QCM : Dispersion et concentration statistiques (36 questions)

Explication

La population statistique regroupe tous les individus sur lesquels porte l’étude. Les personnes choisies forment un échantillon, le mode de déplacement est le caractère étudié et les réponses sont des données recueillies.

Explication

Un échantillon est un sous-ensemble d’individus tiré d’une population. La population entière comprend tous les logements de la ville, tandis que le caractère et ses modalités désignent ce qui est étudié et les valeurs ou états observés.

Explication

La couleur décrit une catégorie, donc le caractère est qualitatif ; le nombre de portes est une valeur numérique, donc le caractère est quantitatif. La classification inverse confond catégorie et nombre, tandis que les autres réponses attribuent à tort la même nature aux deux caractères.

Explication

Les types de logement sont des catégories sans ordre naturel, alors que les niveaux de satisfaction suivent un ordre. La classification inverse attribue l’ordre au mauvais caractère ; les autres réponses prennent des catégories pour des mesures numériques.

Explication

Une distribution statistique répartit les individus d’une population selon les modalités d’un caractère. Une liste d’individus ne décrit pas cette répartition, et un mode ou une proportion ne représente qu’un aspect particulier.

Explication

L’effectif total est la somme des effectifs des modalités : $18 + 27 + 35 + 20 = 100$. Le résultat 80 omet un effectif, 62 ne somme qu’une partie des modalités et 25 correspond à leur moyenne.

Explication

La fréquence est le rapport de l’effectif de la modalité à l’effectif total : $f_i = \frac{20}{80} = 0{,}25$. Les fréquences de toutes les modalités totalisent 1, soit 100 % ; inverser le rapport, garder l’effectif brut ou sommer jusqu’à 80 confond ces notions.

Explication

L’effectif cumulé jusqu’à la troisième modalité additionne les effectifs des modalités 1 à 3 : $12 + 9 + 14 = 35$. La valeur 14 est l’effectif de la seule troisième modalité, 21 omet celle-ci, et ajouter une modalité ultérieure dépasse le cumul demandé.

Explication

Le diagramme différentiel représente une distribution simple, tandis que le diagramme intégral représente une distribution cumulée. Inverser ces types confond leurs fonctions, et utiliser deux diagrammes du même type ne représente pas correctement les deux distributions.

Explication

Pour un caractère quantitatif discret, les effectifs simples se représentent par un diagramme différentiel et leurs cumuls par un diagramme intégral. L’inversion des diagrammes confond simple et cumulé, tandis que le regroupement en classes ne correspond pas au caractère discret décrit.

Explication

Un histogramme différentiel de données continues comporte des rectangles sans espacement, et leurs largeurs peuvent varier lorsque les amplitudes des classes sont inégales. Des rectangles séparés relèvent de la représentation en bâtons, tandis que des largeurs identiques ignorent les amplitudes différentes.

Explication

L’amplitude vaut la borne supérieure moins la borne inférieure : $20-12=8$. La densité est la fréquence divisée par l’amplitude : $16\%/8=2\%$ par unité; multiplier donne 128 %, inverser les bornes donne une amplitude négative et diviser l’amplitude par la fréquence donne la mauvaise opération.

Explication

Le mode est la modalité dont l’effectif ou la fréquence est le plus élevé; ici, B a l’effectif maximal de 31. Choisir A revient à retenir le plus petit effectif, tandis que la modalité centrale ou celle qui suit le maximum ne définit pas le mode.

Explication

Avec des amplitudes inégales, la classe modale est celle dont la densité est la plus élevée : $20\%/5=4\%$ contre $30\%/10=3\%$. Comparer les fréquences brutes favorise à tort la seconde classe, et l’amplitude seule ne détermine pas la classe modale.

Explication

La moyenne arithmétique est la somme des valeurs divisée par le nombre d’observations : $84/6=14$. Multiplier la somme, la soustraire du nombre d’observations ou diviser par 5 ne respecte pas cette définition.

Explication

La moyenne pondérée tient compte des effectifs : $\frac{4\times2+6\times5}{4+6}=\frac{38}{10}=3{,}8$. La moyenne simple des valeurs distinctes néglige les effectifs, tandis que 38 omet la division par l’effectif total et 4,2 correspond à des poids inversés.

Explication

La médiane partage une population ordonnée en deux sous-populations de même effectif ; au moins 50 % des observations sont de chaque côté, en comptant les égalités. La valeur observée le plus souvent décrit le mode, l’égalité des valeurs n’est pas requise et le partage des sommes ne définit pas la médiane.

Explication

Pour un effectif impair, le rang médian est $(N+1)/2$ ; ici, $(11+1)/2=6$. Les rangs 5 et 7 sont les deux rangs centraux utilisés pour une série paire, tandis que 11 est l’effectif, pas le rang médian.

Explication

Pour un effectif pair, la médiane retenue généralement est la moyenne des observations de rangs $N/2$ et $N/2+1$. Ici, $(14+18)/2=16$ ; 14 et 18 sont les valeurs centrales prises séparément, tandis que 4 est leur différence.

