Divisibilité et congruences

📋 Plan du Cours

1. Divisibilité dans les entiers relatifs
2. Propriétés des diviseurs
3. Division euclidienne
4. Définition des congruences
5. Calculs et équations modulo n

📖 1. Divisibilité dans les entiers relatifs

🔑 Notions clés & Définitions

• Divisibilité : Un entier relatif b non nul divise un entier relatif a s’il existe un entier relatif k tel que a = bk, et a est alors un multiple de b.

★ À maîtriser

📌 Zéro est un multiple de tout entier relatif, mais zéro n’est le diviseur d’aucun nombre.

Compléments

• Z est l’ensemble des entiers relatifs, tandis que N est l’ensemble des entiers naturels comprenant 0.

• Les relations 6 divise 42, −5 divise 35 et −28 divise −56 sont vérifiées respectivement par 42 = 6 × 7, 35 = −5 × (−7) et −56 = −28 × 2.

💡 Astuce mémo

Diviseur et multiple décrivent la même relation dans des sens opposés

📖 2. Propriétés des diviseurs

★ À maîtriser

📌 Si b divise a, alors tout multiple de a est un multiple de b et tout diviseur de b est un diviseur de a.

• Tout entier relatif non nul a possède un nombre fini de diviseurs compris entre −a et a.

📌 Si a divise b et b divise c, alors a divise c ; si a divise b et c, alors a divise toute combinaison linéaire bu + cv avec u et v entiers relatifs.

Compléments