Fiche de révision : Dispersion et concentration statistiques

📋 Plan du Cours

1. Population et caractères statistiques
2. Effectifs et fréquences statistiques
3. Représentations graphiques adaptées
4. Indicateurs de tendance centrale
5. Médiane et quantiles
6. Centiles et indicateurs de position
7. Indicateurs de dispersion
8. Courbes de Lorenz et concentration
9. Indice de Gini
10. Formes des distributions statistiques

📖 1. Population et caractères statistiques

🔑 Notions clés & Définitions

• Population statistique : Ensemble d’individus sur lesquels porte une étude statistique.
• Échantillon : Sous-ensemble d’individus d’une population.
• Caractère : Objet étudié dans une population ou un échantillon.
• Individu statistique : Élément de base d’une population statistique, également appelé unité statistique.
• Modalité : Valeurs ou états qu’un caractère peut prendre.

★ À maîtriser

• Un caractère quantitatif prend des valeurs numériques, tandis qu’un caractère qualitatif prend des modalités décrivant des états ou des catégories.

• Un caractère quantitatif discret prend des valeurs isolées, comme un nombre d’enfants, tandis qu’un caractère quantitatif continu peut prendre des valeurs mesurées, comme une taille ou un poids.

• Un caractère qualitatif nominal possède des modalités sans ordre naturel, tandis qu’un caractère qualitatif ordinal possède des modalités ordonnées.

Compléments

• Un caractère quantitatif continu regroupé en intervalles de valeurs est un caractère continu en classes, également qualifié de discrétisé.

📖 2. Effectifs et fréquences statistiques

🔑 Notions clés & Définitions

• Distribution statistique : Répartition des individus d’une population de taille $N$ selon les modalités d’un caractère.
• Fréquence : La fréquence $f_i$ d’une modalité est le rapport de son effectif $n_i$ à l’effectif total $N$.
• Effectif cumulé : L’effectif cumulé $N_k$ jusqu’à la modalité $k$ est la somme des effectifs des modalités de 1 à $k$.
• Fréquence cumulée : La fréquence cumulée $F_k$ jusqu’à la modalité $k$ est la somme des fréquences des modalités de 1 à $k$.

★ À maîtriser

📐 Formule - La somme des effectifs des modalités est égale à l’effectif total : $N = \sum_{i=1}^{p} n_i$.

📐 Formule - La fréquence d’une modalité vérifie $f_i = \frac{n_i}{N}$ et la somme des fréquences vaut $\sum_{i=1}^{p} f_i = 1$, soit 100 %.

Compléments

📐 Formule - L’effectif cumulé s’écrit $N_k = \sum_{i=1}^{k} n_i = N_{k-1} + n_k$, avec $N_1=n_1$ et $N_p=N$.

📐 Formule - La fréquence cumulée vérifie $F_k = \sum_{i=1}^{k} f_i = F_{k-1}+f_k = \frac{N_k}{N}$, avec $F_p=100\%$.

📖 3. Représentations graphiques adaptées

★ À maîtriser

• Un diagramme différentiel représente une distribution simple en effectifs ou en fréquences, tandis qu’un diagramme intégral représente une distribution cumulée en effectifs ou en fréquences.

• Pour un caractère quantitatif discret, les effectifs et les fréquences se représentent par des diagrammes différentiels, et leurs cumuls par des diagrammes intégraux.

• Pour un caractère quantitatif continu regroupé en classes, l’histogramme différentiel comporte des rectangles sans espacement ; leur largeur est identique si les amplitudes des classes sont égales et peut varier si elles sont inégales.

📐 Formule - L’amplitude de la classe $i$ est $a_i = \sup_i-\inf_i$ et, lorsque les amplitudes sont inégales, la densité est $d_i = \frac{f_i}{a_i}$.

Compléments

• Les représentations graphiques courantes sont :

  • la courbe
  • le diagramme à bâtons
  • l’histogramme
  • le diagramme circulaire
  • la boîte à moustaches

• Un diagramme intégral n’a de sens que si le regroupement des modalités du caractère possède lui-même un sens.

• Pour un caractère qualitatif, les effectifs et les fréquences se représentent par des diagrammes différentiels, notamment un diagramme circulaire ou un diagramme à bâtons.

• Dans un diagramme à bâtons, les traits ont la même épaisseur et le même espacement.

• Pour un histogramme à classes d’amplitudes inégales, la hauteur des rectangles représente la densité et l’aire de chaque rectangle représente la fréquence de la classe.

• Une courbe convient à un caractère observable en temps continu ou quantitatif continu, mais elle est déconseillée pour représenter une distribution statistique et adaptée aux séries chronologiques.

