Fiche de révision : Échantillonnage et loi binomiale

📋 Plan du Cours

1. Succession d’épreuves indépendantes
2. Épreuve et loi de Bernoulli
3. Schéma et coefficients binomiaux
4. Loi binomiale et paramètres
5. Calculatrice et loi binomiale

📖 1. Succession d’épreuves indépendantes

🔑 Notions clés & Définitions

• Succession d’épreuves indépendantes : Succession de n épreuves indépendantes E₁, E₂, …, Eₙ dont l’univers est le produit cartésien Ω₁ × Ω₂ × … × Ωₙ, où Ωᵢ est l’univers de l’épreuve Eᵢ.

★ À maîtriser

📌 Dans l’arbre de probabilité d’épreuves indépendantes, chaque chemin représente une issue et la probabilité de cette issue est le produit des probabilités des branches du chemin.

Compléments

• Une issue d’une succession de n épreuves est un n-uplet (i₁ ; i₂ ; … ; iₙ), où iₚ est une issue de l’épreuve Eₚ.

• Avec 3 entrées, 2 plats et 1 dessert, le choix d’un élément de chaque catégorie donne 3 × 2 × 1 = 6 issues équiprobables.

💡 Astuce mémo

Un chemin dans l’arbre choisit une issue sur chaque branche.

📖 2. Épreuve et loi de Bernoulli

🔑 Notions clés & Définitions

• Épreuve de Bernoulli : Expérience aléatoire à deux issues : un succès S de probabilité p et un échec de probabilité 1 − p ; p est le paramètre de l’épreuve.
• Variable de Bernoulli : Variable aléatoire associée à une épreuve de Bernoulli qui vaut 1 si le succès est réalisé et 0 sinon.

★ À maîtriser

📐 Formule - Pour une variable de Bernoulli de paramètre p, $E(X)=p$ et $V(X)=p(1-p)$.

Compléments

• Dans une urne contenant 6 boules rouges, 3 boules jaunes et 1 boule bleue, tirer une boule bleue comme succès définit une épreuve de Bernoulli de paramètre 1/10.

💡 Astuce mémo

Succès : probabilité p ; échec : probabilité 1 − p.

📖 3. Schéma et coefficients binomiaux

🔑 Notions clés & Définitions

• Schéma de Bernoulli : Répétition n fois, de manière indépendante, d’une même épreuve de Bernoulli.
• Coefficient binomial : Le coefficient binomial $\binom{n}{k}$ désigne le nombre de chemins réalisant k succès lors de n répétitions ; il se lit « k parmi n ».

📝 Points essentiels

• Dans l’exemple de l’urne, remettre la boule tirée avant le tirage suivant assure l’indépendance des tirages et permet de répéter l’épreuve de Bernoulli.

• Par convention, $\binom{0}{0}=1$.

• Dans trois tirages indépendants de probabilité de succès 0,1, chaque chemin comportant deux succès et un échec a une probabilité de 0,009, et les trois chemins de ce type donnent P(X = 2) = 0,027.

📖 4. Loi binomiale et paramètres

🔑 Notions clés & Définitions

• Loi binomiale : Loi suivie par la variable X qui compte les succès dans un schéma de Bernoulli de n épreuves indépendantes, chacune de probabilité de succès p ; elle est notée B(n ; p).

★ À maîtriser

📐 Formule - Pour X de loi binomiale B(n ; p), $P(X=k)=\binom{n}{k}p^k(1-p)^{n-k}$ pour k = 0, 1, 2, …, n.

📐 Formule - Pour X de loi binomiale B(n ; p), $E(X)=np$ et $V(X)=np(1-p)$.

Compléments

📐 Formule - L’écart type d’une variable X de loi binomiale B(n ; p) est $\sigma(X)=\sqrt{V(X)}=\sqrt{np(1-p)}$.

• Dans la formule de P(X = k), $p^k(1-p)^{n-k}$ est la probabilité d’un chemin comprenant k succès et n − k échecs, et $\binom{n}{k}$ compte les chemins de ce type.

📖 5. Calculatrice et loi binomiale

★ À maîtriser

📌 Sur Casio, Bpd calcule P(X = k) et Bcd calcule P(X ≤ k) ; sur TI, les fonctions correspondantes sont binomFdp et binomFrep.

Compléments

• 🔄 Pour construire le tableau de la loi binomiale sur TI :

  1. Régler la table pour commencer à 0 avec un pas de 1.
  2. Utiliser binomFdp pour obtenir P(X = k).
  3. Utiliser binomFrep pour obtenir P(X ≤ k).

• Sur les calculatrices Casio et TI, la fonction nCr calcule un coefficient binomial ; par exemple, $\binom{20}{5}=15504$.

• Sur TI, les arguments de binomFdp s’écrivent dans l’ordre n, p, k, et binomFrep sert à calculer P(X ≤ k).

💡 Astuce mémo

Bpd donne P(X = k) ; Bcd donne P(X ≤ k).