QCM : Dérivées usuelles et variations — 7 questions

Questions et réponses du QCM

1. Quelle est la dérivée de la fonction constante f(x)=7f(x)=7 ?

f′(x)=xf'(x)=x
f′(x)=1f'(x)=1
f′(x)=7f'(x)=7
f′(x)=0f'(x)=0

$$f'(x)=0$$

Explication

Une fonction constante ne varie pas lorsque xx change, donc sa dérivée est nulle. La valeur constante 77 n’est pas le coefficient directeur d’une fonction affine non constante.

2. Si f(x)=−3x+5f(x)=-3x+5, quelle expression représente sa dérivée ?

f′(x)=5f'(x)=5
f′(x)=−3xf'(x)=-3x
f′(x)=x+5f'(x)=x+5
f′(x)=−3f'(x)=-3

$$f'(x)=-3$$

Explication

Pour une fonction affine f(x)=ax+bf(x)=ax+b, la dérivée est le coefficient directeur aa, ici −3-3. Le terme constant 55 ne contribue pas à la dérivée.

3. Quelle est la dérivée de la fonction carré f(x)=x2f(x)=x^2 ?

f′(x)=xf'(x)=x
f′(x)=x3f'(x)=x^3
f′(x)=2f'(x)=2
f′(x)=2xf'(x)=2x

$$f'(x)=2x$$

Explication

La règle de dérivation de la fonction carré donne f′(x)=2xf'(x)=2x. L’expression 22 correspondrait à la dérivée d’une fonction affine de coefficient directeur 22, pas à celle de x2x^2.

4. Pour f(x)=−4x3+8x−2f(x)=-4x^3+8x-2, quelle est l’expression de f′(x)f'(x) ?

f′(x)=−12x3+8xf'(x)=-12x^3+8x
f′(x)=−4x3+8f'(x)=-4x^3+8
f′(x)=−4x2+8f'(x)=-4x^2+8
f′(x)=−12x2+8f'(x)=-12x^2+8

$$f'(x)=-12x^2+8$$

Explication

La dérivée de −4x3-4x^3 est −12x2-12x^2, celle de 8x8x est 88, et la constante −2-2 a une dérivée nulle. On obtient donc −12x2+8-12x^2+8.

5. Quelle fonction doit être étudiée sur l’intervalle [−1;4][-1;4] dans l’exemple considéré ?

f(x)=2x2−9x+12−2f(x)=2x^2-9x+12-2
f(x)=2x3−9x2+12x−2f(x)=2x^3-9x^2+12x-2
f(x)=2x3−9x2+12x+2f(x)=2x^3-9x^2+12x+2
f(x)=6x2−18x+12f(x)=6x^2-18x+12

$$f(x)=2x^3-9x^2+12x-2$$

Explication

La fonction étudiée sur [−1;4][-1;4] est 2x3−9x2+12x−22x^3-9x^2+12x-2. L’expression 6x2−18x+126x^2-18x+12 est sa dérivée, tandis que modifier le terme constant changerait la fonction étudiée.

6. Quelle est la dérivée de f(x)=2x3−9x2+12x−2f(x)=2x^3-9x^2+12x-2 ?

f′(x)=6x2−18x+12f'(x)=6x^2-18x+12
f′(x)=2x2−9x+12f'(x)=2x^2-9x+12
f′(x)=2x3−9x2+12x−2f'(x)=2x^3-9x^2+12x-2
f′(x)=6x3−18x2+12f'(x)=6x^3-18x^2+12

$$f'(x)=6x^2-18x+12$$

Explication

En dérivant terme à terme, on obtient 6x2−18x+126x^2-18x+12. La fonction initiale n’est pas sa propre dérivée dans cet exemple.

7. Quelle démarche permet d’étudier le sens de variation de cette fonction ?

Calculer directement f(x)f(x) aux bornes de l’intervalle
Résoudre f(x)=0f(x)=0 puis étudier les valeurs de ff
Résoudre f′(x)=1f'(x)=1 puis comparer les images
Déterminer f′f' puis résoudre f′(x)=0f'(x)=0

Déterminer $$f'$$ puis résoudre $$f'(x)=0$$

Explication

L’étude des variations commence par le calcul de la dérivée, puis par la recherche des solutions de f′(x)=0f'(x)=0, notamment à l’aide du mode équation de la calculatrice. Résoudre f(x)=0f(x)=0 recherche les zéros de la fonction et ne fournit pas directement les changements de variation.

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Quelle est la dérivée d'une fonction constante f(x)=kf(x)=k ?

La dérivée est f′(x)=0f'(x)=0.

Quelle est la dérivée d'une fonction affine f(x)=ax+bf(x)=ax+b ?

La dérivée est f′(x)=af'(x)=a.

Quelle est la dérivée de la fonction carré f(x)=x2f(x)=x^2 ?

La dérivée est f′(x)=2xf'(x)=2x.

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