QCM : Dérivées et différentielles (15 questions)

Questions et réponses du QCM

1. Pour identifier et dériver une fonction composée, cochez la (les) proposition(s) exacte(s) :

La règle de la chaîne multiplie les dérivées extérieure et intérieure.
La dérivée de sin⁡(x2+1)\sin(x^2+1) vaut cos⁡(x2+1)\cos(x^2+1) sans facteur supplémentaire.
Dans sin⁡(x2+1)\sin(x^2+1), le sinus constitue la fonction extérieure.
La dérivée de sin⁡(x2+1)\sin(x^2+1) vaut 2xcos⁡(x2+1)2x\cos(x^2+1).
Dans sin⁡(x2+1)\sin(x^2+1), l’expression x2+1x^2+1 est la fonction intérieure.

La règle de la chaîne multiplie les dérivées extérieure et intérieure. · Dans $$\sin(x^2+1)$$, le sinus constitue la fonction extérieure. · La dérivée de $$\sin(x^2+1)$$ vaut $$2x\cos(x^2+1)$$. · Dans $$\sin(x^2+1)$$, l’expression $$x^2+1$$ est la fonction intérieure.

Explication

Pour une composée, on multiplie la dérivée de la fonction extérieure par celle de la fonction intérieure. Dans sin⁡(x2+1)\sin(x^2+1), la fonction intérieure est x2+1x^2+1 et la fonction extérieure est le sinus, d’où 2xcos⁡(x2+1)2x\cos(x^2+1).

2. Concernant le quotient d’accroissement et son interprétation locale, cochez la (les) proposition(s) exacte(s) :

La dérivée en un point correspond au quotient d’accroissement fini entre deux abscisses distinctes.
La pente d’une droite passant par deux points vaut ΔyΔx=tan⁡α\frac{\Delta y}{\Delta x}=\tan\alpha.
Le quotient ΔfΔx\frac{\Delta f}{\Delta x} représente directement une limite lorsque Δx\Delta x est non nul.
Le quotient d’accroissement utilise la différence f(x0+Δx)−f(x0)f(x_0+\Delta x)-f(x_0) au numérateur.
La dérivée en x0x_0 est la limite finie de f(x0+Δx)−f(x0)Δx\frac{f(x_0+\Delta x)-f(x_0)}{\Delta x}.

La pente d’une droite passant par deux points vaut $$\frac{\Delta y}{\Delta x}=\tan\alpha$$. · Le quotient d’accroissement utilise la différence $$f(x_0+\Delta x)-f(x_0)$$ au numérateur. · La dérivée en $$x_0$$ est la limite finie de $$\frac{f(x_0+\Delta x)-f(x_0)}{\Delta x}$$.

Explication

La dérivée est définie comme la limite finie du quotient d’accroissement lorsque Δx\Delta x tend vers zéro. La pente d’une droite entre deux points s’écrit ΔyΔx=tan⁡α\frac{\Delta y}{\Delta x}=\tan\alpha, tandis que la tangente correspond à la limite des sécantes.

3. Concernant les incertitudes associées à une mesure xx, cochez la (les) proposition(s) exacte(s) :

L’incertitude absolue Δx\Delta x possède la même unité que xx.
L’incertitude absolue Δx\Delta x représente une valeur maximale de l’erreur.
L’incertitude relative Δxx\frac{\Delta x}{x} est dépourvue d’unité.
La valeur exacte xex_e appartient à l’intervalle ]x−Δx;x+Δx[]x-\Delta x;x+\Delta x[.
L’incertitude relative possède l’unité de la grandeur mesurée xx.

L’incertitude absolue $$\Delta x$$ possède la même unité que $$x$$. · L’incertitude absolue $$\Delta x$$ représente une valeur maximale de l’erreur. · L’incertitude relative $$\frac{\Delta x}{x}$$ est dépourvue d’unité. · La valeur exacte $$x_e$$ appartient à l’intervalle $$]x-\Delta x;x+\Delta x[$$.

