QCM : Vecteurs et géométrie dans l’espace (21 questions)

Questions et réponses du QCM

1. Deux droites de l’espace sont-elles coplanaires lorsqu’elles appartiennent à un même plan ou lorsqu’elles ne partagent aucun point ?

Lorsqu’elles sont sécantes, mais pas lorsqu’elles sont parallèles.
Lorsqu’elles ont la même direction, même si elles ne sont pas dans un même plan.
Lorsqu’elles sont parallèles, car elles ne se rencontrent pas.
Lorsqu’elles appartiennent à un même plan, qu’elles se coupent ou soient parallèles.

Lorsqu’elles appartiennent à un même plan, qu’elles se coupent ou soient parallèles.

Explication

La coplanarité signifie que les deux droites appartiennent à un même plan; elles peuvent alors être sécantes ou parallèles. Le fait d’être parallèles ne suffit pas à établir la coplanarité dans l’espace.

2. Deux droites distinctes d’un même plan ne se coupent pas : quelle relation peuvent-elles avoir ?

Elles sont nécessairement non coplanaires.
Elles sont strictement parallèles.
Elles sont confondues.
Elles sont sécantes en un point situé hors du plan.

Elles sont strictement parallèles.

Explication

Deux droites coplanaires distinctes qui ne se coupent pas sont strictement parallèles. Des droites confondues ne sont pas distinctes : elles correspondent à la même droite.

3. Quelle est l’intersection possible de deux plans distincts qui ne sont pas parallèles ?

Aucun point, quelle que soit leur orientation.
Un autre plan distinct des deux premiers.
Un point.
Une droite.

Une droite.

Explication

Deux plans sécants se coupent suivant une droite; s’ils ne sont pas sécants, ils sont parallèles stricts ou confondus. Un point seul ne peut donc pas constituer leur intersection.

4. Une droite et un plan sont parallèles au sens large lorsque quelle situation se présente ?

La droite coupe le plan en un point ou y est incluse.
La droite est incluse dans le plan ou lui est strictement parallèle.
La droite est sécante au plan, mais ne le traverse pas.
La droite est non coplanaire avec chacune des droites du plan.

La droite est incluse dans le plan ou lui est strictement parallèle.

Explication

Le cas parallèle comprend aussi bien une droite incluse dans le plan qu’une droite strictement parallèle à celui-ci. Une droite qui coupe le plan en un point est sécante, et non parallèle au sens retenu ici.

5. Quelles caractéristiques définissent un vecteur de l’espace ?

Une longueur et une direction, le sens étant déterminé par le plan.
Un sens, une origine et une extrémité, sans longueur associée.
Une direction, un sens et une norme, c’est-à-dire une longueur.
Une direction, un point d’origine et une norme, sans sens défini.

Une direction, un sens et une norme, c’est-à-dire une longueur.

Explication

Un vecteur de l’espace est caractérisé par sa direction, son sens et sa norme, qui correspond à sa longueur. Un point d’origine n’est pas l’une des caractéristiques qui définissent un vecteur libre.

6. Une translation de vecteur u⃗\vec{u} envoie le point MM sur le point M′M' : quelle égalité traduit cette image ?

M′M→=u⃗\overrightarrow{M'M}=\vec{u}
OM′→=u⃗\overrightarrow{OM'}=\vec{u}
MM′→=−u⃗\overrightarrow{MM'}=-\vec{u}
MM′→=u⃗\overrightarrow{MM'}=\vec{u}

$$\overrightarrow{MM'}=\vec{u}$$

Explication

L’image de MM par la translation de vecteur u⃗\vec{u} est le point M′M' tel que MM′→=u⃗\overrightarrow{MM'}=\vec{u}. Le vecteur M′M→\overrightarrow{M'M} a le sens opposé, tandis que OM′→\overrightarrow{OM'} dépend du point d’origine choisi.

7. Laquelle de ces expressions est une combinaison linéaire de trois vecteurs u⃗,v⃗,w⃗\vec{u},\vec{v},\vec{w} ?

au⃗+bv⃗a\vec{u}+b\vec{v}, avec a,b∈Ra,b\in\mathbb{R}
au⃗+bv⃗+cw⃗a\vec{u}+b\vec{v}+c\vec{w}, avec a,b,c∈Za,b,c\in\mathbb{Z}
au⃗+bv⃗+cw⃗a\vec{u}+b\vec{v}+c\vec{w}, avec a,b,c∈Ra,b,c\in\mathbb{R}
u⃗+v⃗+w⃗\vec{u}+\vec{v}+\vec{w}, avec les trois vecteurs nécessairement unitaires

$$a\vec{u}+b\vec{v}+c\vec{w}$$, avec $$a,b,c\in\mathbb{R}$$

Explication

Une combinaison linéaire de trois vecteurs s’écrit au⃗+bv⃗+cw⃗a\vec{u}+b\vec{v}+c\vec{w} avec des coefficients réels. Limiter les coefficients aux entiers ou omettre l’un des trois vecteurs ne correspond pas à cette définition générale.

