QCM : Limites des fonctions (10 questions)

Question 1

1. Que signifie que la fonction $f$ admet pour limite $+\infty$ lorsque $x$ tend vers $+\infty$ ?

La valeur de

f(x)

se rapproche d’un nombre réel lorsque

x

devient grand.

La fonction

f(x)

augmente à chaque fois que

x

augmente.

La valeur de

f(x)

reste comprise entre deux bornes lorsque

x

devient grand.

Pour toute borne,

f(x)

dépasse cette borne dès que

x

est suffisamment grand.

Explication

Cela signifie que $f(x)$ devient aussi grand que l’on veut dès que $x$ est suffisamment grand. Une telle limite ne signifie pas que la fonction augmente à chaque étape.

Answer

Pour toute borne, $$f(x)$$ dépasse cette borne dès que $$x$$ est suffisamment grand.

Question 2

2. Si $\lim_{x\to+\infty} f(x)=L$ , quelle droite est une asymptote horizontale à la courbe de $f$ en $+\infty$ ?

La droite d’équation

y=x+L

.

La droite d’équation

y=0

.

La droite d’équation

x=L

.

La droite d’équation

y=L

.

Explication

Lorsque $f(x)$ tend vers $L$ quand $x$ tend vers $+\infty$ , la droite horizontale $y=L$ est une asymptote à la courbe en cette extrémité. La droite $x=L$ est verticale et ne décrit pas cette asymptote horizontale.

Answer

La droite d’équation $$y=L$$.

Question 3

3. Quelle est la limite de $x^2$ lorsque $x$ tend vers $-\infty$ ?

Elle tend vers

-\infty

.

Elle tend vers

1

.

Elle tend vers

+\infty

.

Elle tend vers

0

.

Explication

Le carré d’un nombre de grande valeur absolue devient grand et positif, que ce nombre soit positif ou négatif. La limite $-\infty$ ne convient donc pas à $x^2$ .

Answer

Elle tend vers $$+\infty$$.

Question 4

4. Lorsque $x$ tend vers $-\infty$ , vers quelle valeur tend $\frac{1}{x}$ ?

Vers

-\infty

.

Vers

+\infty

.

Vers

0

.

Vers

-1

.

Explication

La valeur absolue de $\frac{1}{x}$ devient de plus en plus petite lorsque $|x|$ grandit, donc la limite est $0$ . Le signe négatif des valeurs lorsque $x<0$ ne les fait pas tendre vers $-\infty$ .

Answer

Vers $$0$$.

Question 5

5. Quelle est la définition d’une asymptote verticale à la courbe d’une fonction au voisinage de $x=A$ ?

La droite

x=A

lorsque

f(x)

tend vers

+\infty

ou

-\infty

quand

x

tend vers

A

.

La droite

y=A

lorsque

f(x)

tend vers une limite finie quand

x

tend vers

A

.

La droite

x=A

lorsque

f(x)

tend vers une limite finie quand

x

tend vers

A

.

La droite

y=A

lorsque

f(x)

tend vers

+\infty

ou

-\infty

quand

x

tend vers

A

.

Explication

Une limite infinie de $f(x)$ lorsque $x$ tend vers $A$ caractérise une asymptote verticale d’équation $x=A$ . Une limite finie au voisinage de $A$ ne suffit pas à définir une telle asymptote.

Answer

La droite $$x=A$$ lorsque $$f(x)$$ tend vers $$+\infty$$ ou $$-\infty$$ quand $$x$$ tend vers $$A$$.

Question 6

6. Pour la fonction inverse $f(x)=\frac{1}{x}$ , que vaut la limite lorsque $x$ tend vers $0$ par la gauche ?

Elle n’existe pas car la fonction est bornée près de

0

0

+\infty

-\infty

Explication

Lorsque $x$ tend vers $0$ avec $x<0$ , son inverse devient négatif et sa valeur absolue grandit sans borne. À droite de $0$ , la limite est au contraire $+\infty$ .

Answer

$$-\infty$$

Question 7

7. Quel est le rôle de la règle des signes dans le calcul de la limite d’un produit lorsque l’une des limites est infinie ?

Vérifier si la somme des limites est déterminée

Déterminer le signe de la limite infinie du produit

Déterminer la valeur de la limite du dénominateur

Transformer une forme indéterminée en limite finie

Explication

La règle des signes permet de préciser si le produit tend vers $+\infty$ ou vers $-\infty$ lorsque l’opération est déterminée. Elle ne résout pas une forme indéterminée comme $0\times\infty$ .

Answer

Déterminer le signe de la limite infinie du produit

Question 8

8. Comment distingue-t-on les asymptotes associées à une limite finie à l’infini de celles associées à une limite infinie en un réel ?

Une limite finie à l’infini donne une asymptote verticale, tandis qu’une limite infinie en un réel donne une asymptote horizontale.

Ces deux types de limites donnent des asymptotes verticales, situées respectivement à l’infini et au réel considéré.

Une limite finie à l’infini donne une asymptote horizontale, tandis qu’une limite infinie en un réel donne une asymptote verticale.

Ces deux types de limites donnent des asymptotes horizontales, situées respectivement à l’infini et près du réel considéré.

Explication

Une limite finie lorsque la variable tend vers l’infini correspond à une droite horizontale, tandis qu’une limite infinie au voisinage d’un réel correspond à une droite verticale. Une limite finie en un réel, contrairement à la limite infinie en un réel, ne caractérise pas une asymptote verticale.

Answer

Une limite finie à l’infini donne une asymptote horizontale, tandis qu’une limite infinie en un réel donne une asymptote verticale.

Question 9

9. Pourquoi le fait que $f(x)$ tende vers $+\infty$ lorsque $x$ tend vers $+\infty$ ne permet-il pas de conclure que $f$ est croissante ?