Explication

L’incertitude absolue est positive, possède la même unité que la grandeur mesurée et encadre l’erreur de mesure. L’incertitude relative Δxx\frac{\Delta x}{x} est sans unité et renseigne sur la précision relative.

4. Une courbe présente un quotient d’accroissement qui tend vers l’infini près de x0x_0 ; quelles interprétations géométriques sont exactes ?

La tangente au point étudié forme un angle de π2\frac{\pi}{2} avec l’axe des abscisses.
La pente de la tangente est nécessairement égale à zéro au voisinage de x0x_0.
La droite sécante relie deux points distincts de la courbe.
La droite tangente est définie par une sécante reliant deux points distincts.
La droite tangente est obtenue comme limite des droites sécantes.

La tangente au point étudié forme un angle de $$\frac{\pi}{2}$$ avec l’axe des abscisses. · La droite sécante relie deux points distincts de la courbe. · La droite tangente est obtenue comme limite des droites sécantes.

Explication

Lorsque les sécantes se rapprochent du point étudié, leur limite est la tangente. Une tangente verticale forme un angle de π2\frac{\pi}{2} avec l’axe des abscisses lorsque le quotient d’accroissement tend vers l’infini.

5. Pour y=f(u,v,w)y=f(u,v,w), quelles expressions décrivent correctement la différentielle totale et l’incertitude absolue ?

La différentielle totale est donnée par la seule dérivée partielle par rapport à uu.
L’incertitude absolue s’obtient en additionnant les dérivées partielles sans prendre leurs valeurs absolues.
L’incertitude absolue s’écrit Δy=∣∂y∂u∣Δu+∣∂y∂v∣Δv+∣∂y∂w∣Δw\Delta y=\left|\frac{\partial y}{\partial u}\right|\Delta u+\left|\frac{\partial y}{\partial v}\right|\Delta v+\left|\frac{\partial y}{\partial w}\right|\Delta w.
La différentielle totale s’écrit dy=∂y∂udu+∂y∂vdv+∂y∂wdwdy=\frac{\partial y}{\partial u}du+\frac{\partial y}{\partial v}dv+\frac{\partial y}{\partial w}dw.
La différentielle totale associe chaque dérivée partielle à la variation différentielle de la variable correspondante.

L’incertitude absolue s’écrit $$\Delta y=\left|\frac{\partial y}{\partial u}\right|\Delta u+\left|\frac{\partial y}{\partial v}\right|\Delta v+\left|\frac{\partial y}{\partial w}\right|\Delta w$$. · La différentielle totale s’écrit $$dy=\frac{\partial y}{\partial u}du+\frac{\partial y}{\partial v}dv+\frac{\partial y}{\partial w}dw$$. · La différentielle totale associe chaque dérivée partielle à la variation différentielle de la variable correspondante.

Explication

La différentielle totale additionne les contributions des variations de toutes les variables, avec les dérivées partielles correspondantes. L’incertitude absolue de y=f(u,v,w)y=f(u,v,w) s’obtient par la somme pondérée des incertitudes, en utilisant les valeurs absolues des dérivées partielles ; une dérivée partielle isolée ne décrit pas cette incertitude totale.

6. Concernant les différentielles logarithmiques, cochez la (les) proposition(s) exacte(s) :

Si q=u/vq=u/v, alors dqq=duu+dvv\frac{dq}{q}=\frac{du}{u}+\frac{dv}{v}.
Pour f(x)=axrf(x)=ax^r, on obtient dff=rdxx\frac{df}{f}=r\frac{dx}{x}.
La puissance xrx^r conduit à une variation relative indépendante de rr.
Si p=uvp=uv, alors dpp=duu+dvv\frac{dp}{p}=\frac{du}{u}+\frac{dv}{v}.
Pour un quotient, la variation relative du dénominateur intervient avec un signe négatif.

Pour $$f(x)=ax^r$$, on obtient $$\frac{df}{f}=r\frac{dx}{x}$$. · Si $$p=uv$$, alors $$\frac{dp}{p}=\frac{du}{u}+\frac{dv}{v}$$. · Pour un quotient, la variation relative du dénominateur intervient avec un signe négatif.

