Fiche de révision : Ensembles de nombres et inégalités

📋 Plan du Cours

1. Ensembles de nombres
2. Intervalles réels
3. Résolution des inéquations
4. Opérations sur les inégalités

📖 1. Ensembles de nombres

🔑 Notions clés & Définitions

• Entiers naturels : Les entiers plus grands ou égaux à 0 et se notent N.
• Entiers relatifs : L’ensemble des nombres entiers et se notent Z.
• Nombres décimaux : Les nombres qui peuvent s’écrire sous la forme $\frac{a}{10^n}$, où a et n sont des nombres, et se notent D.
• Nombres rationnels : Les nombres qui peuvent s’écrire sous forme de fractions et se notent Q.
• Nombres réels : La réunion des nombres rationnels et des nombres irrationnels et se notent R.

★ À maîtriser

• Les ensembles de nombres sont emboîtés selon la relation N ⊂ Z ⊂ D ⊂ Q ⊂ R.

Compléments

• Dans les exemples donnés, 0,25 appartient à D, 0,75 n’appartient pas à Q, 1/5 n’appartient pas à D et 1/3 appartient à Q.

💡 Astuce mémo

Emboîtement : N ⊂ Z ⊂ D ⊂ Q ⊂ R

📖 2. Intervalles réels

🔑 Notions clés & Définitions

• Intervalle : Un ensemble continu de nombres réels représenté avec des crochets ouverts ou fermés.
• Union d’intervalles : Une union d’intervalles décrit l’ensemble des valeurs satisfaisant une ou plusieurs conditions d’inégalité.

💡 Astuce mémo

Visualiser une droite graduée avec des bornes ouvertes ou fermées

📖 3. Résolution des inéquations

🔑 Notions clés & Définitions

• Inéquation : Une inégalité contenant une ou plusieurs variables, chacune pouvant avoir une ou plusieurs solutions.

★ À maîtriser

• Pour résoudre une inéquation, on transforme l’inégalité pour isoler la variable, puis on traduit l’ensemble des solutions par un intervalle.

Compléments

• La résolution de x + 3 > 5 donne x > 2, donc x appartient à l’intervalle ]2 ; +∞[.

💡 Astuce mémo

Isoler x, puis traduire la solution par un intervalle

📖 4. Opérations sur les inégalités

★ À maîtriser

📌 Si a < b et k > 0, alors l’addition, la soustraction, la multiplication ou la division par k conserve le sens de l’inégalité.

📐 Formule — Pour a < b et k > 0, la multiplication ou la division par −k inverse l’inégalité : $a\times(-k)>b\times(-k)$ et $a\div(-k)>b\div(-k)$.

📌 Si a < b et c < d, alors a + c < b + d ; la combinaison d’inégalités fonctionne uniquement avec l’addition.

Compléments

📐 Formule — Pour a < b et k > 0, on a $a+k<b+k$, $a-k<b-k$, $a\times k<b\times k$ et $a\div k<b\div k$.

📌 Les propriétés des opérations sur les inégalités restent valables lorsque le signe < est remplacé par ≤.

• Avec a = 3, b = 5, c = 4 et d = 6, l’addition des inégalités donne 3 + 4 < 5 + 6, soit 7 < 11.

💡 Astuce mémo

Multiplier ou diviser par un positif conserve le sens, par un négatif l’inverse

📊 Tableaux de synthèse

Hiérarchie des ensembles