Qu'impose la divisibilité d'un entier a par un entier b non nul ?
Il existe un entier k tel qu'a = bk.
Que représente l'ensemble Z en mathématiques ?
L'ensemble des entiers relatifs.
Que contient l'ensemble N des entiers naturels ?
Les entiers naturels comprenant 0.
Quel est le multiple de tout entier relatif ?
Zéro est un multiple de tout entier relatif.
Zéro peut-il être diviseur d'un nombre ?
Non, zéro n'est le diviseur d'aucun nombre.
Comment vérifie-t-on que 6 divise 42 ?
Parce que 42 = 6 × 7.
Comment vérifie-t-on que −5 divise 35 ?
Parce que 35 = −5 × (−7).
Comment vérifie-t-on que −28 divise −56 ?
Parce que −56 = −28 × 2.
Que peut-on dire si b divise a concernant les multiples de a ?
Tout multiple de a est un multiple de b.
Que peut-on dire si b divise a concernant les diviseurs de b ?
Tout diviseur de b est un diviseur de a.
Quels diviseurs possèdent un entier non nul a et son opposé −a ?
Ils possèdent exactement les mêmes diviseurs dans ℤ.
Combien de diviseurs possède un entier relatif non nul a entre −a et a ?
Il possède un nombre fini de diviseurs entre −a et a.
Quels sont les diviseurs de 28 ?
Ils sont {−28; −14; −7; −4; −2; −1; 1; 2; 4; 7; 14; 28}.
Que déduit-on si a divise b et b divise c ?
Alors a divise c.
Que déduit-on si a divise b et c ?
Alors a divise toute combinaison linéaire bu + cv avec u,v entiers relatifs.
Qu'est-ce que la division euclidienne pour un entier a et un entier naturel b non nul ?
C'est l'unique écriture avec entiers et .
Quels sont les restes possibles dans une division euclidienne par b ?
Les restes possibles sont les entiers de 0 à .
Quand le reste d'une division euclidienne est-il nul ?
Le reste est nul si et seulement si le diviseur divise le dividende.
Pourquoi n'est pas une division euclidienne ?
Parce que le reste 17 n'est pas inférieur à 7.
Donnez un exemple correct de division euclidienne avec 115 et 7.
est une division euclidienne correcte.
Comment s'écrit tout entier relatif selon la base ?
Sous la forme avec entier.
Qu'est-ce que signifie a ≡ b[n] pour deux entiers a et b ?
a − b est un multiple de n.
Quelle condition caractérise la congruence modulo n entre deux entiers ?
Ils ont le même reste dans la division euclidienne par n.
Quand un entier a est-il congru à 0 modulo n ?
Quand n divise a.
Quelle relation existe entre a, r et n si r est le reste de la division euclidienne de a par n ?
a ≡ r[n] avec 0 ≤ r < n.
Quelle propriété de la congruence est exprimée par : si a ≡ b[n] et b ≡ c[n], alors a ≡ c[n] ?
La congruence est transitive.
Qu'impose la compatibilité de l'addition avec les congruences modulo n ?
On peut additionner les membres de congruences de même modulo n.
Qu'impose la compatibilité de la multiplication avec les congruences modulo n ?
On peut multiplier les membres de congruences de même modulo n.
Que vaut modulo n si ?
pour tout entier naturel non nul .
La division est-elle compatible avec les congruences modulo n ?
Non, la division n'est pas compatible avec les congruences modulo n.
Que montre l'exemple sur la division modulo 10 ?
Que 4 n'est pas congru à 6 modulo 10 malgré la multiplication par 5.
Comment résoudre la congruence ?
Par , soit avec entier relatif.
Que vaut toute puissance positive paire de 11 modulo 3 ?
Elle est congrue à 1 modulo 3.
Quelles congruences de 11 sont utilisées pour montrer la valeur de ses puissances paires modulo 3 ?
et .
Teste tes connaissances avec un QCM de 14 questions sur Divisibilité et congruences.
1. Quelle condition traduit correctement le fait qu’un entier relatif non nul divise un entier relatif ?
2. Quelle affirmation distingue correctement le rôle de zéro dans la divisibilité ?
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