Explication

Pour un produit, les variations relatives s’additionnent ; pour un quotient, elles se soustraient. Pour une puissance, la différentielle logarithmique est proportionnelle à r dx/xr\,dx/x.

7. Une grandeur dépend successivement de plusieurs variables ; quelles expressions traduisent correctement la dérivation en chaîne ?

La règle de la chaîne additionne les dérivées successives pour obtenir dy/dudy/du.
L’écriture fonctionnelle correspondante est f′(x)g′(t)h′(u)f'(x)g'(t)h'(u).
Chaque facteur traduit la variation d’une variable par rapport à la précédente.
La dérivation successive conduit à dydu=dydxdxdtdtdu\frac{dy}{du}=\frac{dy}{dx}\frac{dx}{dt}\frac{dt}{du}.
La dérivée finale s’obtient en supprimant le facteur intermédiaire dx/dtdx/dt.

L’écriture fonctionnelle correspondante est $$f'(x)g'(t)h'(u)$$. · Chaque facteur traduit la variation d’une variable par rapport à la précédente. · La dérivation successive conduit à $$\frac{dy}{du}=\frac{dy}{dx}\frac{dx}{dt}\frac{dt}{du}$$.

Explication

Pour des fonctions composées, les facteurs différentiels se simplifient en se multipliant, ce qui donne la règle de la chaîne. Une addition des dérivées ne correspond pas à cette composition successive.

8. Pour y=f(u,v,w)y=f(u,v,w), quelles expressions décrivent correctement l’incertitude absolue ?

La contribution de ww vaut ∣∂y∂w∣Δw\left|\frac{\partial y}{\partial w}\right|\Delta w.
La contribution de uu vaut ∣∂y∂u∣Δu\left|\frac{\partial y}{\partial u}\right|\Delta u.
La contribution de vv vaut ∣∂y∂v∣Δv\left|\frac{\partial y}{\partial v}\right|\Delta v.
L’incertitude absolue s’obtient avec les dérivées partielles non prises en valeur absolue.
Les contributions variables s’additionnent pour former Δy\Delta y.

La contribution de $$w$$ vaut $$\left|\frac{\partial y}{\partial w}\right|\Delta w$$. · La contribution de $$u$$ vaut $$\left|\frac{\partial y}{\partial u}\right|\Delta u$$. · La contribution de $$v$$ vaut $$\left|\frac{\partial y}{\partial v}\right|\Delta v$$. · Les contributions variables s’additionnent pour former $$\Delta y$$.

Explication

Pour une fonction de trois variables, l’incertitude absolue s’estime par la somme des variations pondérées par les valeurs absolues des dérivées partielles. Cette règle conduit aux trois termes correspondant à uu, vv et ww.

9. Concernant les dérivées usuelles de fonctions d’une expression uu, quelles propositions sont exactes ?

La dérivée de cos⁡u\cos u est u′sin⁡uu'\sin u.
La dérivée de ln⁡u\ln u est u′ln⁡uu'\ln u.
La dérivée de eue^u est u′euu'e^u.
La dérivée de uαu^\alpha est αu′uα−1\alpha u'u^{\alpha-1}.
La dérivée de sin⁡u\sin u est u′cos⁡uu'\cos u.

La dérivée de $$e^u$$ est $$u'e^u$$. · La dérivée de $$u^\alpha$$ est $$\alpha u'u^{\alpha-1}$$. · La dérivée de $$\sin u$$ est $$u'\cos u$$.

Explication

La règle de la puissance donne αu′uα−1\alpha u'u^{\alpha-1} et la dérivée de eue^u vaut u′euu'e^u. Pour le logarithme, le sinus et le cosinus, les formules sont respectivement u′u\frac{u'}{u}, u′cos⁡uu'\cos u et −u′sin⁡u-u'\sin u.