8. Quelle condition fait d’un vecteur un vecteur directeur d’une droite ?

Il est non nul et possède la même direction que la droite.
Il est non nul et possède la même norme que la droite.
Il a son origine sur la droite et son extrémité hors de celle-ci.
Il est perpendiculaire à la droite et appartient à un plan qui la contient.

Il est non nul et possède la même direction que la droite.

Explication

Un vecteur directeur est un vecteur non nul ayant la même direction que la droite. Avoir la même norme que la droite n’est pas une condition définissant un vecteur directeur.

9. Une droite dd passe par AA et a pour vecteur directeur u⃗\vec{u} : quel critère caractérise l’appartenance de MM à dd ?

AM→\overrightarrow{AM} est non nul et appartient à un plan contenant dd.
AM→\overrightarrow{AM} et u⃗\vec{u} sont colinéaires.
AM→\overrightarrow{AM} et u⃗\vec{u} ont la même norme.
AM→\overrightarrow{AM} et u⃗\vec{u} sont perpendiculaires.

$$\overrightarrow{AM}$$ et $$\vec{u}$$ sont colinéaires.

Explication

Le point MM appartient à dd si et seulement si AM→\overrightarrow{AM} est colinéaire à u⃗\vec{u}. La perpendicularité entre ces vecteurs indiquerait une relation différente et ne caractériserait pas l’appartenance à la droite.

10. Deux droites de l’espace ont des vecteurs directeurs colinéaires : quelle conclusion peut-on tirer sur leurs directions ?

Les droites sont confondues.
Les droites sont parallèles.
Les droites sont sécantes en un point.
Les droites sont non coplanaires.

Les droites sont parallèles.

Explication

Deux droites de l’espace sont parallèles si et seulement si leurs vecteurs directeurs sont colinéaires. Cette condition ne permet pas de conclure qu’elles sont confondues, car deux droites distinctes peuvent aussi être parallèles.

11. Quels vecteurs peuvent déterminer la direction d’un plan ?

Deux vecteurs non nuls et non colinéaires.
Deux vecteurs de même norme, qu’ils soient colinéaires ou non.
Un vecteur nul et un vecteur non nul.
Deux vecteurs non nuls et colinéaires.

Deux vecteurs non nuls et non colinéaires.

Explication

Deux vecteurs non nuls et non colinéaires déterminent la direction d’un plan. Deux vecteurs colinéaires donnent une seule direction et ne suffisent donc pas à déterminer celle d’un plan.

12. Quelle condition géométrique définit la coplanarité de trois vecteurs de l’espace ?

Ils possèdent des représentants appartenant à un même plan.
Ils forment un triplet de vecteurs deux à deux orthogonaux.
Ils possèdent des représentants appartenant à une même droite.
Ils ont la même origine et des longueurs égales.

Ils possèdent des représentants appartenant à un même plan.

Explication

Trois vecteurs sont coplanaires lorsqu’on peut choisir pour chacun un représentant appartenant au même plan. Avoir des représentants sur une même droite est une condition plus restrictive, qui décrit notamment des vecteurs colinéaires.

13. Comment peut-on caractériser la coplanarité de trois vecteurs u⃗,v⃗,w⃗\vec{u},\vec{v},\vec{w} par une relation linéaire ?

Il existe des réels xx et yy tels que u⃗=xv⃗+yw⃗\vec{u}=x\vec{v}+y\vec{w}, avec x+y=1x+y=1.
Il existe des réels xx et yy tels que u⃗=xv⃗+yw⃗\vec{u}=x\vec{v}+y\vec{w}.
Il existe des réels xx et yy tels que v⃗=xu⃗+yw⃗\vec{v}=x\vec{u}+y\vec{w}.
Il existe un réel xx tel que u⃗=xv⃗+xw⃗\vec{u}=x\vec{v}+x\vec{w}.

Il existe des réels $$x$$ et $$y$$ tels que $$\vec{u}=x\vec{v}+y\vec{w}$$.

Explication

Les trois vecteurs sont coplanaires si et seulement si l’un d’eux, ici u⃗\vec{u}, est une combinaison linéaire des deux autres avec des coefficients réels. La condition supplémentaire x+y=1x+y=1 n’est pas requise.

14. Si i⃗,j⃗,k⃗\vec{i},\vec{j},\vec{k} ne sont pas coplanaires, quelle propriété possède la décomposition de tout vecteur u⃗\vec{u} dans ces trois vecteurs ?

Elle existe de manière unique avec deux coefficients réels seulement.
Elle existe, mais plusieurs triplets de coefficients peuvent représenter u⃗\vec{u}.
Elle existe et elle est unique sous la forme u⃗=xi⃗+yj⃗+zk⃗\vec{u}=x\vec{i}+y\vec{j}+z\vec{k}.
Elle existe de manière unique lorsque les trois coefficients sont égaux.

Elle existe et elle est unique sous la forme $$\vec{u}=x\vec{i}+y\vec{j}+z\vec{k}$$.

