Fiche de révision : Survie, essais cliniques et régression

📋 Plan du Cours

1. Rôle et variabilité en biostatistique
2. Populations, échantillons et variables
3. Description des variables quantitatives
4. Événements et probabilités
5. Probabilités conditionnelles et Bayes
6. Tests diagnostiques et valeurs prédictives
7. Lois discrètes et binomiale
8. Lois continues et théorème central limite
9. Risque relatif et odds ratio
10. Régression linéaire et corrélation
11. Variables quantitatives et qualitatives
12. Échantillonnage et intervalles
13. Principes des intervalles de confiance
14. Intervalles pour moyennes et proportions
15. Principes des tests statistiques
16. Principaux tests et données censurées
17. Fonction et courbe de survie
18. Essais cliniques et causalité

📖 1. Rôle et variabilité en biostatistique

🔑 Notions clés & Définitions

• Biostatistique : Statistique appliquée aux sciences du vivant, à la biologie et à la médecine.
• Épidémiologie : Science qui étudie, dans des populations humaines, animales ou végétales, la fréquence et la répartition des problèmes de santé dans le temps et dans l’espace ainsi que les facteurs qui les déterminent ou modifient le devenir des maladies.

📝 Points essentiels

• La statistique descriptive décrit les valeurs des variables, tandis que la statistique inférentielle généralise les résultats d’un échantillon à une population et évalue l’impact d’une intervention au-delà de la variabilité biologique et métrologique.

• La variabilité totale résulte de la variabilité biologique et de la variabilité métrologique, cette dernière étant due aux appareils de mesure et appelée aussi erreur de mesure.

• La variabilité biologique résulte de la variabilité intra-individuelle, observée chez un même individu, et de la variabilité inter-individuelle, observée entre différents individus.

💡 Astuce mémo

Variabilité biologique et métrologique → incertitude → besoin de la biostatistique

📖 2. Populations, échantillons et variables

🔑 Notions clés & Définitions

• Population : Ensemble d’individus auquel on souhaite généraliser les conclusions d’une expérience et dont l’effectif est très grand par rapport à celui de l’échantillon.
• Échantillon : Sous-ensemble d’une population qui peut être représentatif ou non de celle-ci.
• Variable aléatoire : Caractéristique d’un individu qui peut prendre plusieurs valeurs incertaines avant l’observation, lesquelles deviennent des réalisations lorsqu’elles sont observées.

★ À maîtriser

📌 Un échantillon est représentatif de sa population s’il a été obtenu par tirage au sort, condition nécessaire et suffisante selon le cours.

📌 Les variables quantitatives sont des nombres, éventuellement associés à une unité, tandis que les variables qualitatives indiquent l’appartenance à une classe ou catégorie.

Compléments

📌 Les variables qualitatives nominales n’ont pas d’ordre entre leurs modalités, tandis que les variables qualitatives ordinales possèdent un ordre naturel entre leurs classes.

💡 Astuce mémo

Population = généraliser ; échantillon = observer

📖 3. Description des variables quantitatives

🔑 Notions clés & Définitions

• Fonction de répartition : Somme des fréquences correspondant aux valeurs de la variable inférieures ou égales à a.
• Médiane : Valeur qui partage l’échantillon classé par ordre croissant de sorte que la moitié des valeurs lui sont inférieures ou égales.
• Écart-type : Racine carrée de la variance qui mesure la dispersion autour de la moyenne dans la même unité que la variable.

📝 Points essentiels

📐 Formule — Pour une variable quantitative regroupée en K classes, la fréquence de la classe k vérifie $f_k = \frac{n_k}{n}$, où n_k est son effectif et n = n_1 + ... + n_K l’effectif total.

📌 Dans un histogramme, la fréquence d’une classe est représentée par l’aire du rectangle, tandis que dans un diagramme en bâtons elle est représentée par la hauteur de la barre.

📐 Formule — La moyenne empirique de n observations est $m = \frac{1}{n}\sum_{i=1}^{n} x_i$.

📐 Formule — La variance empirique vérifie $\operatorname{var}(x)=\frac{1}{n}\sum_{i=1}^{n}(x_i-m)^2=\operatorname{moy}(x^2)-m^2$ et mesure la dispersion autour de la moyenne.