10. Concernant l’approximation différentielle, cochez la (les) proposition(s) exacte(s) :

Lorsque dxdx est suffisamment petit, on peut écrire Δf≃df\Delta f\simeq df.
La différentielle fournit une approximation linéaire de l’accroissement de la fonction.
L’accroissement exact Δf\Delta f et la différentielle dfdf désignent la même quantité.
La qualité de l’approximation différentielle diminue lorsque dxdx devient suffisamment petit.
La différentielle s’écrit df(x)=f′(x)dxdf(x)=f'(x)dx à partir de la dérivée.

Lorsque $$dx$$ est suffisamment petit, on peut écrire $$\Delta f\simeq df$$. · La différentielle fournit une approximation linéaire de l’accroissement de la fonction. · La différentielle s’écrit $$df(x)=f'(x)dx$$ à partir de la dérivée.

Explication

La différentielle est définie par df(x)=f′(x)dxdf(x)=f'(x)dx et constitue une approximation linéaire de l’accroissement exact Δf\Delta f. Lorsque dxdx est suffisamment petit, cette approximation devient pertinente, sans devenir l’accroissement exact lui-même.

11. Parmi les règles de dérivation des sommes, produits et quotients, la(les)quelle(s) est(sont) exacte(s) ?

La dérivée d’un produit vérifie (uv)′=u′v+uv′ (uv)'=u'v+uv' .
La dérivée de l’inverse vérifie (1v)′=−v′v2\left(\frac{1}{v}\right)'=-\frac{v'}{v^2} .
La dérivée d’une somme vérifie (u+v)′=u′+v′ (u+v)'=u'+v' .
La dérivée d’un quotient vérifie (uv)′=u′v+uv′v2\left(\frac{u}{v}\right)'=\frac{u'v+uv'}{v^2} .
La dérivée d’un produit vérifie (uv)′=u′v−uv′ (uv)'=u'v-uv' .

La dérivée d’un produit vérifie $$ (uv)'=u'v+uv' $$ . · La dérivée de l’inverse vérifie $$\left(\frac{1}{v}\right)'=-\frac{v'}{v^2}$$ . · La dérivée d’une somme vérifie $$ (u+v)'=u'+v' $$ .

Explication

La dérivée d’un produit est u′v+uv′u'v+uv', celle d’un quotient est u′v−uv′v2\frac{u'v-uv'}{v^2}, et celle de l’inverse est −v′v2-\frac{v'}{v^2}. Ces formules supposent les fonctions dérivables et, pour le quotient, un dénominateur non nul.

12. Pour la fonction f(x)=(1−x4)5f(x)=(1-x^4)^5, quelles étapes de dérivation sont exactes ?

La fonction intérieure est 1−x41-x^4.
La dérivée de ff vaut 20x3(1−x4)420x^3(1-x^4)^4.
La dérivée de la fonction intérieure est −4x3-4x^3.
La dérivée de la fonction extérieure apporte le facteur 5(1−x4)45(1-x^4)^4.
La dérivée de ff vaut −20x3(1−x4)4-20x^3(1-x^4)^4.

La fonction intérieure est $$1-x^4$$. · La dérivée de la fonction intérieure est $$-4x^3$$. · La dérivée de la fonction extérieure apporte le facteur $$5(1-x^4)^4$$. · La dérivée de $$f$$ vaut $$-20x^3(1-x^4)^4$$.

Explication

La fonction extérieure est la puissance cinquième et la fonction intérieure est 1−x41-x^4. La règle de la chaîne donne 5(1−x4)4(−4x3)=−20x3(1−x4)45(1-x^4)^4(-4x^3)=-20x^3(1-x^4)^4.

13. Pour y=uαvβy=u^\alpha v^\beta, cochez la (les) proposition(s) exacte(s) :

L’incertitude relative vérifie Δyy=∣α∣Δuu+∣β∣Δvv\frac{\Delta y}{y}=|\alpha|\frac{\Delta u}{u}+|\beta|\frac{\Delta v}{v}.
Les exposants α\alpha et β\beta disparaissent de la variation relative.
Le signe des exposants est conservé dans chaque contribution d’incertitude.
La différentielle logarithmique vérifie dyy=αduu+βdvv\frac{dy}{y}=\alpha\frac{du}{u}+\beta\frac{dv}{v}.
Une puissance de deux variables conduit à pondérer les variations relatives par ses exposants.