Explication

Trois vecteurs non coplanaires permettent d’écrire tout vecteur de l’espace de manière unique comme combinaison linéaire des trois. Des vecteurs coplanaires ne constituent pas une base de l’espace et ne garantissent pas cette décomposition unique.

15. Qu’est-ce qui constitue une base de l’espace ?

Deux vecteurs non colinéaires issus d’un même point.
Un quadruplet formé d’un point et de trois vecteurs coplanaires.
Un triplet de vecteurs coplanaires et non nuls.
Un triplet de vecteurs non coplanaires.

Un triplet de vecteurs non coplanaires.

Explication

Une base de l’espace est constituée de trois vecteurs non coplanaires. Trois vecteurs coplanaires restent contenus dans un plan et ne forment donc pas une base de l’espace.

16. Quels éléments définissent un repère de l’espace ?

Deux points distincts et deux vecteurs colinéaires.
Un point origine et trois vecteurs non coplanaires.
Trois points non alignés et un vecteur normal au plan.
Un point origine et deux vecteurs non colinéaires.

Un point origine et trois vecteurs non coplanaires.

Explication

Un repère de l’espace est un quadruplet formé d’un point OO et de trois vecteurs non coplanaires. Deux vecteurs non colinéaires suffisent à décrire une base plane, mais pas un repère de l’espace.

17. Dans un repère de l’espace, si OM→=xi⃗+yj⃗+zk⃗\overrightarrow{OM}=x\vec{i}+y\vec{j}+z\vec{k}, quelle coordonnée de MM est appelée sa cote ?

La somme x+y+zx+y+z.
La coordonnée xx.
La coordonnée yy.
La coordonnée zz.

La coordonnée $$z$$.

Explication

Les coordonnées de MM sont notées (x;y;z)(x;y;z) : xx est l’abscisse, yy l’ordonnée et zz la cote. La coordonnée yy correspond donc à l’ordonnée, et non à la cote.

18. Dans un repère de l’espace, si A(2;−1;3)A(2;-1;3) et B(5;4;1)B(5;4;1), quelles sont les coordonnées de AB→\overrightarrow{AB} ?

(3;5;−2)(3;5;-2)
(−3;−5;2)(-3;-5;2)
(7;3;4)(7;3;4)
(3;5;2)(3;5;2)

$$(3;5;-2)$$

Explication

Les coordonnées de AB→\overrightarrow{AB} s’obtiennent en soustrayant celles de AA à celles de BB, soit (5−2;4−(−1);1−3)=(3;5;−2)(5-2;4-(-1);1-3)=(3;5;-2). Le triplet (−3;−5;2)(-3;-5;2) correspond au vecteur de sens inverse BA→\overrightarrow{BA}.

19. Quels sont les coordonnées du milieu de [AB][AB] si A(2;4;−2)A(2;4;-2) et B(6;0;8)B(6;0;8) ?

(4;2;3)(4;2;3)
(4;4;3)(4;4;3)
(8;4;6)(8;4;6)
(2;2;5)(2;2;5)

$$(4;2;3)$$

Explication

Le milieu a pour coordonnées les moyennes des coordonnées correspondantes des deux extrémités, ce qui donne (4;2;3)(4;2;3). Le triplet (8;4;6)(8;4;6) additionne les coordonnées au lieu de calculer leurs moyennes.

20. Pour démontrer que quatre points sont coplanaires à l’aide de vecteurs, quelle démarche convient ?

Calculer les longueurs de trois vecteurs de même origine et vérifier qu’elles sont égales.
Calculer trois vecteurs de même origine et vérifier que l’un est une combinaison linéaire des deux autres.
Calculer deux vecteurs de même origine et vérifier qu’ils sont colinéaires.
Calculer les coordonnées des quatre points et vérifier que leurs abscisses sont égales.

Calculer trois vecteurs de même origine et vérifier que l’un est une combinaison linéaire des deux autres.

Explication

On calcule trois vecteurs ayant la même origine, puis on vérifie que l’un est une combinaison linéaire des deux autres. La colinéarité de deux vecteurs ne fournit pas à elle seule le test demandé pour établir la coplanarité de quatre points.

21. Pour démontrer que trois points sont alignés à l’aide de vecteurs, que faut-il établir ?

Que trois vecteurs de même origine sont coplanaires.
Que les coordonnées des trois points vérifient une même équation de plan.
Que deux vecteurs construits avec ces points ont la même longueur.
Que deux vecteurs de même origine construits avec ces points sont colinéaires.

Que deux vecteurs de même origine construits avec ces points sont colinéaires.

Explication

Trois points sont alignés si deux vecteurs de même origine construits à partir d’eux sont colinéaires. La coplanarité de vecteurs est une condition qui concerne un plan et ne suffit pas à établir l’alignement des trois points.

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Quand deux droites de l’espace sont-elles coplanaires ?

Lorsqu’elles appartiennent à un même plan.

Quelles positions deux droites coplanaires peuvent-elles avoir ?

Elles peuvent être sécantes, parallèles strictes ou confondues.

Selon quelles positions deux plans de l’espace peuvent-ils se trouver ?

Ils sont sécants suivant une droite, parallèles stricts ou confondus.

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