Fiche de révision : Théorème de Thalès et réciproque

📋 Plan du Cours

1. Théorème de Thalès
2. Réciproque du théorème de Thalès
3. Démontrer le parallélisme
4. Calculer une longueur

📖 1. Théorème de Thalès

★ À maîtriser

📌 Si les droites (BM) et (CN) sont sécantes en A et si (BC) est parallèle à (MN), alors $\frac{AM}{AB}=\frac{AN}{AC}=\frac{MN}{BC}$.

Compléments

• Les triangles formés par deux droites sécantes et des droites parallèles ont des côtés proportionnels, et l’un est l’agrandissement ou la réduction de l’autre.

• Pour exprimer la proportionnalité dans la configuration de Thalès, le tableau associe les côtés du petit triangle AM, AN et MN aux côtés du grand triangle AB, AC et BC.

📖 2. Réciproque du théorème de Thalès

★ À maîtriser

📌 Si (BM) et (CN) sont sécantes en A, si A, B, M et A, C, N sont alignés dans le même ordre et si $\frac{AM}{AB}=\frac{AN}{AC}$, alors (MN) est parallèle à (BC) et $\frac{AM}{AB}=\frac{MN}{BC}$.

Compléments

📌 Lorsque les points A, B, M et A, C, N sont dans le même ordre, la proportionnalité entre les côtés correspondants AM, AN, MN et AB, AC, BC permet de conclure que (MN) et (BC) sont parallèles.

💡 Astuce mémo

Thalès part du parallélisme ; la réciproque part de l’égalité des rapports.

📖 3. Démontrer le parallélisme

📝 Points essentiels

• Pour démontrer que deux droites sont parallèles par la réciproque de Thalès, on vérifie l’alignement des points dans le même ordre, on calcule les quotients des longueurs correspondantes ou on vérifie la proportionnalité d’un tableau, puis on conclut au parallélisme si les quotients sont égaux.

📌 Si les points sont alignés dans le même ordre mais que les quotients correspondants sont différents, ou que le tableau n’est pas proportionnel, alors les droites ne sont pas parallèles par la contraposée de Thalès.

💡 Astuce mémo

Ordre des points → quotients → parallèles ou non parallèles.

📖 4. Calculer une longueur

📝 Points essentiels

• 🔄 Le calcul d’une longueur suit ces étapes :
  1. Vérifier les conditions d’application du théorème de Thalès.
  2. Écrire les rapports de longueurs ou un tableau de proportionnalité.
  3. Remplacer les valeurs connues.
  4. Calculer la longueur cherchée par produit en croix ou avec le coefficient de proportionnalité.

💡 Astuce mémo

Conditions → rapports → valeurs connues → produit en croix.

📊 Tableaux de synthèse

Théorème et réciproque de Thalès