📖 4. Indicateurs de tendance centrale

🔑 Notions clés & Définitions

• Mode : Modalité dont l’effectif ou la fréquence est le plus élevé.
• Moyenne arithmétique : La moyenne arithmétique d’une série de $N$ observations est la somme de leurs valeurs divisée par $N$.

★ À maîtriser

📌 Pour des classes d’amplitudes inégales, la classe modale est celle dont la densité est la plus élevée, c’est-à-dire celle correspondant au rectangle le plus haut de l’histogramme.

📐 Formule - Pour des valeurs individuelles, la moyenne arithmétique est $\overline{X}=\frac{1}{N}\sum_{j=1}^{N}X_j$.

📐 Formule - Pour des modalités $X_i$ d’effectifs $n_i$, la moyenne pondérée est $\overline{X}=\frac{1}{N}\sum_{i=1}^{p}n_iX_i=\sum_{i=1}^{p}f_iX_i$.

Compléments

• Les indicateurs de tendance centrale sont le mode, la moyenne et la médiane, et une distribution peut aussi être décrite par des indicateurs de dispersion et de concentration.

• Une distribution est unimodale si elle a un seul mode et multimodale si elle en a plusieurs ; le mode peut être déterminé pour un caractère quantitatif ou qualitatif.

📌 Pour des classes de même amplitude, la classe modale est celle dont l’effectif ou la fréquence est le plus élevé.

📌 Pour des observations regroupées en classes, la moyenne est approximée en assimilant chaque observation au centre de sa classe, $c_i=\frac{\inf_i+\sup_i}{2}$.

📐 Formule - La moyenne des écarts à la moyenne, pondérés par les effectifs, est nulle : $\sum_{i=1}^{p}n_i(X_i-\overline{X})=0$.

📌 Ajouter une constante $a$ à toutes les observations augmente la moyenne de $a$ : si $Y=X+a$, alors $\overline{Y}=\overline{X}+a$.

📌 Multiplier toutes les observations par une constante $b$ multiplie la moyenne par $b$ : si $Y=bX$, alors $\overline{Y}=b\overline{X}$.

📖 5. Médiane et quantiles

🔑 Notions clés & Définitions

• Médiane : La médiane d’une population ordonnée partage celle-ci en deux sous-populations de même effectif ; au moins 50 % des observations lui sont inférieures ou égales et au moins 50 % lui sont supérieures ou égales.
• Quantile : Valeur qui partage une population ordonnée selon une proportion déterminée.

★ À maîtriser

• Dans une série ordonnée de $N$ observations, si $N$ est impair, la médiane est l’observation de rang $\frac{N+1}{2}$.

• Dans une série ordonnée de $N$ observations, si $N$ est pair, la médiane retenue est généralement la moyenne des observations de rangs $\frac{N}{2}$ et $\frac{N}{2}+1$.

• Pour une distribution continue regroupée en classes, la classe médiane $[x_{i-1};x_i[$ vérifie $F_{i-1}<0{,}5\leq F_i$.

📐 Formule - Sous l’hypothèse d’une répartition uniforme dans la classe médiane, $\mathrm{Me}=x_{i-1}+\frac{0{,}5-F_{i-1}}{F_i-F_{i-1}}(x_i-x_{i-1})$.

• Le premier quartile $Q_1$ est tel que 25 % des observations lui sont inférieures ou égales, et le troisième quartile $Q_3$ est tel que 75 % des observations lui sont inférieures ou égales.

Compléments

• La détermination de la médiane suppose que les modalités du caractère puissent être ordonnées.

• Pour une distribution discrète, la médiane est la modalité correspondant au franchissement du seuil de 50 % des fréquences cumulées, ou à l’observation de rang $\frac{N}{2}$ dans les effectifs cumulés.

• L’estimation de la médiane à l’intérieur de la classe médiane suppose une répartition uniforme des observations dans cette classe.

• Les quartiles partagent une population ordonnée en quatre sous-populations, les déciles en dix et les centiles en cent.

• Le décile $D_k$ est tel que $10k\%$ des observations lui sont inférieures ou égales ; ainsi $D_1$ correspond à 10 %, $D_5$ à 50 % et $D_9$ à 90 %.

📖 6. Centiles et indicateurs de position

★ À maîtriser

• Le centile Ck est la valeur telle que k % des observations d’une population ordonnée lui sont inférieures ou égales.

📌 Le mode est la modalité la plus fréquente, la moyenne est le centre de gravité de la distribution et la médiane partage la population en deux.

Compléments

• Les correspondances entre quantiles sont Q1 = C25, Me = Q2 = D5 = C50 et Q3 = C75.