Parce que la fonction doit alors admettre une asymptote horizontale.

Parce qu’une limite infinie impose que la fonction soit décroissante.

Parce que ses valeurs peuvent devenir arbitrairement grandes tout en oscillant.

Parce que cette limite décrit le comportement de

f

près de zéro.

Explication

Tendre vers $+\infty$ signifie que les valeurs de la fonction deviennent aussi grandes que l’on veut, mais cela ne détermine pas leur variation entre deux points. Une fonction peut donc osciller tout en ayant cette limite, contrairement à l’idée qu’une limite infinie imposerait la décroissance.

Answer

Parce que ses valeurs peuvent devenir arbitrairement grandes tout en oscillant.

Question 10

10. Pour prévoir le comportement d’une fonction de référence lorsque son argument devient très grand en valeur absolue, quelle conclusion peut-on tirer de la fonction carré ?

Ses valeurs tendent vers

+\infty

à droite et vers

-\infty

à gauche.

Ses valeurs tendent vers

-\infty

à droite et vers

+\infty

à gauche.

Ses valeurs tendent vers

+\infty

aux deux extrémités de la droite réelle.

Ses valeurs tendent vers

0

aux deux extrémités de la droite réelle.

Explication

Le carré d’un nombre de grande valeur absolue devient arbitrairement grand, que l’argument tende vers $+\infty$ ou vers $-\infty$ . Contrairement à une fonction impaire comme la fonction identité, la fonction carré reste positive lorsque l’argument devient très négatif.

Answer

Ses valeurs tendent vers $$+\infty$$ aux deux extrémités de la droite réelle.

QCM : Limites des fonctions (10 questions)

Questions et réponses du QCM

1. Que signifie que la fonction $f$ admet pour limite $+\infty$ lorsque $x$ tend vers $+\infty$ ?

2. Si $\lim_{x\to+\infty} f(x)=L$ , quelle droite est une asymptote horizontale à la courbe de $f$ en $+\infty$ ?

3. Quelle est la limite de $x^2$ lorsque $x$ tend vers $-\infty$ ?

4. Lorsque $x$ tend vers $-\infty$ , vers quelle valeur tend $\frac{1}{x}$ ?

5. Quelle est la définition d’une asymptote verticale à la courbe d’une fonction au voisinage de $x=A$ ?

6. Pour la fonction inverse $f(x)=\frac{1}{x}$ , que vaut la limite lorsque $x$ tend vers $0$ par la gauche ?

7. Quel est le rôle de la règle des signes dans le calcul de la limite d’un produit lorsque l’une des limites est infinie ?

8. Comment distingue-t-on les asymptotes associées à une limite finie à l’infini de celles associées à une limite infinie en un réel ?

9. Pourquoi le fait que $f(x)$ tende vers $+\infty$ lorsque $x$ tend vers $+\infty$ ne permet-il pas de conclure que $f$ est croissante ?

10. Pour prévoir le comportement d’une fonction de référence lorsque son argument devient très grand en valeur absolue, quelle conclusion peut-on tirer de la fonction carré ?

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QCM : Limites des fonctions (10 questions)

Questions et réponses du QCM

1. Que signifie que la fonction fff admet pour limite +∞+\infty+∞ lorsque xxx tend vers +∞+\infty+∞ ?

2. Si lim⁡x→+∞f(x)=L\lim_{x\to+\infty} f(x)=Llimx→+∞​f(x)=L, quelle droite est une asymptote horizontale à la courbe de fff en +∞+\infty+∞ ?

3. Quelle est la limite de x2x^2x2 lorsque xxx tend vers −∞-\infty−∞ ?

4. Lorsque xxx tend vers −∞-\infty−∞, vers quelle valeur tend 1x\frac{1}{x}x1​ ?

5. Quelle est la définition d’une asymptote verticale à la courbe d’une fonction au voisinage de x=Ax=Ax=A ?

6. Pour la fonction inverse f(x)=1xf(x)=\frac{1}{x}f(x)=x1​, que vaut la limite lorsque xxx tend vers 000 par la gauche ?

7. Quel est le rôle de la règle des signes dans le calcul de la limite d’un produit lorsque l’une des limites est infinie ?

8. Comment distingue-t-on les asymptotes associées à une limite finie à l’infini de celles associées à une limite infinie en un réel ?

9. Pourquoi le fait que f(x)f(x)f(x) tende vers +∞+\infty+∞ lorsque xxx tend vers +∞+\infty+∞ ne permet-il pas de conclure que fff est croissante ?

10. Pour prévoir le comportement d’une fonction de référence lorsque son argument devient très grand en valeur absolue, quelle conclusion peut-on tirer de la fonction carré ?

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1. Que signifie que la fonction $f$ admet pour limite $+\infty$ lorsque $x$ tend vers $+\infty$ ?

2. Si $\lim_{x\to+\infty} f(x)=L$ , quelle droite est une asymptote horizontale à la courbe de $f$ en $+\infty$ ?

3. Quelle est la limite de $x^2$ lorsque $x$ tend vers $-\infty$ ?

4. Lorsque $x$ tend vers $-\infty$ , vers quelle valeur tend $\frac{1}{x}$ ?

5. Quelle est la définition d’une asymptote verticale à la courbe d’une fonction au voisinage de $x=A$ ?

6. Pour la fonction inverse $f(x)=\frac{1}{x}$ , que vaut la limite lorsque $x$ tend vers $0$ par la gauche ?

9. Pourquoi le fait que $f(x)$ tende vers $+\infty$ lorsque $x$ tend vers $+\infty$ ne permet-il pas de conclure que $f$ est croissante ?