QCM : Dérivées et différentielles — 9 questions

Questions et réponses du QCM

1. Concernant la définition et l’interprétation géométrique de la dérivée, cochez la (les) proposition(s) exacte(s) :

La droite sécante est définie par un seul point de la courbe et sa tangente par deux points distincts.
Le quotient ΔfΔx\frac{\Delta f}{\Delta x} représente directement une limite, même lorsque Δx\Delta x reste fini.
La dérivée en x0x_0 correspond à la pente de la droite tangente à la courbe en ce point.
La dérivée en x0x_0 est la limite finie de f(x0+Δx)−f(x0)Δx\frac{f(x_0+\Delta x)-f(x_0)}{\Delta x} lorsque Δx\Delta x tend vers zéro.
La pente de la tangente en x0x_0 est donnée par la valeur de f(x0)f(x_0).

La dérivée en $$x_0$$ correspond à la pente de la droite tangente à la courbe en ce point. · La dérivée en $$x_0$$ est la limite finie de $$\frac{f(x_0+\Delta x)-f(x_0)}{\Delta x}$$ lorsque $$\Delta x$$ tend vers zéro.

Explication

La dérivée est la limite du quotient d’accroissement lorsque Δx\Delta x tend vers zéro. Géométriquement, elle correspond à la pente de la tangente, obtenue comme limite des droites sécantes.

2. Quelle est la définition géométrique de la dérivée en un point x₀ d'une fonction ?

La différence entre la valeur de la fonction en x₀ et en x₀ + Δx, divisée par Δx, pour un Δx fixé.
La pente de la tangente à la courbe en x₀, obtenue comme limite de la pente des secantes lorsque Δx tend vers 0.
La valeur de la fonction en x₀, représentant la position du point sur la courbe.
La pente de la droite passant par l'origine et le point x₀ sur la courbe.

La pente de la tangente à la courbe en x₀, obtenue comme limite de la pente des secantes lorsque Δx tend vers 0.

Explication

La dérivée en un point x₀ est géométriquement la pente de la tangente à la courbe en ce point, ce qui correspond à la limite de la pente des secantes lorsque Δx tend vers 0. La pente d'une droite passant par deux points ne représente pas la dérivée en un seul point, sauf dans le cas où ces points se rapprochent infiniment.

3. Parmi les règles de dérivation usuelles suivantes, la(les)quelle(s) est(sont) exacte(s) ?

Pour une fonction dérivable vv, (1v)′=v′v2.\left(\frac{1}{v}\right)'=\frac{v'}{v^2}.
Pour une constante kk et une fonction dérivable uu, (ku)′=ku′.(ku)'=ku'.
Pour deux fonctions dérivables, (uv)′=u′v+uv′.(uv)'=u'v+uv'.
Pour deux fonctions dérivables, (uv)′=u′v−uv′v2.\left(\frac{u}{v}\right)'=\frac{u'v-uv'}{v^2}.
Pour deux fonctions dérivables, (u+v)′=u′+v′.(u+v)'=u'+v'.

Pour une constante $$k$$ et une fonction dérivable $$u$$, $$(ku)'=ku'.$$ · Pour deux fonctions dérivables, $$(uv)'=u'v+uv'.$$ · Pour deux fonctions dérivables, $$\left(\frac{u}{v}\right)'=\frac{u'v-uv'}{v^2}.$$ · Pour deux fonctions dérivables, $$(u+v)'=u'+v'.$$

Explication

La dérivée d’une somme est la somme des dérivées, celle d’un produit comporte deux termes, et celle d’un quotient comporte une différence au numérateur. La dérivée d’un inverse est −v′/v2-v'/v^2, tandis que la règle proposée pour l’inverse ne correspond pas à cette formule.

4. Quelle est la signification géométrique de la dérivée en un point x₀ d'une fonction ?

C'est la valeur moyenne de la fonction sur un intervalle autour de x₀.
C'est la pente de la tangente à la courbe au point d'abscisse x₀.
C'est la valeur de la fonction en x₀.
C'est la pente de la sécante passant par deux points proches de x₀.

C'est la pente de la tangente à la courbe au point d'abscisse x₀.

Explication

La dérivée en un point est la limite de la pente des sécantes lorsque l'intervalle tend vers zéro, ce qui correspond à la pente de la tangente à la courbe en ce point. La pente de la sécante ne devient la pente de la tangente qu'à la limite, lorsque Δx tend vers 0.

