QCM : Échantillonnage et loi binomiale (9 questions)

Question 1

1. Quel est l’univers d’une succession de $n$ épreuves indépendantes dont les univers respectifs sont $\Omega_1, \Omega_2, \ldots, \Omega_n$ ?

La réunion des univers

\Omega_1, \Omega_2, \ldots, \Omega_n

L’intersection des univers

\Omega_1, \Omega_2, \ldots, \Omega_n

Le produit cartésien

\Omega_1 \times \Omega_2 \times \cdots \times \Omega_n

La somme des nombres d’issues de chaque univers

Explication

Chaque issue de la succession associe une issue de chacune des épreuves, ce qui correspond au produit cartésien de leurs univers. La réunion rassemble des issues possibles dans différents univers, mais ne décrit pas les combinaisons d’issues formées au cours de la succession.

Answer

Le produit cartésien $$\Omega_1 \times \Omega_2 \times \cdots \times \Omega_n$$

Question 2

2. Dans un arbre modélisant des épreuves indépendantes, comment obtient-on la probabilité de l’issue représentée par un chemin ?

En divisant la probabilité de la dernière branche par le nombre d’étapes

En prenant la probabilité de la première branche parcourue

En multipliant les probabilités des branches parcourues

En additionnant les probabilités des branches parcourues

Explication

La probabilité de l’issue correspondant à un chemin est le produit des probabilités de toutes ses branches. L’addition des branches ne fournit pas la probabilité d’un chemin complet, car chaque branche y intervient successivement.

Answer

En multipliant les probabilités des branches parcourues

Question 3

3. Dans une épreuve de Bernoulli de paramètre $p$ , quelles sont les probabilités du succès et de l’échec ?

Le succès a pour probabilité

p

et l’échec pour probabilité

1+p

.

Le succès a pour probabilité

p

et l’échec pour probabilité

1-p

.

Le succès et l’échec ont chacun pour probabilité

p

.

Le succès a pour probabilité

1-p

et l’échec pour probabilité

p

.

Explication

Une épreuve de Bernoulli comporte deux issues : le succès de probabilité $p$ et l’échec de probabilité $1-p$ . Inverser ces probabilités confond le paramètre, qui désigne la probabilité de succès, avec celle de l’échec.

Answer

Le succès a pour probabilité $$p$$ et l’échec pour probabilité $$1-p$$.

Question 4

4. Une variable aléatoire de Bernoulli a pour paramètre $p=0{,}3$ . Quelle est sa variance ?

0{,}3

0{,}21

0{,}49

0{,}7

Explication

La variance d’une variable de Bernoulli vaut $p(1-p)$ , donc ici $0{,}3\times 0{,}7=0{,}21$ . La valeur $0{,}3$ est son espérance, et non sa variance.

Answer

$$0{,}21$$

Question 5

5. Que représente le coefficient binomial $\binom{n}{k}$ dans un schéma de Bernoulli ?

La probabilité d’obtenir au moins

k

succès en

n

répétitions

Le nombre de répétitions nécessaires pour obtenir exactement

k

succès

Le nombre de chemins comportant exactement

k

succès en

n

répétitions

La probabilité d’un chemin comportant exactement

k

succès en

n

répétitions

Explication

Ce coefficient dénombre les chemins qui réalisent exactement $k$ succès parmi les $n$ répétitions. La probabilité d’un chemin donné dépend aussi des probabilités de succès et d’échec.

Answer

Le nombre de chemins comportant exactement $$k$$ succès en $$n$$ répétitions

Question 6

6. Pour une variable $X$ suivant une loi binomiale $B(n;p)$ , quelle est son espérance ?

\sqrt{np(1-p)}

np(1-p)

p(1-p)

np

Explication

L’espérance d’une loi binomiale de paramètres $n$ et $p$ est $np$ . L’expression $np(1-p)$ correspond à sa variance, et non à son espérance.

Answer

Calculer la probabilité cumulée $$P(X\leq k)$$.

Answer

Elle est un triplet formé d’une issue de chacune des trois épreuves.

Answer

Elle vaut 1 en cas de succès et 0 en cas d’échec.

Question 7

7. Quel est le rôle de la fonction Bcd sur une calculatrice Casio pour une variable suivant une loi binomiale ?

Calculer la probabilité ponctuelle

P(X=k)

.

Calculer l’espérance de la variable binomiale.

Calculer la probabilité cumulée

P(X\leq k)

.

Déterminer le nombre de chemins comportant

k

succès.

Explication

Bcd sert à calculer la probabilité cumulée que la variable prenne une valeur inférieure ou égale à $k$ . Bpd calcule plutôt la probabilité ponctuelle $P(X=k)$ .

Question 8

8. En quoi une issue d’une succession de trois épreuves se distingue-t-elle d’une issue d’une seule épreuve ?

Elle est un triplet formé d’une issue de chacune des trois épreuves.

