Fiche de révision : Vecteurs et géométrie dans l’espace

📋 Plan du Cours

1. Positions relatives dans l’espace
2. Vecteurs et combinaisons linéaires
3. Directions des droites et des plans
4. Bases et décomposition vectorielle
5. Repères et coordonnées spatiales
6. Coplanarité et alignement

📖 1. Positions relatives dans l’espace

★ À maîtriser

📌 Deux droites de l’espace sont coplanaires lorsqu’elles appartiennent à un même plan, et non coplanaires dans le cas contraire.

• Deux droites coplanaires peuvent être sécantes, parallèles strictes ou confondues.

📌 Deux plans de l’espace sont soit sécants suivant une droite, soit parallèles stricts, soit confondus.

📌 Une droite et un plan sont sécants en un point, ou parallèles, ce dernier cas comprenant la droite incluse dans le plan et la droite strictement parallèle au plan.

Compléments

• Dans un cube ABCDEFGH, (EG) et (FG) sont sécantes en G, (AD) et (FG) sont parallèles, et (AD) et (CG) sont non coplanaires.

💡 Astuce mémo

Droites : coplanaires ou non ; plans et droite-plan : sécants ou parallèles.

📖 2. Vecteurs et combinaisons linéaires

🔑 Notions clés & Définitions

• Vecteur de l’espace : Défini par une direction, un sens et une norme, c’est-à-dire une longueur.
• Combinaison linéaire : Un vecteur de la forme $a\vec{u}+b\vec{v}+c\vec{w}$, où $a,b,c\in\mathbb{R}$.

★ À maîtriser

📌 Dire que M′ est l’image de M par la translation de vecteur $\vec{u}$ équivaut à écrire $\overrightarrow{MM'}=\vec{u}$.

Compléments

• Les vecteurs de l’espace suivent les mêmes règles de somme, de produit par un réel, de relation de Chasles et de colinéarité que les vecteurs du plan.

• Les translations conservent le parallélisme, l’orthogonalité et les milieux.

• Pour représenter une combinaison linéaire, on construit un chemin dont les vecteurs successifs représentent les termes de la somme, en remplaçant au besoin un vecteur par un vecteur égal ou colinéaire adapté à la figure.

📖 3. Directions des droites et des plans

🔑 Notions clés & Définitions

• Vecteur directeur : Un vecteur non nul qui possède la même direction que cette droite.

★ À maîtriser

• Si une droite d passe par A et a pour vecteur directeur $\vec{u}$, alors M appartient à d si et seulement si $\overrightarrow{AM}$ et $\vec{u}$ sont colinéaires.

• Deux droites de l’espace sont parallèles si et seulement si leurs vecteurs directeurs sont colinéaires.

• Deux vecteurs non nuls et non colinéaires déterminent la direction d’un plan.

• Si un plan P passe par A et est dirigé par deux vecteurs non colinéaires $\vec{u}$ et $\vec{v}$, alors M appartient à P si et seulement si $\overrightarrow{AM}=x\vec{u}+y\vec{v}$ pour certains réels x et y.

• Deux plans déterminés par le même couple de vecteurs non colinéaires sont parallèles ou confondus.

Compléments

📌 Un plan est déterminé par un point et deux vecteurs non colinéaires.

• Pour démontrer que deux plans sont parallèles, on montre que deux vecteurs non colinéaires de l’un sont respectivement colinéaires à deux vecteurs non colinéaires de l’autre.

📖 4. Bases et décomposition vectorielle

🔑 Notions clés & Définitions

• Vecteurs coplanaires : Trois vecteurs de l’espace possédant des représentants appartenant à un même plan.
• Base de l’espace : Un triplet de vecteurs non coplanaires.

★ À maîtriser

📌 Trois vecteurs $\vec{u},\vec{v},\vec{w}$ sont coplanaires si et seulement si $\vec{u}=x\vec{v}+y\vec{w}$ pour certains réels x et y.

📌 Pour trois vecteurs non coplanaires $\vec{i},\vec{j},\vec{k}$, tout vecteur $\vec{u}$ s’écrit de manière unique $\vec{u}=x\vec{i}+y\vec{j}+z\vec{k}$ avec x, y et z réels.

Compléments

• Dans un cube, les vecteurs $\overrightarrow{AB},\overrightarrow{BC},\overrightarrow{CG}$ forment une base de l’espace et $\overrightarrow{AG}=\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{BC}+\overrightarrow{CG}$.

📖 5. Repères et coordonnées spatiales

🔑 Notions clés & Définitions

• Repère de l’espace : Un quadruplet $(O;\vec{i},\vec{j},\vec{k})$ où O est un point et où $\vec{i},\vec{j},\vec{k}$ sont trois vecteurs non coplanaires.

★ À maîtriser

• Dans un repère de l’espace, $\overrightarrow{OM}=x\vec{i}+y\vec{j}+z\vec{k}$ définit les coordonnées $(x;y;z)$ de M ; x est son abscisse, y son ordonnée et z sa cote.

📐 Formule - Pour A de coordonnées $(x_A;y_A;z_A)$ et B de coordonnées $(x_B;y_B;z_B)$, $\overrightarrow{AB}=(x_B-x_A;y_B-y_A;z_B-z_A)$.

📐 Formule - Le milieu de [AB], avec A de coordonnées $(x_A;y_A;z_A)$ et B de coordonnées $(x_B;y_B;z_B)$, a pour coordonnées $\left(\frac{x_A+x_B}{2};\frac{y_A+y_B}{2};\frac{z_A+z_B}{2}\right)$.

Compléments

• Dans le repère $\left(A;\overrightarrow{AB},\overrightarrow{AD},\overrightarrow{AE}\right)$ d’un parallélépipède rectangle, le point $I$ milieu de [CG] a pour coordonnées $(1;1;0{,}5)$.

📖 6. Coplanarité et alignement

★ À maîtriser

• Pour démontrer que quatre points sont coplanaires, on calcule trois vecteurs de même origine et on vérifie que l’un est une combinaison linéaire des deux autres.

• Pour démontrer l’alignement de trois points, on montre que deux vecteurs de même origine construits avec ces points sont colinéaires.

Compléments

• Pour les points A(2;−1;4), B(6;−7;0), C(1;0;1) et D(13;−16;5), on obtient $\overrightarrow{AD}=2\overrightarrow{AB}-3\overrightarrow{AC}$, donc A, B, C et D sont coplanaires.

• Dans l’exemple du cube, les vecteurs $\overrightarrow{EJ}$ et $\overrightarrow{EC}$ vérifient $\overrightarrow{EJ}=\frac{1}{3}\overrightarrow{EC}$, ce qui établit l’alignement de E, J et C.