipliant la dérivée de la fonction extérieure par celle de la fonction intérieure : $f'(x)=f'(u)u'(x)$.

Compléments

• Pour $f(x)=\sin(x^2+1)$, on obtient $f'(x)=2x\cos(x^2+1)$.

• Pour $f(x)=(1-x^4)^5$, on obtient $f'(x)=-20x^3(1-x^4)^4$.

💡 Astuce mémo

Fonction extérieure → fonction intérieure → produit des dérivées

📖 4. Définition et approximation différentielle

🔑 Notions clés & Définitions

• Différentielle : Donnée par $df(x)=dy=f'(x)dx$, où dx représente la variation différentielle de x.

★ À maîtriser

📌 Lorsque dx est suffisamment petit, la différentielle fournit une bonne approximation de l’accroissement : $\Delta f\simeq df=f'(x)dx$.

Compléments

📐 Formule — La pente de la tangente permet d’écrire l’équation $Y-f(x)=f'(x)(X-x)$.

📐 Formule — Si la fonction identité vérifie f(x)=x, alors $df=dy=dx$.

• Pour $f(x)=x^4+2x^3$, l’approximation différentielle donne $f(1{,}025)\simeq f(1)+f'(1)\times0{,}025=3{,}25$, alors que la valeur calculée est 3,2575941.

💡 Astuce mémo

Petit dx → df approche l’accroissement Δf

📖 5. Calcul différentiel et logarithmique

★ À maîtriser

📐 Formule — La notation différentielle exprime la dérivée par $f'(x)=\frac{dy}{dx}$.

📐 Formule — Pour des fonctions composées successives, $\frac{dy}{du}=\frac{dy}{dx}\frac{dx}{dt}\frac{dt}{du}=f'(x)g'(t)h'(u)$.

📐 Formule — Les différentielles vérifient $d(u+v)=du+dv$, $d(\lambda f)=\lambda df$, $d(fg)=g\,df+f\,dg$ et $d\left(\frac{f}{g}\right)=\frac{g\,df-f\,dg}{g^2}$.

📐 Formule — Pour $p=uv$, la différentielle logarithmique vérifie $\frac{dp}{p}=\frac{du}{u}+\frac{dv}{v}$, tandis que pour $q=\frac{u}{v}$, $\frac{dq}{q}=\frac{du}{u}-\frac{dv}{v}$.

Compléments

📐 Formule — Pour $f(x)=ax^r$, la différentielle logarithmique est $\frac{df}{f}=r\frac{dx}{x}$.

• Pour $y=\ln(\sin a)$, on obtient $dy=\frac{\cos a}{\sin a}da=\frac{1}{\tan a}da$.

💡 Astuce mémo

Produit : les différentielles s’additionnent ; quotient : elles se soustraient

📖 6. Différentielles à plusieurs variables

🔑 Notions clés & Définitions

• Incertitude absolue : Valeur maximale de l’erreur de mesure, elle est positive et vérifie $x_e\in]x-\Delta x;x+\Delta x[$; Δx possède la même unité que x.
• Incertitude relative : Mesure la précision d’une mesure et n’a pas d’unité.

★ À maîtriser

📐 Formule — Pour $y=f(u,v,w)$, la différentielle totale est $dy=\frac{\partial y}{\partial u}du+\frac{\partial y}{\partial v}dv+\frac{\partial y}{\partial w}dw$.

📐 Formule — Pour $y=f(u,v,w)$, l’incertitude absolue se calcule par $\Delta y=\left|\frac{\partial y}{\partial u}\right|\Delta u+\left|\frac{\partial y}{\partial v}\right|\Delta v+\left|\frac{\partial y}{\partial w}\right|\Delta w$.

📐 Formule — Pour $y=u^\alpha v^\beta$, la différentielle logarithmique donne $\frac{dy}{y}=\alpha\frac{du}{u}+\beta\frac{dv}{v}$ et $\frac{\Delta y}{y}=|\alpha|\frac{\Delta u}{u}+|\beta|\frac{\Delta v}{v}$.

Compléments

📐 Formule — Pour $y=au+bv$, on a $dy=a\,du+b\,dv$ et $\Delta y=|a|\Delta u+|b|\Delta v$.

• La méthode de résolution par différentielle logarithmique pour $y=u^\alpha v^\beta$ consiste à prendre le logarithme, différencier, puis obtenir la variation relative.

💡 Astuce mémo

Paramètres → différentielles partielles → incertitude totale

📊 Tableaux de synthèse

Incertitudes absolue et relative