Explication

La classe médiane vérifie $F_{i-1}<0{,}5\leq F_i$ ; ici, $0{,}42<0{,}5\leq0{,}67$. La classe précédente reste sous le seuil, et une fréquence cumulée inférieure égale à 0,5 ne respecte pas l’inégalité stricte requise.

Explication

Le centile $C_k$ est la valeur telle que $k\%$ des observations lui sont inférieures ou égales ; 37 % correspond donc à $C_{37}$. Le centile 63 utilise le complément, le centile 25 correspond au premier quartile et 100 désigne le seuil de toute la population.

Explication

Le mode désigne la modalité la plus fréquente, la moyenne le centre de gravité de la distribution et la médiane la valeur qui partage la population en deux. Les associations autour du centre de gravité, du partage en deux et de la fréquence confondent respectivement les rôles de ces indicateurs.

Explication

La moyenne décrit une tendance centrale, tandis que la dispersion peut différer entre deux distributions ayant cette même moyenne. L’égalité de dispersion confond moyenne et étalement, la moyenne plus faible contredit la situation donnée, et une étendue plus faible ne caractérise pas la série la plus dispersée.

Explication

L’étendue est la différence entre la plus grande et la plus petite valeur : $31-12=19$ °C. L’addition donne 43 °C, l’inversion donne −19 °C et la moyenne des extrêmes donne 21,5 °C.

Explication

L’écart interquartile est $Q_3-Q_1$, soit $17-8=9$ minutes; il mesure l’étendue de la moitié centrale des observations. Additionner donne 25, inverser la soustraction donne −9 et prendre la moitié de l’intervalle donne 4,5.

Explication

L’écart-type est la racine carrée de la variance et s’exprime dans la même unité que le caractère étudié, ici les centimètres. Les centimètres carrés sont l’unité de la variance, tandis que l’effectif ne fournit pas l’unité de mesure du caractère.

Explication

La courbe de Lorenz relie la fréquence relative cumulée de la population à la fréquence relative cumulée des valeurs détenues, de 0 % à 100 %. La valeur individuelle n’est pas la part cumulée détenue, l’option qui inverse les grandeurs ne décrit pas les points attendus, et les fréquences simples ne remplacent pas les fréquences cumulées.

Explication

La dispersion s’étudie à partir de la distribution cumulée de la population selon les valeurs, tandis que la concentration relie la part cumulée des valeurs détenues à la part cumulée de la population. La première inversion attribue à la concentration le premier objet, la seconde attribue à la dispersion le second, et les deux notions ne sont pas synonymes.

Explication

En situation d’égalité parfaite, la part cumulée du patrimoine égale la part cumulée de la population, soit $F_k^v=F_k$. La relation $1-F_k$ inverse le cumul, une part toujours nulle n’exprime pas la détention totale, et une part toujours supérieure à celle de la population ne décrit pas la diagonale d’équirépartition.

Explication

Plus une courbe de Lorenz est proche de la ligne d’équirépartition, plus la distribution est égalitaire et la concentration faible. Dire qu'A est plus inégalitaire inverse le lien, attribuer davantage d’égalité à B contredit la comparaison, et la proximité ne signifie pas nécessairement égalité parfaite.

Explication

L’indice de Gini est l’aire située entre la ligne d’égalité parfaite et la courbe de Lorenz, rapportée à la somme des deux aires délimitées. Le rapport inversé change numérateur et dénominateur, l’aire sous la courbe ne correspond pas à l’aire recherchée, et la région entre la courbe et la limite d’inégalité ne remplace pas l’aire totale.

Explication

En situation d’égalité parfaite, la courbe de Lorenz coïncide avec la ligne d’égalité et l’aire qui les sépare est nulle, donc le Gini vaut 0. La valeur 1 correspond à la limite d’inégalité parfaite, tandis que 0,5 est une valeur intermédiaire et une valeur supérieure à 1 dépasse la borne de l’indice.

Explication

La formule discrète multiplie, pour chaque classe, l’accroissement de fréquence cumulée par la somme des deux fréquences cumulées de la variable, puis soustrait la somme obtenue à 1. Omettre le 1, supprimer les accroissements ou remplacer la somme par une différence modifie cette formule.

Explication

Une distribution est symétrique lorsque ses deux parties situées de part et d’autre de son centre sont identiques. Des fréquences uniformes, une moyenne nulle ou un seul sommet ne définissent pas à eux seuls cette symétrie.

Explication

Pour une distribution à la fois symétrique et unimodale, le mode, la médiane et la moyenne coïncident. Les deux ordres stricts caractérisent respectivement des dissymétries à droite et à gauche; la symétrie n’impose pas que la moyenne soit nulle.

Explication

Dans une distribution à dissymétrie à droite, la moyenne est attirée vers la queue et l’ordre est Mode < Médiane < Moyenne. L’ordre inverse correspond à une dissymétrie à gauche, l’égalité des trois indicateurs au cas symétrique unimodal, et l’ordre où la médiane précède le mode ne correspond pas à la règle donnée.