Fiche de révision : Ensembles de nombres

📋 Plan du Cours

1. Entiers naturels et propriétés
2. Entiers relatifs et décimaux
3. Nombres rationnels
4. Irrationnels et nombres réels

📖 1. Entiers naturels et propriétés

🔑 Notions clés & Définitions

• Entiers naturels : sont les nombres positifs qui permettent de compter ou de dénombrer une collection d’objets.
• Divisibilité : Pour deux entiers naturels a et b, b divise a lorsqu’il existe un entier naturel k tel que a = b × k ; b est alors un diviseur de a et a est un multiple de b.
• Nombre premier : Un nombre premier est un entier naturel dont les seuls diviseurs sont exactement 1 et lui-même.

★ À maîtriser

📌 Un entier naturel pair s’écrit n = 2k, tandis qu’un entier naturel impair s’écrit n = 2k + 1, avec k entier naturel.

Compléments

📌 Les entiers naturels non nuls, notés N* ou N \ {0}, sont les entiers naturels auxquels on a retiré 0.

💡 Astuce mémo

Naturels : compter ; naturels non nuls : compter sans 0.

📖 2. Entiers relatifs et décimaux

🔑 Notions clés & Définitions

• Entiers relatifs : sont composés des entiers naturels et de leurs opposés, et l’ensemble correspondant est noté Z.
• Nombres décimaux : Un nombre décimal est un nombre dont l’écriture décimale contient un nombre fini de chiffres après la virgule, et l’ensemble de ces nombres est noté D.

★ À maîtriser

📌 L’ensemble des entiers naturels est inclus dans l’ensemble des entiers relatifs, ce qui se note N ⊂ Z.

Compléments

• Les nombres 1,5 et 3 appartiennent à D, tandis que 1/3 n’y appartient pas et que 3/4 y appartient.

💡 Astuce mémo

Des naturels aux relatifs, puis aux décimaux : N ⊂ Z ⊂ D.

📖 3. Nombres rationnels

🔑 Notions clés & Définitions

• Nombre rationnel : est un quotient a/b, où a est un entier et b est un entier non nul ; l’ensemble des nombres rationnels est noté Q.

📝 Points essentiels

📌 Tout nombre décimal est rationnel, mais tout nombre rationnel n’est pas nécessairement décimal, comme le montre l’exemple 1/3.

💡 Astuce mémo

Un rationnel se représente comme une fraction a/b avec b non nul.

📖 4. Irrationnels et nombres réels

🔑 Notions clés & Définitions

• Nombre irrationnel : est un nombre réel qui n’est pas rationnel.
• Nombres réels : rassemble tous les nombres utilisés en classe de seconde et de première.

📝 Points essentiels

📌 Les ensembles de nombres sont emboîtés selon la chaîne N ⊂ Z ⊂ D ⊂ Q ⊂ R.

• √2, √3 et π sont des nombres irrationnels qui ne peuvent pas s’écrire sous la forme a/b avec a et b entiers relatifs et b non nul.

💡 Astuce mémo

Rationnel : fraction d'entiers ; irrationnel : impossible à écrire sous cette forme.

📊 Tableaux de synthèse

Inclusion des ensembles de nombres