Fiche de révision : Description d’une variable

📋 Plan du Cours

1. Variables qualitatives et fréquences
2. Représenter une variable qualitative
3. Classes et fréquences quantitatives
4. Histogrammes et distributions
5. Fonction de répartition
6. Valeurs extrêmes et quantiles
7. Moyenne et dispersion
8. Transformations d’une variable

📖 1. Variables qualitatives et fréquences

🔑 Notions clés & Définitions

• Modalité : Les différentes valeurs qu’elle peut prendre.
• Fréquence : La proportion des individus appartenant à cette classe, exprimable sous forme décimale ou en pourcentage.

📝 Points essentiels

📌 Lorsqu’on présente des fréquences ou des pourcentages, il faut toujours indiquer l’effectif total de l’échantillon et rapporter le nombre de données manquantes.

• Dans l’exemple de la couleur des yeux, l’échantillon contient 40 individus : 20 ont les yeux marron, soit 0,500 ou 50 %, et 1 donnée est manquante, soit 0,025 ou 2,5 %.

📖 2. Représenter une variable qualitative

🔑 Notions clés & Définitions

• Diagramme en bâtons : Représente une variable qualitative par des barres dont la hauteur indique l’effectif ou la fréquence de chaque modalité.

📝 Points essentiels

📌 Dans un diagramme en bâtons, la largeur des barres n’a pas d’interprétation et l’ordre de présentation des modalités est arbitraire.

• Les variables qualitatives ordinales utilisent les mêmes outils de représentation que les variables qualitatives nominales.

💡 Astuce mémo

Bâtons : la hauteur compte, la largeur ne compte pas.

📖 3. Classes et fréquences quantitatives

🔑 Notions clés & Définitions

• Classe quantitative : Regroupe plusieurs valeurs d’une variable quantitative dans un intervalle, généralement représenté par sa valeur centrale.

★ À maîtriser

📐 Formule — Pour une variable quantitative regroupée en K classes, la fréquence de la classe k vérifie $f_k = \frac{n_k}{n}$, avec $n = n_1 + \cdots + n_K$.

📌 Les classes doivent être disjointes ; par exemple, les classes d’âge [15, 20[, [20, 25[ et [25, 30[ ne se recouvrent pas.

Compléments

• Si toutes les valeurs observées sont différentes, chaque classe contient un seul individu et sa fréquence vaut $f_k = \frac{1}{n}$.

📖 4. Histogrammes et distributions

🔑 Notions clés & Définitions

• Histogramme : Représente la distribution d’une variable quantitative regroupée en classes par des rectangles jointifs dont l’aire correspond à la fréquence de la classe.

★ À maîtriser

📌 Dans un histogramme, l’axe horizontal porte les valeurs et les limites des classes, tandis que la hauteur des rectangles est choisie pour que leur aire corresponde à la fréquence.

📌 Si la largeur d’une classe change, l’ordonnée de l’histogramme doit être modifiée pour conserver la même aire, même si l’effectif de la classe reste inchangé.

Compléments

• Les histogrammes de la même distribution d’âge peuvent utiliser des classes de 1 an ou de 4 ans, ce qui modifie l’aspect graphique de la distribution.

💡 Astuce mémo

Histogramme : l’aire compte ; diagramme en bâtons : la hauteur compte.

📖 5. Fonction de répartition

🔑 Notions clés & Définitions

• Fonction de répartition : La somme des fréquences des observations vérifiant x ≤ a.

★ À maîtriser

📌 Pour une variable prenant ses valeurs dans ]l ; u[, la fonction de répartition vérifie F(l) = 0, F(u) = 1 et est positive et croissante.

Compléments

• Dans l’exemple des âges observés entre 15 et 24 ans, la fonction de répartition vaut 0 pour a < 15 et 1 pour a ≥ 24.

💡 Astuce mémo

De 0 à 1 : F(a) cumule les fréquences jusqu’à a.

