Fiche de révision : Les ensembles de nombres

📋 Plan du Cours

1. Les entiers naturels
2. Les entiers relatifs
3. Les nombres décimaux
4. Les nombres rationnels
5. Les nombres réels
6. Les nombres complexes
7. Inclusions et extensions

📖 1. Les entiers naturels

🔑 Notions clés & Définitions

• Entiers naturels : Nombres utilisés pour compter, auxquels appartient aussi 0, le premier entier naturel.

📝 Points essentiels

• L’ensemble des entiers naturels se note N.

📖 2. Les entiers relatifs

🔑 Notions clés & Définitions

• Entiers relatifs : Les entiers relatifs regroupent les entiers positifs et les entiers négatifs.

📝 Points essentiels

• Les nombres négatifs sont des nombres entiers précédés du symbole moins, comme -5, -200 et -14.

💡 Astuce mémo

Les positifs comptent au-dessus de zéro, les négatifs représentent moins que zéro.

📖 3. Les nombres décimaux

🔑 Notions clés & Définitions

• Nombres décimaux : Nombres obtenus en partageant ou fractionnant un entier et dont l’écriture décimale s’arrête.

📝 Points essentiels

• Le nombre 1,5 est un nombre décimal composé d’un entier et de la moitié d’un entier.

📖 4. Les nombres rationnels

🔑 Notions clés & Définitions

• Nombres rationnels : Nombres qui peuvent s’écrire comme le quotient de deux nombres entiers relatifs, sous la forme $\frac{A}{B}$.

★ À maîtriser

• Le quotient $\frac{1}{3}$ est rationnel et possède une écriture décimale infinie composée d’une répétition de 3.

Compléments

• L’ensemble des nombres rationnels se note Q.

💡 Astuce mémo

Fraction → quotient → décimales finies ou périodiques.

📖 5. Les nombres réels

🔑 Notions clés & Définitions

• Nombres réels : Les nombres réels regroupent les nombres rationnels et les nombres irrationnels.

★ À maîtriser

📌 Les nombres algébriques sont solutions d’une équation polynomiale à coefficients entiers, tandis que les nombres transcendants ne sont solutions d’aucune équation polynomiale à coefficients entiers.

• Le nombre $\sqrt{2}$ est irrationnel, car son écriture décimale infinie ne s’arrête pas et ne présente pas de suite répétitive.

Compléments

• Au 6e siècle avant Jésus-Christ, les pythagoriciens ont longtemps nié l’existence de nombres comme $\sqrt{2}$ et ont tenté de les cacher.

• Le nombre $\sqrt{2}$ est algébrique, car il est solution de l’équation polynomiale $x^2=2$.

• Le nombre π est transcendant, car aucune équation polynomiale à coefficients entiers n’a π pour solution.

💡 Astuce mémo

Algébrique : solution d’une équation polynomiale ; transcendant : aucune solution de ce type.

📖 6. Les nombres complexes

🔑 Notions clés & Définitions

• Nombres complexes : Nombres de la forme $A+iB$, où A et B sont des nombres réels.
• Unité imaginaire : Solution complexe de l’équation $x^2=-1$, qui n’a pas de solution réelle.

📝 Points essentiels

• L’ensemble des nombres complexes se note C.

💡 Astuce mémo

Impossible dans les réels → introduction de i → nombres complexes.

📖 7. Inclusions et extensions

★ À maîtriser

📌 Les inclusions entre les principaux ensembles sont $N\subset Z\subset D\subset Q\subset R\subset C$.

Compléments

• Le nombre 1 est simultanément entier naturel, entier relatif, décimal, rationnel, réel et complexe.

💡 Astuce mémo

N ⊂ Z ⊂ D ⊂ Q ⊂ R ⊂ C, puis H, O et QP.

📊 Tableaux de synthèse

Ensembles emboîtés