Elle est un chemin composé de plusieurs issues possibles pour chaque épreuve.

Elle est un choix parmi les issues communes aux trois univers.

Elle est une probabilité obtenue en additionnant les probabilités des trois épreuves.

Explication

Une issue de la succession est un triplet dont chaque composante correspond à une issue de l’épreuve associée. Contrairement à un chemin dans l’arbre, le triplet désigne l’issue elle-même, et non sa représentation ou sa probabilité.

Question 9

9. Dans une épreuve de Bernoulli, quel effet a le fait d’associer la variable aléatoire à l’issue de l’expérience sur sa valeur ?

Elle prend une valeur aléatoire entre 0 et 1 selon l’issue.

Elle vaut la probabilité du succès en cas de succès et 1 sinon.

Elle vaut 1 en cas de succès et 0 en cas d’échec.

Elle vaut 1 en cas d’échec et 0 en cas de succès.

Explication

Cette association transforme les deux issues en valeurs numériques : le succès est codé par 1 et l’échec par 0. Attribuer 1 à l’échec inverserait le codage défini pour une variable de Bernoulli.

QCM : Échantillonnage et loi binomiale (9 questions)

Questions et réponses du QCM

1. Quel est l’univers d’une succession de $n$ épreuves indépendantes dont les univers respectifs sont $\Omega_1, \Omega_2, \ldots, \Omega_n$ ?

2. Dans un arbre modélisant des épreuves indépendantes, comment obtient-on la probabilité de l’issue représentée par un chemin ?

3. Dans une épreuve de Bernoulli de paramètre $p$ , quelles sont les probabilités du succès et de l’échec ?

4. Une variable aléatoire de Bernoulli a pour paramètre $p=0{,}3$ . Quelle est sa variance ?

5. Que représente le coefficient binomial $\binom{n}{k}$ dans un schéma de Bernoulli ?

6. Pour une variable $X$ suivant une loi binomiale $B(n;p)$ , quelle est son espérance ?

7. Quel est le rôle de la fonction Bcd sur une calculatrice Casio pour une variable suivant une loi binomiale ?

8. En quoi une issue d’une succession de trois épreuves se distingue-t-elle d’une issue d’une seule épreuve ?

9. Dans une épreuve de Bernoulli, quel effet a le fait d’associer la variable aléatoire à l’issue de l’expérience sur sa valeur ?

Révisez avec les flashcards

Approfondir avec la fiche

Cours similaires

Vecteurs et géométrie dans l’espace

Limites des fonctions

S’informer et les médias

Microbiologie générale

Hormones et puberté

Comparer deux groupes avec Excel

Crée tes propres QCM

QCM : Échantillonnage et loi binomiale (9 questions)

Questions et réponses du QCM

1. Quel est l’univers d’une succession de nnn épreuves indépendantes dont les univers respectifs sont Ω1,Ω2,…,Ωn\Omega_1, \Omega_2, \ldots, \Omega_nΩ1​,Ω2​,…,Ωn​ ?

2. Dans un arbre modélisant des épreuves indépendantes, comment obtient-on la probabilité de l’issue représentée par un chemin ?

3. Dans une épreuve de Bernoulli de paramètre ppp, quelles sont les probabilités du succès et de l’échec ?

4. Une variable aléatoire de Bernoulli a pour paramètre p=0,3p=0{,}3p=0,3. Quelle est sa variance ?

5. Que représente le coefficient binomial (nk)\binom{n}{k}(kn​) dans un schéma de Bernoulli ?

6. Pour une variable XXX suivant une loi binomiale B(n;p)B(n;p)B(n;p), quelle est son espérance ?

7. Quel est le rôle de la fonction Bcd sur une calculatrice Casio pour une variable suivant une loi binomiale ?

8. En quoi une issue d’une succession de trois épreuves se distingue-t-elle d’une issue d’une seule épreuve ?

9. Dans une épreuve de Bernoulli, quel effet a le fait d’associer la variable aléatoire à l’issue de l’expérience sur sa valeur ?

Révisez avec les flashcards

Approfondir avec la fiche

Cours similaires

Vecteurs et géométrie dans l’espace

Limites des fonctions

S’informer et les médias

Microbiologie générale

Hormones et puberté

Comparer deux groupes avec Excel

Crée tes propres QCM

1. Quel est l’univers d’une succession de $n$ épreuves indépendantes dont les univers respectifs sont $\Omega_1, \Omega_2, \ldots, \Omega_n$ ?

3. Dans une épreuve de Bernoulli de paramètre $p$ , quelles sont les probabilités du succès et de l’échec ?

4. Une variable aléatoire de Bernoulli a pour paramètre $p=0{,}3$ . Quelle est sa variance ?

5. Que représente le coefficient binomial $\binom{n}{k}$ dans un schéma de Bernoulli ?

6. Pour une variable $X$ suivant une loi binomiale $B(n;p)$ , quelle est son espérance ?