Fiche de révision : Limites des fonctions

📋 Plan du Cours

1. Limites à l’infini
2. Limites des fonctions de référence
3. Limites en un réel
4. Limites latérales et asymptotes
5. Opérations sur les limites
6. Calcul de limites et asymptotes

📖 1. Limites à l’infini

🔑 Notions clés & Définitions

• Limite infinie en +∞ : Lorsque f(x) devient aussi grand que l’on veut dès que x est suffisamment grand.

• Asymptote horizontale : Si la limite de f(x) lorsque x tend vers +∞ vaut L, la droite d’équation y = L est une asymptote horizontale à la courbe de f en +∞.

📝 Points essentiels

• Une fonction qui tend vers +∞ lorsque x tend vers +∞ n’est pas nécessairement croissante.

• Les fonctions sinusoïdales ne possèdent pas de limite infinie lorsque x tend vers +∞.

💡 Astuce mémo

À l’infini, les images peuvent diverger ou se rapprocher d’une valeur finie.

📖 2. Limites des fonctions de référence

★ À maîtriser

📐 Formule - $\lim_{x\to+\infty}x^2=+\infty$ et $\lim_{x\to-\infty}x^2=+\infty$.

📐 Formule - $\lim_{x\to+\infty}\frac{1}{x}=0$ et $\lim_{x\to-\infty}\frac{1}{x}=0$.

Compléments

📐 Formule - $\lim_{x\to+\infty}\sqrt{x}=+\infty$.

📖 3. Limites en un réel

🔑 Notions clés & Définitions

• Asymptote verticale : Si f(x) tend vers +∞ ou −∞ lorsque x tend vers A, la droite d’équation x = A est une asymptote verticale à la courbe de f.

📖 4. Limites latérales et asymptotes

★ À maîtriser

📌 La limite à droite en 0 décrit le comportement de f(x) lorsque x tend vers 0 avec x > 0, tandis que la limite à gauche décrit son comportement lorsque x tend vers 0 avec x < 0.

• Pour la fonction inverse f(x) = 1/x, la limite à droite en 0 vaut +∞.

• Pour la fonction inverse f(x) = 1/x, la limite à gauche en 0 vaut −∞.

Compléments

• Si une fonction tend vers L lorsque x tend vers −∞ ou +∞, sa courbe admet une asymptote horizontale d’équation y = L à l’infini considéré.

💡 Astuce mémo

À gauche et à droite d’un même point, les limites peuvent avoir des signes opposés.

📖 5. Opérations sur les limites

📝 Points essentiels

• La limite d’une somme est la somme des limites lorsque cette opération est déterminée ; la forme +∞ − ∞ est indéterminée.

• La limite d’un produit se détermine par le produit des limites lorsque l’opération est déterminée, et la règle des signes fixe le signe d’un infini ; les formes 0 × ∞ sont indéterminées.

• La limite d’un quotient se détermine à partir des limites du numérateur et du dénominateur lorsque l’opération est déterminée, et la règle des signes fixe le signe d’un infini.

• Les formes 0/0 et ∞/∞ sont indéterminées pour le calcul d’une limite.

📖 6. Calcul de limites et asymptotes

📝 Points essentiels

• Pour x tendant vers −∞, (x − 5)(3 + x²) tend vers −∞, car le premier facteur tend vers −∞ et le second vers +∞.

• Lorsque x tend vers 3 par la gauche, (1 − 2x)/(x − 3) tend vers +∞, car le numérateur tend vers −5 et le dénominateur vers 0−.

• Pour déterminer des asymptotes, on calcule les limites aux infinis et au voisinage des valeurs exclues du domaine, puis on associe les limites finies à des asymptotes horizontales et les limites infinies en un réel à des asymptotes verticales.

• Pour f(x) = −2/(1 − x), la droite y = 0 est une asymptote horizontale en +∞ et en −∞.

• Pour f(x) = −2/(1 − x), la droite x = 1 est une asymptote verticale.