L’incertitude relative vérifie $$\frac{\Delta y}{y}=|\alpha|\frac{\Delta u}{u}+|\beta|\frac{\Delta v}{v}$$. · La différentielle logarithmique vérifie $$\frac{dy}{y}=\alpha\frac{du}{u}+\beta\frac{dv}{v}$$. · Une puissance de deux variables conduit à pondérer les variations relatives par ses exposants.

Explication

Pour une puissance de deux variables, les variations relatives sont pondérées par les exposants. L’incertitude relative utilise les valeurs absolues de ces exposants afin d’additionner les contributions d’incertitude.

14. Parmi les règles suivantes concernant les différentielles, la(les)quelle(s) est(sont) exacte(s) ?

La constante λ\lambda conduit à d(λf)=λdfd(\lambda f)=\lambda df.
La différentielle d’un produit s’écrit d(fg)=df+dgd(fg)=df+dg.
La règle du quotient s’écrit d(f/g)=g df−f dgg2d(f/g)=\frac{g\,df-f\,dg}{g^2}.
La règle du produit s’écrit d(fg)=f dg−g dfd(fg)=f\,dg-g\,df.
La différentielle d’une somme vérifie d(u+v)=du+dvd(u+v)=du+dv.

La constante $$\lambda$$ conduit à $$d(\lambda f)=\lambda df$$. · La règle du quotient s’écrit $$d(f/g)=\frac{g\,df-f\,dg}{g^2}$$. · La différentielle d’une somme vérifie $$d(u+v)=du+dv$$.

Explication

La différentielle d’une somme est additive et celle d’un multiple constant se factorise. Pour un quotient, le numérateur contient une différence, et non une somme, entre les termes pondérés.

15. Concernant les notations et règles du calcul différentiel, cochez la (les) proposition(s) exacte(s) :

La différentielle d’un produit vérifie d(fg)=g df+f dgd(fg)=g\,df+f\,dg.
La règle de la chaîne combine les facteurs successifs par multiplication.
La différentielle dydy représente à elle seule le quotient d’une dérivée.
La dérivée de yy par rapport à xx se note dydx\frac{dy}{dx}.
La différentielle d’un quotient s’obtient par d(f/g)=g df+f dgg2d(f/g)=\frac{g\,df+f\,dg}{g^2}.

La différentielle d’un produit vérifie $$d(fg)=g\,df+f\,dg$$. · La règle de la chaîne combine les facteurs successifs par multiplication. · La dérivée de $$y$$ par rapport à $$x$$ se note $$\frac{dy}{dx}$$.

Explication

La notation dy/dxdy/dx représente la dérivée, tandis que dydy représente une différentielle. La règle de la chaîne multiplie les facteurs successifs, et les différentielles suivent notamment les règles du produit et du quotient.

Révisez avec les flashcards

Mémorisez les réponses avec 7 flashcards sur Dérivées et différentielles.

Dérivée — définition ?

Taux de variation instantané d'une fonction.

Géométrie dérivée — rôle ?

Pente de la tangente à la courbe.

Dérivée composée — mécanisme ?

Multiplication de la dérivée extérieure par intérieure.

Voir les flashcards →

Approfondir avec la fiche

Consultez la fiche de révision complète sur Dérivées et différentielles.

Voir la fiche →

Cours similaires

Violences faites aux femmes et aux enfants

Calculs fractionnaires

Mathématiques

Nombres décimaux et relatifs

Mathématiques

Théorème de Thalès et triangles semblables

Mathématiques

Atmosphère, ozone et climat

SVT

Révision des polynômes

Mathématiques

Crée tes propres QCM

Importe ton cours et l'IA génère des QCM avec corrections en 30 secondes.

Générateur de QCM