📖 6. Valeurs extrêmes et quantiles

🔑 Notions clés & Définitions

• Étendue : La différence entre les deux valeurs extrêmes d’un intervalle ; pour des données ordonnées, elle vaut xₙ − x₁.
• Mode : La valeur de x pour laquelle l’ordonnée y est maximale.
• Médiane : La valeur qui partage l’échantillon ordonné en deux, de sorte que la moitié des observations lui est inférieure ou égale.
• Quantile : La valeur qui laisse une fraction q, soit 100q %, des observations dans le groupe inférieur après classement croissant.
• Intervalle interquartile : L’intervalle interquartile est l’intervalle compris entre les quantiles 0,25 et 0,75 et constitue un paramètre de dispersion autour de la médiane.

📝 Points essentiels

📌 Pour un échantillon de taille paire, la médiane est la moyenne des deux valeurs centrales ; pour 10 valeurs dont les valeurs centrales sont 2,3 et 3, elle vaut 2,65.

📌 Pour calculer un quantile, on détermine le rang qn ; si ce rang est non entier, on prend la valeur de rang immédiatement supérieur, et s’il est entier, on prend la moyenne des deux valeurs de rang correspondant.

📖 7. Moyenne et dispersion

🔑 Notions clés & Définitions

• Écart-type : La racine carrée de la variance et mesure la dispersion autour de la moyenne dans la même unité que la variable.

★ À maîtriser

📐 Formule — La moyenne empirique des valeurs individuelles est $m = \frac{1}{n}\sum_{i=1}^{n} x_i$.

📐 Formule — Pour des données regroupées en classes, la moyenne empirique est $m = \sum_{k=1}^{K} f_k v_k$, où $f_k = \frac{n_k}{n}$ et v_k est la valeur centrale de la classe k.

📐 Formule — La variance empirique est $\operatorname{var}(x)=\frac{1}{n}\sum_{i=1}^{n}(x_i-m)^2=\frac{1}{n}\sum_{i=1}^{n}x_i^2-m^2$.

📌 La moyenne est sensible aux valeurs extrêmes, tandis que la médiane est insensible aux valeurs extrêmes.

📌 La variance est toujours positive, vaut 0 pour des valeurs constantes et s’exprime dans le carré de l’unité de la variable.

Compléments

📐 Formule — La moyenne des carrés des valeurs individuelles est $\frac{1}{n}\sum_{i=1}^{n} x_i^2$, et pour des données par classes elle est $\sum_{k=1}^{K} f_k v_k^2$.

📐 Formule — Pour des données regroupées en classes, la variance vérifie $\operatorname{var}(x)=\sum_{k=1}^{K}f_k(v_k-m)^2=\sum_{k=1}^{K}f_kv_k^2-m^2$.

📌 Dans une distribution symétrique, la moyenne et la médiane sont identiques.

📌 Pour une distribution à peu près symétrique, la majorité des valeurs se situe généralement dans l’intervalle compris entre la moyenne moins deux écarts-types et la moyenne plus deux écarts-types.

📖 8. Transformations d’une variable

📝 Points essentiels

📐 Formule — Pour deux constantes a et b, la moyenne transformée vérifie $\operatorname{moy}(ax+b)=a\operatorname{moy}(x)+b$.

📐 Formule — Pour deux constantes a et b, la variance et l’écart-type transformés vérifient $\operatorname{var}(ax+b)=a^2\operatorname{var}(x)$ et $s_{ax+b}=|a|s_x$.

• La standardisation transforme chaque observation selon $x'_i=\frac{x_i-m}{s}$ ; elle retire d’abord la moyenne puis divise par l’écart-type, ce qui donne une variable de moyenne nulle et de variance égale à 1.

💡 Astuce mémo

Centrer puis réduire → moyenne nulle et variance égale à 1.

📊 Tableaux de synthèse

Représentations graphiques

Mesures de tendance et dispersion