QCM : Divisibilité et congruences — 14 questions

Question 1

1. Quelle condition traduit correctement le fait qu’un entier relatif non nul $b$ divise un entier relatif $a$ ?

Il existe un entier relatif

k

tel que

b=ak+1

.

Il existe un entier naturel

k

tel que

a=b+k

.

Il existe un entier naturel

k

tel que

b=ak

.

Il existe un entier relatif

k

tel que

a=bk

.

Explication

La divisibilité signifie qu’il existe un entier relatif $k$ vérifiant $a=bk$ ; dans ce cas, $a$ est un multiple de $b$ . La condition $b=ak+1$ décrit une autre relation et ne caractérise pas la divisibilité.

Answer

Il existe un entier relatif $$k$$ tel que $$a=bk$$.

Question 2

2. Quelle affirmation distingue correctement le rôle de zéro dans la divisibilité ?

Zéro est multiple de certains entiers relatifs, et il divise les nombres non nuls.

Zéro divise tout entier relatif, mais il n’est multiple d’aucun entier.

Zéro est un multiple de tout entier relatif non nul, mais il ne divise aucun nombre.

Zéro n’est ni un multiple d’un entier relatif ni un diviseur d’un nombre.

Explication

Pour tout entier relatif non nul $b$ , on a $0=b\times 0$ , donc zéro est un multiple de $b$ ; en revanche, la divisibilité par zéro n’est pas définie. L’idée selon laquelle zéro diviserait tout entier confond le rôle de facteur et celui de multiple.

Answer

Zéro est un multiple de tout entier relatif non nul, mais il ne divise aucun nombre.

Question 3

3. Si $b$ divise $a$ , quelle relation entre leurs multiples et leurs diviseurs est correcte ?

Les multiples de

a

et de

b

sont identiques, ainsi que leurs ensembles de diviseurs.

Tout multiple de

a

est un multiple de

b

, et tout diviseur de

b

est un diviseur de

a

.

Tout multiple de

b

est un multiple de

a

, et tout diviseur de

a

est un diviseur de

b

.

Tout multiple de

a

est un diviseur de

b

, et tout multiple de

b

est un diviseur de

a

.

Explication

Si $a=bk$ , alors tout multiple de $a$ est aussi un multiple de $b$ . De même, un diviseur de $b$ divise $a$ par transitivité; l’inversion de ces deux inclusions constitue la confusion fréquente.

Answer

Tout multiple de $$a$$ est un multiple de $$b$$, et tout diviseur de $$b$$ est un diviseur de $$a$$.

Question 4

4. Que peut-on affirmer au sujet des diviseurs d’un entier relatif non nul $a$ ?

Ils sont en nombre fini et se trouvent entre

-a^2

et

a^2

.

Ils sont en nombre fini et sont compris entre

0

et

a

, avec des signes positifs.

Ils sont en nombre infini et comprennent tous les entiers relatifs compris entre

-a

et

a

.

Ils sont en nombre fini et appartiennent à l’intervalle compris entre

-a

et

a

.

Explication

Un entier relatif non nul possède un nombre fini de diviseurs, tous compris entre $-a$ et $a$ . Les diviseurs négatifs font partie de cet ensemble, ce qui écarte la description limitée aux valeurs positives.

Answer

Ils sont en nombre fini et appartiennent à l’intervalle compris entre $$-a$$ et $$a$$.

Question 5

5. Sachant que $a$ divise $b$ et $c$ , quelle expression est nécessairement divisible par $a$ pour tous entiers relatifs $u$ et $v$ ?

bu+cv

b+u+c+v

bc+u+v

buv+c

Explication

Si $a$ divise $b$ et $c$ , on peut écrire $b=ax$ et $c=ay$ ; alors $bu+cv=a(xu+yv)$ , qui est divisible par $a$ . Les autres expressions ne sont pas des combinaisons linéaires de $b$ et $c$ à coefficients entiers.

Answer

Il existe une écriture unique $$a=bq+r$$ avec $$0\le r<b$$ et $$q,r$$ entiers relatifs.

Answer

Lorsque le diviseur divise le dividende.

Answer

$$115=7\times16+3$$

Answer

Leur différence $$a-b$$ est un multiple de $$n$$.

Answer

Ils ont le même reste dans la division par $$n$$.

Answer

On a $$a \equiv r [n]$$ avec $$0 \le r < n$$.

Answer

L’addition ou la multiplication des membres correspondants.

Answer

$$a^p \equiv b^p [n]$$

Answer

Parce que la division par un facteur commun n’est pas compatible en général avec les congruences.

Question 6

6. Quelle condition caractérise une division euclidienne de $a$ par un entier naturel non nul $b$ ?

Il existe une écriture unique

a=bq+r

avec

0\le r<b

et

q,r

entiers relatifs.

