QCM : Théorème de Thalès et réciproque (7 questions)

Question 1

1. Deux droites (BM) et (CN) sont sécantes en A, et (MN) est parallèle à (BC). Pour calculer une longueur dans cette configuration, quelle égalité de rapports applique-t-on ?

\frac{AM}{AB}=\frac{AC}{AN}=\frac{MN}{BC}

\frac{AM}{AB}=\frac{AN}{AC}=\frac{MN}{AC}

\frac{AM}{AB}=\frac{AN}{AC}=\frac{MN}{BC}

\frac{AB}{AM}=\frac{AN}{AC}=\frac{MN}{BC}

Explication

Lorsque les droites sécantes en A sont coupées par les parallèles (MN) et (BC), les côtés correspondants vérifient cette égalité de rapports. Inverser AM et AB change le rapport, associer MN à AC confond les côtés correspondants, et inverser AN et AC mélange les sens des rapports.

Answer

$$\frac{AM}{AB}=\frac{AN}{AC}=\frac{MN}{BC}$$

Question 2

2. Dans une configuration formée par deux droites sécantes et deux droites parallèles, quelle relation existe entre les triangles obtenus ?

Leurs côtés correspondants sont proportionnels, et l’un agrandit ou réduit l’autre.

Leurs côtés correspondants sont égaux, et leurs périmètres sont identiques.

Leurs angles sont proportionnels, mais leurs côtés ne suivent pas de rapport commun.

Les écarts entre leurs côtés correspondants sont constants, sans rapport commun.

Explication

Les triangles déterminés par deux sécantes et des parallèles ont des côtés correspondants proportionnels; l’un est donc un agrandissement ou une réduction de l’autre. L’égalité des côtés confond ces triangles avec des triangles égaux, tandis que les angles ou les différences constantes ne décrivent pas cette propriété.

Answer

Leurs côtés correspondants sont proportionnels, et l’un agrandit ou réduit l’autre.

Question 3

3. Les droites (BM) et (CN) sont sécantes en A; les points A, B, M et A, C, N sont alignés dans le même ordre. On mesure $\frac{AM}{AB}=\frac{AN}{AC}$ . Quelle conclusion peut-on tirer ?

Les droites (MN) et (BC) sont parallèles.

Les droites (BM) et (CN) sont parallèles.

Les droites (MN) et (BC) sont perpendiculaires.

Les segments AM et AB ont la même longueur.

Explication

La sécance en A, l’alignement dans le même ordre et l’égalité des rapports AM/AB et AN/AC permettent d’appliquer la réciproque de Thalès et de conclure au parallélisme de (MN) et (BC). Confondre les droites concernées, conclure à des longueurs égales ou à la perpendicularité ne découle pas de ces conditions.

Answer

Les droites (MN) et (BC) sont parallèles.

Question 4

4. Dans une figure, A, B, M sont alignés dans cet ordre et A, C, N sont alignés dans le même ordre. Un tableau montre que les côtés correspondants AM, AN, MN et AB, AC, BC sont proportionnels. Que permet cette information ?

Conclure que (AM) et (AN) sont parallèles.

Conclure que (MN) et (BC) sont parallèles.

Conclure que les triangles ont des côtés égaux.

Conclure que (MN) et (BC) sont perpendiculaires.

Explication

Quand les points sont alignés dans le même ordre et que les côtés correspondants sont proportionnels, la réciproque de Thalès permet de conclure que (MN) et (BC) sont parallèles. Les autres conclusions confondent les droites visées, le parallélisme avec la perpendicularité, ou la proportionnalité avec l’égalité.

Answer

Conclure que (MN) et (BC) sont parallèles.

Question 5

5. Dans deux droites sécantes en A, les points A, B, M et A, C, N sont alignés dans le même ordre. On mesure AB = 4 cm, AM = 6 cm, AC = 5 cm et AN = 7,5 cm. Quelle conclusion permet la réciproque de Thalès ?

Les droites (BC) et (MN) ne sont pas parallèles, car les rapports doivent être inférieurs à 1.

Les droites (BC) et (MN) ne sont pas parallèles, car les quotients correspondants sont différents.

Les droites (BC) et (MN) sont parallèles, car les quotients correspondants sont égaux.

Les droites (BC) et (MN) sont parallèles, car les longueurs AB et AC sont égales.

Explication

Les points sont dans le même ordre et $\frac{AM}{AB}=\frac{6}{4}=1{,}5$ tandis que $\frac{AN}{AC}=\frac{7{,}5}{5}=1{,}5$ ; l’égalité des quotients permet de conclure que les droites sont parallèles. L’égalité de AB et AC est une comparaison non pertinente, et des rapports supérieurs à 1 restent possibles.

Answer

Les droites (BC) et (MN) sont parallèles, car les quotients correspondants sont égaux.

Question 6

6. Dans une configuration de deux droites sécantes en A, les points A, B, M et A, C, N sont alignés dans le même ordre. Les mesures donnent $\frac{AM}{AB}=1{,}4$ et $\frac{AN}{AC}=1{,}2$ . Quelle conclusion tirer de ces données ?

On ne peut pas conclure, car il faudrait connaître une troisième longueur.

Les droites sont parallèles, car les deux quotients sont supérieurs à 1.

