Fiche de révision : Nombres décimaux et relatifs

📋 Plan du Cours

1. Estimation et approximation décimale
2. Nombres naturels, multiples et diviseurs
3. Divisibilité et nombres premiers
4. PPMC des nombres naturels
5. PGDC des nombres naturels
6. Entiers relatifs et nombres opposés
7. Opérations sur les relatifs
8. Opérations décimales en colonnes
9. Propriétés et priorités opératoires

📖 1. Estimation et approximation décimale

🔑 Notions clés & Définitions

• Estimation d’un résultat : Consiste à trouver mentalement une valeur approchée en remplaçant chaque nombre par un nombre proche facilitant le calcul.

★ À maîtriser

📌 L’arrondi est la valeur approchée la plus proche, tandis que la troncature coupe l’écriture à la précision choisie et fournit la valeur approchée inférieure.

📌 Pour arrondir, on augmente le chiffre de la précision si le chiffre suivant vaut de 5 à 9, et on le conserve si le chiffre suivant vaut de 0 à 4.

Compléments

• À la précision du centième, 3,168 s’arrondit à 3,17 et 3,163 s’arrondit à 3,16.

💡 Astuce mémo

Arrondi = proche ; troncature = coupé

📖 2. Nombres naturels, multiples et diviseurs

🔑 Notions clés & Définitions

• Nombre naturel : Nombre entier supérieur ou égal à 0, et l’ensemble de tous les nombres naturels est noté N.
• Multiple et diviseur : Pour deux nombres naturels a et b, a est un multiple de b s’il existe un nombre naturel c tel que $a=b\cdot c$, et b est alors un diviseur de a.

📝 Points essentiels

• Tout nombre naturel est un multiple de 1, 1 est un diviseur de tout nombre naturel et 0 est un multiple de tout nombre naturel.

• L’ensemble des multiples de n est noté Mₙ et l’ensemble des diviseurs de n est noté Dₙ.

💡 Astuce mémo

Un nombre naturel posé sur une droite à partir de zéro

📖 3. Divisibilité et nombres premiers

🔑 Notions clés & Définitions

• Nombre premier : Nombre naturel qui possède exactement deux diviseurs : 1 et lui-même.

★ À maîtriser

📌 Un nombre naturel est divisible par 2 s’il se termine par 0, 2, 4, 6 ou 8, par 3 ou 9 si la somme de ses chiffres est divisible respectivement par 3 ou 9, et par 4 si le nombre formé par ses deux derniers chiffres est divisible par 4.

📌 Un nombre naturel est divisible par 5 s’il se termine par 0 ou 5, par 10 s’il se termine par 0, et par 25 s’il se termine par 00, 25, 50 ou 75.

Compléments

• 2 est l’unique nombre pair qui est premier, et il existe une infinité de nombres premiers.

💡 Astuce mémo

2-3-4-5-9-10-25

📖 4. PPMC des nombres naturels

🔑 Notions clés & Définitions

• PPMC : Leur plus petit multiple commun non nul.

📝 Points essentiels

• Pour calculer un ppmc par les multiples, on écrit les premiers multiples de chaque nombre puis on identifie le premier multiple commun non nul.

• 🔄 Pour calculer un ppmc par facteurs premiers:

  1. Décomposer les nombres en facteurs premiers
  2. Conserver chaque facteur présent avec son plus grand exposant
  3. Effectuer le produit

💡 Astuce mémo

Multiples → premier commun non nul

📖 5. PGDC des nombres naturels

🔑 Notions clés & Définitions

• PGDC : Leur plus grand diviseur commun.

📝 Points essentiels

• Pour calculer un pgdc par les diviseurs, on écrit tous les diviseurs de chaque nombre puis on identifie le plus grand diviseur commun.

• 🔄 Pour calculer un pgdc par facteurs premiers:

  1. Décomposer les nombres en facteurs premiers
  2. Conserver les facteurs communs avec leur plus petit exposant
  3. Effectuer le produit

💡 Astuce mémo

Diviseurs → plus grand commun

📖 6. Entiers relatifs et nombres opposés

🔑 Notions clés & Définitions

• Nombre entier relatif : Nombre entier muni d’un signe positif s’il est supérieur à zéro ou négatif s’il est inférieur à zéro, et l’ensemble est noté Z.
• Distance à zéro : La distance qui sépare a de zéro sur la droite numérique.
• Nombres opposés : Deux nombres sont opposés si leur somme est égale à zéro ; ils ont la même distance à zéro et des signes différents.

💡 Astuce mémo

Même distance à zéro, signes opposés

📖 7. Opérations sur les relatifs

★ À maîtriser

• Pour additionner deux nombres relatifs de même signe, on additionne leurs distances à zéro et on conserve leur signe commun.

• Pour additionner deux nombres relatifs de signes différents, on soustrait la plus petite distance à zéro de la plus grande et on conserve le signe du nombre ayant la plus grande distance à zéro.

• Pour soustraire un nombre relatif, on additionne son opposé.

• Pour multiplier ou diviser deux nombres relatifs, on multiplie ou divise leurs distances à zéro et le résultat est positif si les signes sont identiques et négatif s’ils sont différents.

Compléments

📌 Dans un produit de plusieurs facteurs relatifs non nuls, le produit est positif si le nombre de facteurs négatifs est pair et négatif s’il est impair.

💡 Astuce mémo

Addition : même signe ; multiplication : nombre de signes négatifs

📖 8. Opérations décimales en colonnes

🔑 Notions clés & Définitions

• Division : Associe à a et b, avec b différent de zéro, un quotient c tel que $a=b\cdot c$ ; a est le dividende et b le diviseur.
• Addition : Associe à deux nombres a et b un troisième nombre noté $a+b$, appelé somme, tandis que les nombres additionnés sont les termes.

★ À maîtriser

• 🔄 Pour additionner ou soustraire des nombres décimaux en colonnes:

  1. Estimer le résultat
  2. Aligner les unités
  3. Calculer de droite à gauche avec les retenues ou emprunts
  4. Vérifier l’ordre de grandeur

• Pour multiplier des nombres décimaux en colonnes, on calcule d’abord sans tenir compte des virgules, puis on place la virgule en comptant le nombre total de chiffres décimaux des facteurs.

Compléments

📌 Le quotient ne change pas si l’on multiplie le dividende et le diviseur par un même nombre non nul.

💡 Astuce mémo

Estimer → aligner → calculer → vérifier

📖 9. Propriétés et priorités opératoires

📝 Points essentiels

• Dans une addition, 0 est l’élément neutre car $a+0=a$ ; dans une multiplication, 1 est l’élément neutre car $a\cdot1=a$ et 0 est absorbant car $a\cdot0=0$.

• La multiplication est distributive sur l’addition et la soustraction selon $a\cdot(b+c)=a\cdot b+a\cdot c$ et $a\cdot(b-c)=a\cdot b-a\cdot c$.

• La division par 0 est impossible car elle n’a pas de sens mathématique.

• 🔄 Pour appliquer les priorités opératoires:

  1. Calculer les parenthèses
  2. Calculer les puissances et racines
  3. Calculer les multiplications et divisions de gauche à droite
  4. Calculer les additions et soustractions

💡 Astuce mémo

Parenthèses → puissances et racines → multiplications et divisions → additions et soustractions

📊 Tableaux de synthèse

PPMC et PGDC