Il existe une écriture

a=bq+r

avec

r\ge b

et

q,r

entiers relatifs.

Il existe une écriture

a=bq+r

avec

0\le q<b

et

r

entier naturel.

Il existe une écriture unique

a=bq+r

avec

q,r

entiers naturels et

r<0

.

Explication

La division euclidienne impose une écriture unique $a=bq+r$ où $q$ et $r$ sont entiers relatifs et où le reste vérifie $0\le r<b$ . Un reste supérieur ou égal à $b$ ne respecte pas cette condition.

Question 7

7. Dans quel cas le reste d’une division euclidienne est-il nul ?

Lorsque le reste est supérieur au diviseur.

Lorsque le diviseur divise le dividende.

Lorsque le quotient est égal à zéro.

Lorsque le dividende est inférieur au diviseur.

Explication

Un reste nul signifie que le dividende s’écrit $a=bq$ , donc que $b$ divise $a$ ; la réciproque est également vraie. Un dividende inférieur au diviseur peut avoir un reste non nul, et un quotient nul ne suffit pas à imposer cette propriété.

Question 8

8. Laquelle des écritures suivantes est une division euclidienne correcte ?

217=7\times30+7

-115=7\times(-16)-3

115=7\times16+3

115=7\times14+17

Explication

Dans $115=7\times16+3$ , le reste $3$ vérifie bien $0\le3<7$ . Dans la deuxième écriture, le reste $17$ est supérieur au diviseur, tandis que les deux autres égalités ne respectent pas l’égalité ou la condition sur le reste.

Question 9

9. Quelle condition caractérise la congruence de deux entiers relatifs $a$ et $b$ modulo un entier naturel non nul $n$ ?

Le produit

ab

est égal à un multiple de

n

.

Leur somme

a+b

est un multiple de

n

.

Leurs valeurs absolues sont égales à un multiple de

n

.

Leur différence

a-b

est un multiple de

n

.

Explication

Deux entiers sont congrus modulo $n$ lorsque leur différence $a-b$ est divisible par $n$ . L’égalité, contrairement à la congruence, compare directement les deux entiers eux-mêmes.

Question 10

10. Comment peut-on reconnaître que deux entiers sont congrus modulo $n$ en utilisant la division euclidienne ?

Leur différence possède un reste non nul dans la division par

n

.

Ils ont le même reste dans la division par

n

.

Leurs produits ont le même reste dans la division par

n

.

Leurs quotients sont égaux dans la division par

n

.

Explication

La congruence modulo $n$ équivaut à l’égalité des restes obtenus lors des divisions euclidiennes par $n$ . Un reste nul caractérise plutôt la divisibilité d’un entier par $n$ , et non la comparaison générale de deux restes.

Question 11

11. Pour un entier $a$ divisé euclidiennement par $n$ , quelle relation décrit correctement son reste $r$ ?

On a

a \equiv r [n]

avec

0 \le r < n

.

On a

a \equiv r [n]

avec

r \ge n

.

On a

a \equiv 0 [n]

dès que

r

est non nul.

On a

a \equiv n [r]

avec

0 \le n < r

.

Explication

Le reste de la division euclidienne vérifie $0 \le r < n$ et l’entier $a$ est congru à ce reste modulo $n$ . La congruence à zéro correspond au cas particulier où $n$ divise $a$ , donc où le reste est nul.

Question 12

12. Quelle opération peut être appliquée aux deux membres de congruences ayant le même modulo tout en conservant la congruence ?

La comparaison directe des membres sans tenir compte du modulo.

La division des membres correspondants par un entier quelconque.

L’addition ou la multiplication des membres correspondants.

Le remplacement d’un membre par son quotient euclidien.

Explication

L’addition et la multiplication sont compatibles avec les congruences de même modulo. La division ne possède pas cette propriété générale, car elle peut modifier les relations entre les restes.

Question 13

13. Si $a \equiv b [n]$ et si $p$ est un entier naturel non nul, quelle congruence peut-on déduire ?

a^p \equiv pb [n]

a^p \equiv b^p [n]

a+p \equiv b^p [n]

pa \equiv b^p [n]

Explication

Une congruence est conservée lorsqu’on élève ses deux membres à une même puissance entière naturelle non nulle. Cette règle découle de la compatibilité de la multiplication avec les congruences, tandis qu’elle ne fournit pas une règle analogue pour la division.

Question 14

14. Pourquoi ne peut-on pas déduire de $5 \times 4 \equiv 5 \times 6 [10]$ que $4 \equiv 6 [10]$ ?

Parce que le modulo doit être remplacé par le facteur commun.

Parce qu’une congruence ne peut pas contenir de multiplication.

Parce que la division par un facteur commun n’est pas compatible en général avec les congruences.

Parce que les deux produits ont des restes différents modulo

10

.