Les droites sont parallèles, car les points sont alignés dans le même ordre.

Les droites ne sont pas parallèles, car les quotients correspondants sont différents.

Explication

Lorsque les points sont dans le même ordre mais que les quotients correspondants diffèrent, la contraposée de Thalès permet d’affirmer que les droites ne sont pas parallèles. L’alignement dans le même ordre ou le fait que les rapports dépassent 1 ne remplace pas l’égalité des quotients.

Answer

Les droites ne sont pas parallèles, car les quotients correspondants sont différents.

Question 7

7. Dans un triangle ABC, les points M et N sont situés respectivement sur [AB] et [AC], et (MN) est parallèle à (BC). On connaît AB = 10 cm, AM = 6 cm et BC = 15 cm. Quelle longueur obtient-on pour MN en appliquant le théorème de Thalès ?

6 cm

4 cm

9 cm

25 cm

Explication

Les conditions de Thalès sont réunies et $\frac{AM}{AB}=\frac{MN}{BC}$ , donc $\frac{6}{10}=\frac{MN}{15}$ et $MN=15\times\frac{6}{10}=9$ cm. Le rapport inversé donne une valeur trop grande, tandis que la différence des côtés ne respecte pas la proportionnalité.

QCM : Théorème de Thalès et réciproque (7 questions)

Questions et réponses du QCM

1. Deux droites (BM) et (CN) sont sécantes en A, et (MN) est parallèle à (BC). Pour calculer une longueur dans cette configuration, quelle égalité de rapports applique-t-on ?

2. Dans une configuration formée par deux droites sécantes et deux droites parallèles, quelle relation existe entre les triangles obtenus ?

3. Les droites (BM) et (CN) sont sécantes en A; les points A, B, M et A, C, N sont alignés dans le même ordre. On mesure $\frac{AM}{AB}=\frac{AN}{AC}$ . Quelle conclusion peut-on tirer ?

4. Dans une figure, A, B, M sont alignés dans cet ordre et A, C, N sont alignés dans le même ordre. Un tableau montre que les côtés correspondants AM, AN, MN et AB, AC, BC sont proportionnels. Que permet cette information ?

5. Dans deux droites sécantes en A, les points A, B, M et A, C, N sont alignés dans le même ordre. On mesure AB = 4 cm, AM = 6 cm, AC = 5 cm et AN = 7,5 cm. Quelle conclusion permet la réciproque de Thalès ?

6. Dans une configuration de deux droites sécantes en A, les points A, B, M et A, C, N sont alignés dans le même ordre. Les mesures donnent $\frac{AM}{AB}=1{,}4$ et $\frac{AN}{AC}=1{,}2$ . Quelle conclusion tirer de ces données ?

7. Dans un triangle ABC, les points M et N sont situés respectivement sur [AB] et [AC], et (MN) est parallèle à (BC). On connaît AB = 10 cm, AM = 6 cm et BC = 15 cm. Quelle longueur obtient-on pour MN en appliquant le théorème de Thalès ?

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1. Deux droites (BM) et (CN) sont sécantes en A, et (MN) est parallèle à (BC). Pour calculer une longueur dans cette configuration, quelle égalité de rapports applique-t-on ?

2. Dans une configuration formée par deux droites sécantes et deux droites parallèles, quelle relation existe entre les triangles obtenus ?

3. Les droites (BM) et (CN) sont sécantes en A; les points A, B, M et A, C, N sont alignés dans le même ordre. On mesure AMAB=ANAC\frac{AM}{AB}=\frac{AN}{AC}ABAM​=ACAN​. Quelle conclusion peut-on tirer ?

4. Dans une figure, A, B, M sont alignés dans cet ordre et A, C, N sont alignés dans le même ordre. Un tableau montre que les côtés correspondants AM, AN, MN et AB, AC, BC sont proportionnels. Que permet cette information ?

5. Dans deux droites sécantes en A, les points A, B, M et A, C, N sont alignés dans le même ordre. On mesure AB = 4 cm, AM = 6 cm, AC = 5 cm et AN = 7,5 cm. Quelle conclusion permet la réciproque de Thalès ?

6. Dans une configuration de deux droites sécantes en A, les points A, B, M et A, C, N sont alignés dans le même ordre. Les mesures donnent AMAB=1,4\frac{AM}{AB}=1{,}4ABAM​=1,4 et ANAC=1,2\frac{AN}{AC}=1{,}2ACAN​=1,2. Quelle conclusion tirer de ces données ?

7. Dans un triangle ABC, les points M et N sont situés respectivement sur [AB] et [AC], et (MN) est parallèle à (BC). On connaît AB = 10 cm, AM = 6 cm et BC = 15 cm. Quelle longueur obtient-on pour MN en appliquant le théorème de Thalès ?

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3. Les droites (BM) et (CN) sont sécantes en A; les points A, B, M et A, C, N sont alignés dans le même ordre. On mesure $\frac{AM}{AB}=\frac{AN}{AC}$ . Quelle conclusion peut-on tirer ?

6. Dans une configuration de deux droites sécantes en A, les points A, B, M et A, C, N sont alignés dans le même ordre. Les mesures donnent $\frac{AM}{AB}=1{,}4$ et $\frac{AN}{AC}=1{,}2$ . Quelle conclusion tirer de ces données ?