💡 Astuce mémo

Histogramme : aire ; diagramme en bâtons : hauteur

📖 4. Événements et probabilités

🔑 Notions clés & Définitions

• Événement : Résultat ou état obtenu lors d’une épreuve ou expérience.
• Probabilité : Une probabilité est une fonction qui attribue à chaque événement e une valeur numérique Pr(e) comprise entre 0 et 1.

📝 Points essentiels

📌 Un phénomène déterministe donne le même résultat lorsqu’on répète l’expérience, tandis qu’un phénomène aléatoire produit des résultats variables dont la répartition est prévisible.

📐 Formule — Pour deux événements A et B, $Pr(A\ \mathrm{OU}\ B)=Pr(A)+Pr(B)-Pr(A\ \mathrm{ET}\ B)$.

📐 Formule — La probabilité conditionnelle de A sachant B vérifie $Pr(A\mid B)=\frac{Pr(A\ \mathrm{ET}\ B)}{Pr(B)}$.

📐 Formule — Le théorème de Bayes donne $Pr(A\mid B)=\frac{Pr(B\mid A)Pr(A)}{Pr(B)}$.

💡 Astuce mémo

Épreuve → événement → probabilité

📖 5. Probabilités conditionnelles et Bayes

★ À maîtriser

📐 Formule — La probabilité d’une union vérifie $\Pr(A\cup B)=\Pr(A)+\Pr(B)-\Pr(A\cap B)$.

📐 Formule — La probabilité conditionnelle vérifie $\Pr(A\mid B)=\frac{\Pr(A\cap B)}{\Pr(B)}$ lorsque $\Pr(B)>0$.

📐 Formule — Le théorème de Bayes vérifie $\Pr(A\mid B)=\frac{\Pr(B\mid A)\Pr(A)}{\Pr(B)}$.

📐 Formule — Si A et B sont indépendants, alors $\Pr(A\cap B)=\Pr(A)\Pr(B)$ et $\Pr(A\mid B)=\Pr(A)$.

Compléments

📐 Formule — Le théorème de la probabilité totale donne $\Pr(B)=\sum_i\Pr(B\mid A_i)\Pr(A_i)$ pour une partition complète d’événements de probabilités non nulles.

💡 Astuce mémo

Intersection → conditionnement → Bayes

📖 6. Tests diagnostiques et valeurs prédictives

★ À maîtriser

📌 La sensibilité est $\Pr(T+\mid M+)$, tandis que la spécificité est $\Pr(T-\mid M-)$.

📐 Formule — La proportion de faux négatifs vaut $\Pr(T-\mid M+)=1-\text{sensibilité}$ et la proportion de faux positifs vaut $\Pr(T+\mid M-)=1-\text{spécificité}$.

📐 Formule — Avec la prévalence pe, la sensibilité Se et la spécificité Sp, $\mathrm{VPP}=\frac{Se\,pe}{Se\,pe+(1-Sp)(1-pe)}$ et $\mathrm{VPN}=\frac{Sp(1-pe)}{Sp(1-pe)+(1-Se)pe}$.

Compléments

• Dans l’exemple de 100 malades et 100 non-malades, 80 malades sont T+ et 10 non-malades sont T+, donnant une sensibilité de 0,8 et une spécificité de 0,9.

📌 Pour estimer sans biais la sensibilité et la spécificité, il faut des échantillons représentatifs des malades et des non-malades, tandis que la VPP et la VPN exigent un échantillon représentatif de toute la population.

💡 Astuce mémo

Sensibilité chez les malades, spécificité chez les non-malades

📖 7. Lois discrètes et binomiale

🔑 Notions clés & Définitions

• Variable aléatoire discrète : Prend ses valeurs dans un domaine discret dénombrable, chaque valeur xi étant associée à une probabilité Pr(xi).
• Loi de Bernoulli : Une variable de Bernoulli codée 1 pour l’événement e et 0 pour son absence suit une loi Be(p), avec $E(X)=p$ et $\operatorname{Var}(X)=p(1-p)$.

★ À maîtriser

📌 Une fonction discrète est une fonction de probabilité si chaque probabilité est comprise entre 0 et 1 et si $\sum_{i=1}^{K}\Pr(X=x_i)=1$.