Explication

La division par un facteur commun ne conserve pas nécessairement une congruence, comme le montre cet exemple modulo $10$ . Les produits sont congrus, alors que $4$ et $6$ ont des restes différents modulo $10$ .

QCM : Divisibilité et congruences — 14 questions

Questions et réponses du QCM

1. Quelle condition traduit correctement le fait qu’un entier relatif non nul $b$ divise un entier relatif $a$ ?

2. Quelle affirmation distingue correctement le rôle de zéro dans la divisibilité ?

3. Si $b$ divise $a$ , quelle relation entre leurs multiples et leurs diviseurs est correcte ?

4. Que peut-on affirmer au sujet des diviseurs d’un entier relatif non nul $a$ ?

5. Sachant que $a$ divise $b$ et $c$ , quelle expression est nécessairement divisible par $a$ pour tous entiers relatifs $u$ et $v$ ?

6. Quelle condition caractérise une division euclidienne de $a$ par un entier naturel non nul $b$ ?

7. Dans quel cas le reste d’une division euclidienne est-il nul ?

8. Laquelle des écritures suivantes est une division euclidienne correcte ?

9. Quelle condition caractérise la congruence de deux entiers relatifs $a$ et $b$ modulo un entier naturel non nul $n$ ?

10. Comment peut-on reconnaître que deux entiers sont congrus modulo $n$ en utilisant la division euclidienne ?

11. Pour un entier $a$ divisé euclidiennement par $n$ , quelle relation décrit correctement son reste $r$ ?

12. Quelle opération peut être appliquée aux deux membres de congruences ayant le même modulo tout en conservant la congruence ?

13. Si $a \equiv b [n]$ et si $p$ est un entier naturel non nul, quelle congruence peut-on déduire ?

14. Pourquoi ne peut-on pas déduire de $5 \times 4 \equiv 5 \times 6 [10]$ que $4 \equiv 6 [10]$ ?

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QCM : Divisibilité et congruences — 14 questions

Questions et réponses du QCM

1. Quelle condition traduit correctement le fait qu’un entier relatif non nul bbb divise un entier relatif aaa ?

2. Quelle affirmation distingue correctement le rôle de zéro dans la divisibilité ?

3. Si bbb divise aaa, quelle relation entre leurs multiples et leurs diviseurs est correcte ?

4. Que peut-on affirmer au sujet des diviseurs d’un entier relatif non nul aaa ?

5. Sachant que aaa divise bbb et ccc, quelle expression est nécessairement divisible par aaa pour tous entiers relatifs uuu et vvv ?

6. Quelle condition caractérise une division euclidienne de aaa par un entier naturel non nul bbb ?

7. Dans quel cas le reste d’une division euclidienne est-il nul ?

8. Laquelle des écritures suivantes est une division euclidienne correcte ?

9. Quelle condition caractérise la congruence de deux entiers relatifs aaa et bbb modulo un entier naturel non nul nnn ?

10. Comment peut-on reconnaître que deux entiers sont congrus modulo nnn en utilisant la division euclidienne ?

11. Pour un entier aaa divisé euclidiennement par nnn, quelle relation décrit correctement son reste rrr ?

12. Quelle opération peut être appliquée aux deux membres de congruences ayant le même modulo tout en conservant la congruence ?

13. Si a≡b[n]a \equiv b [n]a≡b[n] et si ppp est un entier naturel non nul, quelle congruence peut-on déduire ?

14. Pourquoi ne peut-on pas déduire de 5×4≡5×6[10]5 \times 4 \equiv 5 \times 6 [10]5×4≡5×6[10] que 4≡6[10]4 \equiv 6 [10]4≡6[10] ?

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1. Quelle condition traduit correctement le fait qu’un entier relatif non nul $b$ divise un entier relatif $a$ ?

3. Si $b$ divise $a$ , quelle relation entre leurs multiples et leurs diviseurs est correcte ?

4. Que peut-on affirmer au sujet des diviseurs d’un entier relatif non nul $a$ ?

5. Sachant que $a$ divise $b$ et $c$ , quelle expression est nécessairement divisible par $a$ pour tous entiers relatifs $u$ et $v$ ?

6. Quelle condition caractérise une division euclidienne de $a$ par un entier naturel non nul $b$ ?

9. Quelle condition caractérise la congruence de deux entiers relatifs $a$ et $b$ modulo un entier naturel non nul $n$ ?

10. Comment peut-on reconnaître que deux entiers sont congrus modulo $n$ en utilisant la division euclidienne ?

11. Pour un entier $a$ divisé euclidiennement par $n$ , quelle relation décrit correctement son reste $r$ ?

13. Si $a \equiv b [n]$ et si $p$ est un entier naturel non nul, quelle congruence peut-on déduire ?

14. Pourquoi ne peut-on pas déduire de $5 \times 4 \equiv 5 \times 6 [10]$ que $4 \equiv 6 [10]$ ?