5. Concernant les dérivées usuelles des fonctions composées, quelles sont les propositions exactes ?

La dérivée de cos⁡u\cos u est −u′sin⁡u-u'\sin u.
La dérivée de uαu^\alpha est αu′uα−1\alpha u'u^{\alpha-1}.
La dérivée de sin⁡u\sin u est −u′cos⁡u-u'\cos u.
La dérivée de eue^u est u′euu'e^u.
La dérivée de ln⁡u\ln u est u′u\frac{u'}{u}.

La dérivée de $$\cos u$$ est $$-u'\sin u$$. · La dérivée de $$u^\alpha$$ est $$\alpha u'u^{\alpha-1}$$. · La dérivée de $$e^u$$ est $$u'e^u$$. · La dérivée de $$\ln u$$ est $$\frac{u'}{u}$$.

Explication

La règle de la puissance multiplie par l’exposant et diminue celui-ci d’une unité. La dérivée de l’exponentielle composée est u′euu'e^u, celle du logarithme est u′/uu'/u, celle du sinus est u′cos⁡uu'\cos u et celle du cosinus comporte un signe négatif.

6. Quel est le rôle principal de la dérivation des fonctions composées dans l'analyse mathématique ?

Elle est utilisée pour approximer la valeur d'une fonction à un point donné.
Elle facilite la résolution d'équations différentielles.
Elle permet de calculer la pente de la tangente à la courbe d'une fonction composée.
Elle sert à déterminer l'intégrale d'une fonction complexe.

Elle permet de calculer la pente de la tangente à la courbe d'une fonction composée.

Explication

La dérivation des fonctions composées, via la règle de la chaîne, permet de calculer la pente de la tangente à la courbe d'une fonction composée. Elle n'est pas directement liée à la résolution d'équations différentielles, à l'intégration ou à l'approximation de valeurs.

7. Quand la notion de définition et d'approximation différentielle a-t-elle été formellement introduite dans l'étude des fonctions ?

Au XVIIIe siècle, lors de la formalisation des limites et de la continuité.
Au XVIIe siècle, lors de l'invention du calcul infinitésimal par Newton et Leibniz.
Au XIXe siècle, avec le développement de l'analyse rigoureuse.
Au début du XXe siècle, avec l'avènement des mathématiques modernes.

Au XVIIe siècle, lors de l'invention du calcul infinitésimal par Newton et Leibniz.

Explication

La définition et l'approximation différentielle ont été formalisées au XVIIe siècle avec l'invention du calcul infinitésimal par Newton et Leibniz, qui ont posé les bases de ces concepts. La formalisation rigoureuse est venue plus tard, au XIXe siècle.

8. En quoi la différentiation logarithmique diffère-t-elle de la différentiation classique dans le calcul des variations relatives d'une fonction ?

La différentiation logarithmique permet d'obtenir la variation relative en prenant le logarithme de la fonction, alors que la différentiation classique donne la variation absolue.
La différentiation logarithmique ne concerne que les fonctions multiplicatives, tandis que la différentiation classique s'applique à toutes les fonctions.
La différentiation logarithmique est une approximation, alors que la différentiation classique donne la variation exacte.
La différentiation logarithmique utilise la dérivée du logarithme, ce qui simplifie le calcul des produits, alors que la différentiation classique ne le permet pas.

La différentiation logarithmique permet d'obtenir la variation relative en prenant le logarithme de la fonction, alors que la différentiation classique donne la variation absolue.

Explication

La différentiation logarithmique consiste à prendre le logarithme de la fonction pour transformer les produits en sommes, facilitant ainsi le calcul des variations relatives. La différentiation classique donne la variation absolue, pas relative, ce qui la distingue de la méthode logarithmique.

9. Qui est crédité de l'introduction de la notion de différentielles totales dans l'étude des fonctions à plusieurs variables ?

Gaspard-Gustave de Coriolis
Joseph-Louis Lagrange
Isaac Newton
Augustin-Louis Cauchy

Joseph-Louis Lagrange

Explication

Joseph-Louis Lagrange est crédité d'avoir introduit la notion de différentielles totales pour analyser la variation de fonctions à plusieurs variables. Newton a principalement travaillé sur le calcul infinitésimal, mais pas spécifiquement sur cette notion.

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Mémorisez les réponses avec 11 flashcards sur Dérivées et différentielles.

Qu'est-ce que la dérivée de f en un point x₀ ?

La limite finie du quotient f(x0+Δx)−f(x0)Δx\frac{f(x₀+\Delta x)-f(x₀)}{\Delta x} quand Δx\Delta x tend vers 0.

Définition de la dérivée

Limite du taux d'accroissement en un point.

Que représente géométriquement la dérivée en x₀ ?

La pente de la tangente à la courbe au point d’abscisse x₀.

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