📐 Formule — Pour une variable discrète, $E(X)=\sum_i\Pr(X=x_i)x_i$ et $\operatorname{Var}(X)=\sum_i\Pr(X=x_i)(x_i-E(X))^2$.

📐 Formule — Si X compte les succès de n réalisations indépendantes de probabilité p, alors X suit une loi binomiale B(n,p) et $\Pr(X=x)=\binom{n}{x}p^x(1-p)^{n-x}$.

Compléments

📐 Formule — Si $Z=aX+b$, alors $E(Z)=aE(X)+b$ et $\operatorname{Var}(Z)=a^2\operatorname{Var}(X)$.

💡 Astuce mémo

Succès indépendants → loi binomiale

📖 8. Lois continues et théorème central limite

🔑 Notions clés & Définitions

• Variable aléatoire continue : Peut prendre n’importe quelle valeur d’un domaine et la probabilité d’une valeur exacte est nulle.

★ À maîtriser

📐 Formule — Une densité f vérifie $\Pr(u\le X\le v)=\int_u^v f(x)\,dx$, avec $f(x)\ge0$ et une intégrale totale égale à 1.

📐 Formule — Pour une variable continue, $E(X)=\int_D xf(x)\,dx$ et $\operatorname{Var}(X)=\int_D f(x)(x-E(X))^2\,dx$.

📐 Formule — Une variable normale X suit $X\sim N(m,s^2)$ et possède une densité en cloche symétrique de moyenne et de médiane m, avec variance s².

📐 Formule — Si $X\sim N(m,s^2)$, alors la variable centrée réduite $Y=\frac{X-m}{s}$ suit $N(0{,}1)$.

📐 Formule — Le théorème central limite indique que, pour n variables indépendantes de même moyenne m et variance s², leur moyenne suit approximativement $N\left(m,\frac{s^2}{n}\right)$ lorsque n est suffisamment grand, souvent n≥30.

Compléments

📐 Formule — L’erreur standard de la moyenne vaut $\frac{s}{\sqrt n}$ et diminue quand l’effectif n augmente.

💡 Astuce mémo

Une cloche normale autour d’une moyenne, resserrée quand n augmente

📖 9. Risque relatif et odds ratio

★ À maîtriser

• Dans le tableau tabagisme-cancer, la proportion de cancer est de 0,5 chez les fumeurs et de 0,05 chez les non-fumeurs.

📐 Formule — Le risque relatif du cancer chez les fumeurs par rapport aux non-fumeurs est $RR=\frac{\Pr(C\mid F)}{\Pr(C\mid \bar F)}$, estimé par $RR=\frac{a/(a+c)}{b/(b+d)}$.

• Dans l’exemple tabagisme-cancer, le risque relatif vaut 10, ce qui signifie que le cancer est dix fois plus fréquent chez les fumeurs que chez les non-fumeurs dans cet échantillon.

📐 Formule — L’odds ratio est le rapport des cotes et vérifie $OR=\frac{a/c}{b/d}=\frac{ad}{bc}$.

📌 Pour le risque relatif comme pour l’odds ratio, une valeur égale à 1 indique l’absence d’association mesurée, une valeur supérieure à 1 indique un facteur aggravant et une valeur inférieure à 1 indique un facteur protecteur.

Compléments

• Dans l’exemple tabagisme-cancer, l’odds ratio vaut 19, alors que le risque relatif vaut 10.

💡 Astuce mémo

RR compare les risques ; OR compare les cotes.

📖 10. Régression linéaire et corrélation

🔑 Notions clés & Définitions

• Régression linéaire : Représente le lien entre une variable réponse y et une variable explicative x par une droite $y=ax+b$.

★ À maîtriser

📐 Formule — Dans une régression linéaire, les coefficients estimés vérifient $a=\frac{\operatorname{cov}(x,y)}{\operatorname{var}(x)}$ et $b=\bar y-a\bar x$.

📌 Si la pente a est positive, Y augmente quand X augmente ; si a est négative, Y diminue quand X augmente ; une variation d’une unité de X entraîne une variation moyenne de a unités de Y.

📐 Formule — Le coefficient de corrélation linéaire de Pearson est $\rho_{X,Y}=\frac{\operatorname{cov}(X,Y)}{\sigma_X\sigma_Y}$ et est compris entre -1 et 1.