• Le mode s’applique aux caractères qualitatifs et quantitatifs, la moyenne tient compte de toutes les valeurs et est sensible aux valeurs extrêmes, tandis que la médiane dépend du rang des observations et y est peu sensible.

• Aucun indicateur de tendance centrale n’est universellement préférable aux autres.

📖 7. Indicateurs de dispersion

🔑 Notions clés & Définitions

• Étendue : L’étendue mesure l’écart entre la plus grande et la plus petite valeur observée du caractère, soit $E = X_{\max} - X_{\min}$.
• Écart interquartile : L’écart interquartile mesure la dispersion de la moitié centrale de la population et vaut $EI = Q_3 - Q_1$.
• Variance : La moyenne des carrés des écarts à la moyenne.
• Écart-type : L’écart-type est la racine carrée de la variance, $\sigma_X=\sqrt{\operatorname{Var}(X)}$, et s’exprime dans la même unité que le caractère étudié.
• Coefficient de variation : Le coefficient de variation rapporte l’écart-type à la moyenne, $CV=\frac{\sigma_X}{\bar X}$, et mesure la dispersion relative sans unité.

★ À maîtriser

• Deux distributions peuvent avoir la même moyenne tout en présentant des dispersions très différentes.

📐 Formule - La formule de König–Huygens donne $\operatorname{Var}(X)=\overline{X^2}-\bar X^2$, où $\overline{X^2}=\frac{1}{N}\sum_{i=1}^{p}n_iX_i^2$.

📌 Ajouter une constante a à toutes les valeurs ne modifie ni la variance ni l’écart-type : $\operatorname{Var}(X+a)=\operatorname{Var}(X)$ et $\sigma_{X+a}=\sigma_X$.

📌 Multiplier toutes les valeurs par b multiplie la variance par b² et l’écart-type par |b| : $\operatorname{Var}(bX)=b^2\operatorname{Var}(X)$ et $\sigma_{bX}=|b|\sigma_X$.

Compléments

• Les principaux indicateurs de dispersion sont :

  • l’étendue
  • l’écart interquartile
  • la variance
  • l’écart-type
  • le coefficient de variation

• L’étendue est simple à calculer, mais ne dépend que des deux observations extrêmes et est donc très sensible aux valeurs extrêmes.

• Entre Q1 et Q3 se trouvent 50 % des observations, et l’écart interquartile est peu sensible aux observations exceptionnellement faibles ou élevées.

• La moyenne des écarts à la moyenne est nulle, car les écarts négatifs et positifs se compensent.

📐 Formule - Pour N observations individuelles, $\operatorname{Var}(X)=\frac{1}{N}\sum_{i=1}^{N}(X_i-\bar X)^2$.

📐 Formule - Pour p modalités Xi d’effectifs ni, $\operatorname{Var}(X)=\frac{\sum_{i=1}^{p}n_i(X_i-\bar X)^2}{\sum_{i=1}^{p}n_i}$, avec $N=\sum_{i=1}^{p}n_i$.

📐 Formule - À partir des fréquences fi, $\operatorname{Var}(X)=\sum_{i=1}^{p}f_i(X_i-\bar X)^2$, où $\sum_{i=1}^{p}f_i=1$.

💡 Astuce mémo

Étendue : deux extrêmes ; écart interquartile : moitié centrale.

📖 8. Courbes de Lorenz et concentration

🔑 Notions clés & Définitions

• Courbe de Lorenz : La représentation de la fréquence relative cumulée des valeurs détenues en fonction de la fréquence relative cumulée de la population, en reliant les points (Fk, Fᵛk) de 0 % à 100 %.

★ À maîtriser

📌 La dispersion s’étudie à partir de la distribution cumulée de la population selon les valeurs, tandis que la concentration relie la part cumulée des valeurs détenues à la part cumulée de la population.

• La ligne d’équirépartition vérifie Fᵛk = Fk et représente l’égalité parfaite, où chaque individu détient la même part.

📌 Plus la courbe de Lorenz est proche de la ligne d’équirépartition, plus la distribution est égalitaire et la concentration faible ; plus elle s’en éloigne vers la limite d’inégalité parfaite, plus la distribution est inégalitaire et la concentration élevée.

Compléments

• La concentration permet d’exprimer quelle part de la richesse ou du revenu est détenue par une part donnée de la population et d’étudier les inégalités.

• La situation d’inégalité parfaite correspond à une courbe de Lorenz qui suit les axes, un individu détenant toute la richesse et les autres rien.

• Lorsque la courbe de Lorenz d’une distribution est strictement supérieure à une autre en chaque point, elle indique une distribution plus égalitaire.

