Fiche de révision : Divisibilité et congruences

📋 Plan du Cours

1. Divisibilité dans les entiers relatifs
2. Propriétés des diviseurs
3. Division euclidienne
4. Définition des congruences
5. Calculs et équations modulo n

📖 1. Divisibilité dans les entiers relatifs

🔑 Notions clés & Définitions

• Divisibilité : Un entier relatif b non nul divise un entier relatif a s’il existe un entier relatif k tel que a = bk, et a est alors un multiple de b.

★ À maîtriser

📌 Zéro est un multiple de tout entier relatif, mais zéro n’est le diviseur d’aucun nombre.

Compléments

• Z est l’ensemble des entiers relatifs, tandis que N est l’ensemble des entiers naturels comprenant 0.

• Les relations 6 divise 42, −5 divise 35 et −28 divise −56 sont vérifiées respectivement par 42 = 6 × 7, 35 = −5 × (−7) et −56 = −28 × 2.

💡 Astuce mémo

Diviseur et multiple décrivent la même relation dans des sens opposés

📖 2. Propriétés des diviseurs

★ À maîtriser

📌 Si b divise a, alors tout multiple de a est un multiple de b et tout diviseur de b est un diviseur de a.

• Tout entier relatif non nul a possède un nombre fini de diviseurs compris entre −a et a.

📌 Si a divise b et b divise c, alors a divise c ; si a divise b et c, alors a divise toute combinaison linéaire bu + cv avec u et v entiers relatifs.

Compléments

📌 Un entier non nul a et son opposé −a possèdent exactement les mêmes diviseurs dans Z.

• L’ensemble des diviseurs de 28 est D(28) = {−28; −14; −7; −4; −2; −1; 1; 2; 4; 7; 14; 28}.

💡 Astuce mémo

Divisibilité successive → transitivité et combinaisons linéaires divisibles

📖 3. Division euclidienne

🔑 Notions clés & Définitions

• Division euclidienne : Pour un entier relatif a et un entier naturel non nul b, la division euclidienne est l’unique écriture a = bq + r avec q et r entiers relatifs et 0 ≤ r < b.

★ À maîtriser

📌 Le reste d’une division euclidienne est nul si et seulement si le diviseur divise le dividende.

📌 Tout entier relatif s’écrit, pour un entier naturel b supérieur ou égal à 2, sous l’une des formes bq, bq + 1, jusqu’à bq + (b − 1).

Compléments

• Dans une division euclidienne par b, les b restes possibles sont 0, 1, 2, jusqu’à b − 1.

• Les égalités 115 = 7 × 16 + 3, −115 = 7 × (−17) + 4 et 217 = 7 × 31 + 0 sont des divisions euclidiennes, contrairement à 115 = 7 × 14 + 17.

💡 Astuce mémo

Dividende = diviseur × quotient + reste, avec 0 ≤ reste < diviseur

📖 4. Définition des congruences

🔑 Notions clés & Définitions

• Congruence modulo n : Deux entiers relatifs a et b sont congrus modulo l’entier naturel non nul n si a − b est un multiple de n, ce qui se note a ≡ b[n].

★ À maîtriser

📌 Deux entiers sont congrus modulo n si et seulement s’ils ont le même reste dans la division euclidienne par n.

📌 Un entier a est congru à 0 modulo n si et seulement si n divise a, et le reste r de la division de a par n vérifie a ≡ r[n] avec 0 ≤ r < n.

Compléments

📌 La congruence est transitive : si a ≡ b[n] et b ≡ c[n], alors a ≡ c[n].

💡 Astuce mémo

Même reste modulo n équivaut à une différence multiple de n

📖 5. Calculs et équations modulo n

★ À maîtriser

• L’addition et la multiplication sont compatibles avec les congruences : on peut additionner ou multiplier les membres de congruences de même modulo n.

• Si a ≡ b[n], alors a^p ≡ b^p[n] pour tout entier naturel non nul p.

• La division n’est pas compatible avec les congruences : 5 × 4 ≡ 5 × 6[10], mais 4 n’est pas congru à 6 modulo 10.

Compléments

• La congruence x + 3 ≡ 2[7] se résout par x ≡ −1[7], soit x = −1 + 7k avec k entier relatif.

• Comme 11 ≡ 2[3] et 11^2 ≡ 1[3], toute puissance positive paire de 11 est congrue à 1 modulo 3.

💡 Astuce mémo

Addition et multiplication sont compatibles, contrairement à la division

📊 Tableaux de synthèse

Divisibilité et congruence