📌 Une corrélation entre deux variables n’établit pas que l’une est la cause de l’autre, car un facteur de confusion peut expliquer leur variation simultanée.

Compléments

• Pour l’âge de la mère et le poids du nouveau-né, la droite de régression estimée est $y=0{,}075x+1{,}18$, avec une pente de 0,075 kg par an.

💡 Astuce mémo

Variation de X → variation moyenne de Y.

📖 11. Variables quantitatives et qualitatives

★ À maîtriser

📐 Formule — Lorsque x est codée 0 pour une modalité et 1 pour l’autre, dans $y=ax+b$, le coefficient a vaut $f(1)-f(0)$, c’est-à-dire la différence entre les deux moyennes de y.

📌 Avec une variable qualitative à trois modalités, on choisit généralement une catégorie de référence et on calcule un coefficient séparé pour chaque autre modalité.

📌 Coder arbitrairement une variable nominale à trois modalités par 0, 1 et 2 impose une égalité des écarts entre catégories qui n’est généralement pas justifiée.

Compléments

• Pour étudier une variable quantitative y selon une variable qualitative x, on décrit d’abord y pour chaque modalité de x, puis on compare les moyennes ou on ajuste une régression.

• Dans l’exemple du poids selon le tabagisme, la pente est de −4,6 kg : le poids moyen des nouveau-nés de mères fumeuses diffère de 4,6 kg de celui des mères jamais fumeuses selon le codage utilisé.

💡 Astuce mémo

Codage 0–1 : la pente devient une différence de moyennes.

📖 12. Échantillonnage et intervalles

🔑 Notions clés & Définitions

• Fluctuation d’échantillonnage : Variation des résultats obtenus lorsque plusieurs échantillons sont tirés d’une même population.
• Intervalle de pari : Le plus petit intervalle contenant une réalisation future avec une probabilité $1-\alpha$.

★ À maîtriser

• L’échantillonnage prédit les résultats d’un futur échantillon à partir de la population, l’estimation déduit les caractéristiques de la population à partir d’un échantillon, et le test compare des groupes ou une théorie à des observations.

• Un échantillon représentatif est obtenu par tirage au sort, tandis qu’un échantillon biaisé résulte d’un recrutement qui ne donne pas à la population une représentation adéquate.

• La largeur d’un intervalle de pari diminue lorsque la taille n de l’échantillon augmente et augmente lorsque le niveau de confiance augmente.

Compléments

📐 Formule — Pour une proportion, lorsque $n\pi\ge 5$, l’intervalle de pari approché de niveau 1−α est $\left[\pi-z_\alpha\sqrt{\frac{\pi(1-\pi)}{n}}\ ;\ \pi+z_\alpha\sqrt{\frac{\pi(1-\pi)}{n}}\right]$.

💡 Astuce mémo

Intervalle de pari : futur échantillon ; intervalle de confiance : vraie population.

📖 13. Principes des intervalles de confiance

🔑 Notions clés & Définitions

• Intervalle de confiance : Intervalle construit à partir d’un échantillon qui contient la vraie valeur de la population avec une confiance donnée, notée généralement 1 − α.

★ À maîtriser

📌 L’intervalle de pari est construit à partir des valeurs dans la population, tandis que l’intervalle de confiance est construit à partir des estimations obtenues dans l’échantillon.

📐 Formule — L’estimateur sans biais de la variance est $\hat{s}^{2}=s_o^{2}\frac{n}{n-1}$.

Compléments

📌 La loi suivie par les observations individuelles d’un échantillon décrit la distribution de la caractéristique d’intérêt, tandis que la loi suivie par les moyennes de plusieurs échantillons décrit la distribution de la moyenne de cette caractéristique.

💡 Astuce mémo

Intervalle de pari : valeurs de population ; intervalle de confiance : estimations d’échantillon

📖 14. Intervalles pour moyennes et proportions

★ À maîtriser

📐 Formule — Pour n < 30 et une variable normalement distribuée, avec σ inconnu, l’intervalle de confiance d’une moyenne est $IC_{1-\alpha}=\left[\hat m-t_{n-1,\alpha}\frac{\hat s}{\sqrt n};\hat m+t_{n-1,\alpha}\frac{\hat s}{\sqrt n}\right]$.