• Lorsque deux courbes de Lorenz se croisent, leur position ne permet pas de conclure sans ambiguïté sur les différences d’inégalité.

• En France en 2024, les 50 % des individus aux niveaux de vie les plus faibles détiennent 30,1 % de la masse totale des niveaux de vie. - Insee-DGFiP-Cnaf-Cnav-CCMSA, enquête Revenus fiscaux et sociaux 2024

• La courbe de Lorenz sert à analyser l’évolution des inégalités dans le temps et à comparer les distributions entre pays.

💡 Astuce mémo

Proche de l’équirépartition : égalité ; éloignée : inégalité.

📖 9. Indice de Gini

🔑 Notions clés & Définitions

• Indice de Gini : Le rapport de l’aire A1 entre la ligne d’égalité parfaite et la courbe de Lorenz à l’aire totale A1 + A2.

★ À maîtriser

• L’indice de Gini vaut 0 en cas d’égalité parfaite et 1 lorsque la courbe de Lorenz coïncide avec la limite d’inégalité parfaite.

📐 Formule - Avec les fréquences cumulées Fi et Fᵛi, $G=1-\sum_{i=1}^{p}(F_i-F_{i-1})(F_i^v+F_{i-1}^v)$.

Compléments

📐 Formule - Pour une courbe de Lorenz F(x), l’indice de Gini vérifie $G=1-2A_2$, où $A_2=\int_0^1 F(x)\,dx$ est l’aire sous la courbe.

• Pour les niveaux de vie en France en 2024, la formule discrète donne un indice de Gini égal à 0,293.

• Dans l’exemple à deux citoyens, l’indice de Gini vaut 0 pour des richesses égales, 0,25 lorsque les richesses sont de 500 € et 1 500 €, et 0,5 lorsque l’un détient 2 000 € et l’autre rien.

• En 2024, l’indice de Gini du niveau de vie en France atteint 0,302. - Insee-DGI et Insee-DGFiP-Cnaf-Cnav-CCMSA, enquêtes Revenus fiscaux et sociaux, série rétropolée 1996-2024

• En 2024, l’indice de Gini du revenu disponible équivalent est de 29,4 dans l’Union européenne, de 38,4 en Bulgarie et de 21,7 en Slovaquie. - Eurostat, EU-SILC, revenus 2024

📖 10. Formes des distributions statistiques

🔑 Notions clés & Définitions

• Distribution symétrique : Lorsque ses deux parties situées de part et d’autre de son centre sont identiques.

★ À maîtriser

📌 Pour une distribution symétrique unimodale, le mode, la médiane et la moyenne sont égaux.

📌 Dans une distribution à dissymétrie à droite, l’ordre est Mode < Médiane < Moyenne, tandis que dans une distribution à dissymétrie à gauche, l’ordre est Moyenne < Médiane < Mode.

Compléments

• Une distribution peut être caractérisée par : sa symétrie ou sa dissymétrie, le sens et l’importance de sa dissymétrie, son aplatissement et l’importance de ses queues

• La loi normale est l’exemple classique d’une distribution symétrique.

• La moyenne est davantage influencée par les valeurs extrêmes et est attirée vers la queue de la distribution.

• La loi du χ² est un exemple classique de distribution dissymétrique à droite, et sa forme dépend de son nombre de degrés de liberté.

📐 Formule - Le coefficient de dissymétrie est $\gamma_1=\frac{\mu_3}{\sigma^3}=\frac{1}{N}\frac{\sum_{i=1}^{p}n_i(X_i-\bar X)^3}{\sigma^3}$, où μ3 est le moment centré d’ordre 3.

📌 Un coefficient de dissymétrie γ1 nul n’implique pas nécessairement une distribution symétrique ; γ1 positif indique une dissymétrie à droite et γ1 négatif une dissymétrie à gauche.

📐 Formule - Le coefficient d’aplatissement est $\beta_2=\frac{\mu_4}{\sigma^4}$, où μ4 est le moment centré d’ordre 4.

• Pour la loi normale, le coefficient d’aplatissement β2 vaut 3.

📐 Formule - L’excès d’aplatissement est $\gamma_2=\beta_2-3$.

📌 Un excès d’aplatissement γ2 nul indique une distribution mésokurtique, γ2 positif une distribution leptokurtique et γ2 négatif une distribution platykurtique.

• L’aplatissement renseigne notamment sur l’importance des valeurs éloignées du centre et des queues, et ne se réduit pas à la hauteur du sommet de la distribution.

💡 Astuce mémo

Queue à droite : moyenne tirée vers la droite ; queue à gauche : moyenne tirée vers la gauche.

📊 Tableaux de synthèse

Indicateurs de dispersion