Fiche de révision : Calcul littéral et équations

📋 Plan du Cours

1. Réduire une expression littérale
2. Développer par distributivité
3. Factoriser par facteur commun
4. Résoudre les équations usuelles
5. Utiliser les identités remarquables

📖 1. Réduire une expression littérale

🔑 Notions clés & Définitions

• Réduction d’une expression littérale : consiste à l’écrire sous une forme plus simple en regroupant les termes de même nature, c’est-à-dire ayant la même partie littérale.

📝 Points essentiels

• La réduction de 5x + 1 + x + 3 donne 6x + 4.

• Le produit 2y × 5y × 7y se réduit à 70y³.

💡 Astuce mémo

Même partie littérale : addition possible ; parties différentes : multiplication seulement

📖 2. Développer par distributivité

🔑 Notions clés & Définitions

• Développement d’une expression littérale : consiste à transformer un produit en une somme ou une différence.

★ À maîtriser

📐 Formule — La distributivité simple vérifie $k(a+b)=k\times a+k\times b$ et $k(a-b)=k\times a-k\times b$.

📐 Formule — La double distributivité vérifie $(a+b)(c+d)=a\times c+a\times d+b\times c+b\times d$.

Compléments

📌 Un signe moins placé devant une parenthèse change le signe de chaque terme qu’elle contient, tandis qu’un signe plus ne les change pas.

💡 Astuce mémo

Simple : 1 parenthèse ; double : 2 parenthèses et 4 produits

📖 3. Factoriser par facteur commun

🔑 Notions clés & Définitions

• Factorisation d’une expression littérale : consiste à transformer une somme ou une différence en un produit.

★ À maîtriser

• Pour factoriser avec un facteur commun visible, on repère le facteur commun à tous les termes puis on l’extrait.

Compléments

• L’expression 4x - 4y + 8 se factorise en 4(x - y + 2).

• Dans 3(2 + 3x) - (5 + 2x)(2 + 3x), le facteur commun caché est 2 + 3x.

💡 Astuce mémo

Repérer le facteur commun puis le sortir devant la parenthèse

📖 4. Résoudre les équations usuelles

★ À maîtriser

• Une égalité reste vraie si l’on ajoute ou soustrait le même nombre aux deux membres, ou si l’on multiplie ou divise les deux membres par un même nombre non nul.

• Un produit de facteurs est nul si et seulement si au moins l’un de ses facteurs est nul.

• Pour l’équation $x^2=k$, si k>0 il existe deux solutions $x=\sqrt{k}$ et $x=-\sqrt{k}$, si k=0 il existe une solution x=0, et si k<0 il n’existe aucune solution réelle.

• Un quotient est nul si et seulement si son numérateur est nul et son dénominateur est non nul.

Compléments

• Pour résoudre (3x+5)/(7x-8)=0, la valeur interdite est 8/7 et l’unique solution est x=-5/3.

💡 Astuce mémo

Produit nul → au moins un facteur nul ; quotient nul → numérateur nul et dénominateur non nul

📖 5. Utiliser les identités remarquables

★ À maîtriser

📐 Formule — Pour tous nombres réels a et b, les identités remarquables sont $(a+b)^2=a^2+2ab+b^2$, $(a-b)^2=a^2-2ab+b^2$ et $(a+b)(a-b)=a^2-b^2$.

• Pour factoriser avec une identité remarquable, on repère les termes a², 2ab ou -2ab et b², ou bien une différence de deux carrés a²-b².

Compléments

• L’expression 9x² - 4 se factorise en (3x - 2)(3x + 2) grâce à la différence de deux carrés.

💡 Astuce mémo

C-D-D : carré d’une somme, carré d’une différence, différence de deux carrés

📊 Tableaux de synthèse

Types d’équations