📐 Formule — Pour une proportion, lorsque n p_o ≥ 5 et n(1 − p_o) ≥ 5, l’intervalle de confiance approché est $IC_{1-\alpha}=\left[\hat p-z_\alpha\sqrt{\frac{\hat p\hat q}{n}};\hat p+z_\alpha\sqrt{\frac{\hat p\hat q}{n}}\right]$ avec \hat q=1−\hat p.

Compléments

• Pour un intervalle de confiance à 95 %, z_α vaut 1,96, et pour un intervalle à 90 %, z_α vaut 1,645.

💡 Astuce mémo

Grand échantillon → normale ; petit échantillon → Student

📖 15. Principes des tests statistiques

🔑 Notions clés & Définitions

• Hypothèse nulle : Hypothèse selon laquelle le hasard explique l’écart observé entre une observation et une valeur de référence, ou entre deux observations.

📝 Points essentiels

📌 L’erreur de type I consiste à rejeter H0 alors qu’elle est vraie, tandis que l’erreur de type II consiste à ne pas rejeter H0 alors qu’elle est fausse.

• La puissance statistique d’un test est $1-\beta$ et correspond à la probabilité de rejeter H0 lorsque H1 est vraie.

• 🔄 Un test statistique suit les étapes suivantes:

  1. Poser H0
  2. Fixer α
  3. Recueillir les données
  4. Calculer la statistique de test
  5. Déterminer la limite de rejet sous H0
  6. Comparer la statistique à la limite de rejet

💡 Astuce mémo

Fluctuations d’échantillonnage → décision avec risques d’erreur

📖 16. Principaux tests et données censurées

🔑 Notions clés & Définitions

• Donnée censurée : Une donnée de survie est censurée lorsque l’événement étudié ne s’est pas encore produit ou n’est pas connu au moment de l’analyse.

📝 Points essentiels

📐 Formule — Pour comparer une proportion observée p_o à une proportion théorique π, la statistique est $z_o=\frac{p_o-\pi}{\sqrt{\frac{\pi(1-\pi)}{n}}}$ et suit approximativement une loi normale centrée réduite si nπ ≥ 5 et n(1−π) ≥ 5.

📐 Formule — Pour comparer deux proportions observées, la statistique est $z_o=\frac{p_{o1}-p_{o2}}{\sqrt{p_oq_o\left(\frac1{n_1}+\frac1{n_2}\right)}}$ avec $p_o=\frac{n_1p_{o1}+n_2p_{o2}}{n_1+n_2}$ et q_o=1−p_o.

📌 Pour des données appariées, on calcule pour chaque sujet la différence entre les deux mesures puis on teste la moyenne de ces différences, tandis que pour des groupes indépendants on compare directement leurs moyennes.

📐 Formule — Dans le test du Chi2 d’ajustement, la statistique est $\sum_{i=1}^{k}\frac{(O_i-C_i)^2}{C_i}$ et suit sous H0 une loi du χ² à k−1 degrés de liberté.

📐 Formule — La fonction de survie est $S(t)=\Pr(T>t)=1-F(t)$, avec S(0)=1 et S(∞)=0.

💡 Astuce mémo

Données indépendantes ≠ données appariées ; données complètes ≠ données censurées

📖 17. Fonction et courbe de survie

🔑 Notions clés & Définitions

• Temps de survie : Délai entre la date d’origine et la date d’événement ou, en cas de censure, la date de dernière nouvelle et de fin de suivi.
• Fonction de survie : Probabilité qu’un patient vive plus longtemps qu’une durée t, soit $S(t)=\Pr(T>t)=1-F(t)$, avec S(0)=1, S(∞)=0 et une fonction décroissante.
• Médiane de survie : Temps t pour lequel la fonction de survie vérifie S(t)=0,5 ; si cette valeur n’est pas atteinte exactement, on retient le plus petit temps vérifiant S(t)≥0,5.
• Estimateur de Kaplan-Meier : Estimate la fonction de survie en présence ou en absence de censures, période par période, selon $S(t_k)=(1-p_k)S(t_{k-1})$, où p_k est la probabilité de décès pendant la période k chez les patients vivants au début de cette période.
• Patients à risque : Ceux qui n’ont pas encore fait l’événement et qui sont encore suivis à ce temps.
• Hazard ratio : Quantifie l’association entre une durée de survie et un cofacteur en comparant les risques de décès au cours du temps.

★ À maîtriser

📌 Sur une courbe de survie, chaque marche correspond à un événement tandis qu’une censure ne modifie pas la courbe mais réduit le nombre de patients à risque pour les temps suivants.

Compléments

• Dans l’exemple présenté, le taux de survie à 30 jours est de 75 %, soit $S(30)=0{,}75$, et le taux de décès à 90 jours est de 78 %, soit $1-S(90)=1-0{,}22=0{,}78$.

📌 Pour comparer deux courbes de survie, on peut comparer graphiquement leurs médianes ou leurs taux de survie à un temps donné ; le test du Log-rank teste l’égalité des risques d’événement entre les groupes pour tout t.

💡 Astuce mémo

Temps observé → survie S(t) → quantiles → comparaison

📖 18. Essais cliniques et causalité

🔑 Notions clés & Définitions

• Essai clinique : Recherche biomédicale organisée et pratiquée chez l’homme pour développer les connaissances biologiques ou médicales et tester l’effet d’une intervention.
• Essai randomisé : Attribue par tirage au sort les patients aux traitements, ce qui rend les groupes similaires pour les facteurs de confusion connus et inconnus et permet une interprétation causale d’une différence observée.
• Facteur de confusion : Lié à la fois à l’exposition ou au traitement X et au résultat Y, de sorte qu’il peut modifier l’association observée entre X et Y.
• Puissance statistique : Probabilité de rejeter l’hypothèse nulle lorsqu’une différence réelle existe, et elle augmente avec la taille des effectifs.
• Erreur résiduelle : Écart entre son observation et sa prédiction, soit $\epsilon_i=y_i-ax_i-b$.
• Régression multivariée : Modélise une variable Y par plusieurs variables X_k selon $Y=\sum_{k=1}^{K}a_kX_k+b+\epsilon$, chaque coefficient mesurant l’effet propre de X_k toutes choses égales par ailleurs.
• Loi du Chi-deux : La loi du Chi-deux à n degrés de liberté est la loi de la somme des carrés de n variables aléatoires indépendantes suivant une loi normale centrée réduite.
• Table de Student : La table de Student donne, pour chaque degré de liberté et chaque valeur x, la probabilité que la valeur absolue de la statistique t dépasse x.

📝 Points essentiels

• 🔄 Le tirage au sort contrôle les facteurs de confusion en: attribuant les patients aux traitements, équilibrant les caractéristiques des groupes, permettant d’interpréter une différence statistiquement significative comme un effet causal du traitement

📌 Le degré de signification mesure la compatibilité d’une différence avec le hasard, tandis que l’amplitude de l’effet se mesure par des grandeurs comme le RR, l’OR ou la pente de régression.

📐 Formule — La régression linéaire univariée s’écrit $Y=aX+b+\epsilon$, où ε est l’erreur résiduelle et où la prédiction pour un sujet i est $\hat y_i=ax_i+b$.

📐 Formule — Le coefficient de détermination est $R^2=1-\frac{\sum_{i=1}^n(y_i-\hat y_i)^2}{\sum_{i=1}^n(y_i-\bar y)^2}$ et mesure la part de variabilité de Y expliquée par X.

📌 Dans une régression multivariée, a_k=0 indique l’absence de relation linéaire, a_k>0 indique qu’une augmentation d’une unité de X_k augmente en moyenne Y de a_k, et a_k<0 indique qu’elle le diminue de a_k, toutes les autres variables restant constantes.

• La régression linéaire nécessite:

  • une relation linéaire
  • une loi normale conditionnelle de Y
  • une variance de Y indépendante de X
  • l’indépendance des sujets

• La table de la loi normale centrée réduite donne la densité f(x), la fonction de répartition F(x)=Pr(X<x) et l’écart réduit $2(1-F(x))$.

• Pour un degré de liberté égal à 1 et une probabilité de 0,05, la table du Chi-deux donne une valeur critique de 3,841, qui est approximativement le carré de 1,96.

💡 Astuce mémo

Tirage au sort → groupes comparables → causalité

📊 Tableaux de synthèse

Types de variabilité

Indicateurs diagnostiques