QCM : Ensembles de nombres et inégalités — 11 questions

Question 1

1. Quel ensemble regroupe les entiers supérieurs ou égaux à zéro ?

L’ensemble des entiers naturels

\mathbb{N}

L’ensemble des nombres rationnels

\mathbb{Q}

L’ensemble des nombres réels

\mathbb{R}

L’ensemble des entiers relatifs

\mathbb{Z}

Explication

Les entiers naturels comprennent les entiers supérieurs ou égaux à zéro. Les entiers relatifs forment un ensemble plus vaste qui contient aussi les entiers négatifs.

Answer

L’ensemble des entiers naturels $$\mathbb{N}$$

Question 2

2. Quel nombre appartient à $\mathbb{Z}$ mais n’appartient pas à $\mathbb{N}$ ?

\frac{3}{2}

7

0

-4

Explication

$-4$ est un entier relatif négatif, donc il appartient à $\mathbb{Z}$ , mais il n’est pas naturel. Les nombres $0$ et $7$ appartiennent à $\mathbb{N}$ , tandis que $\frac{3}{2}$ n’est pas un entier.

Answer

Un nombre qui s’écrit $$\frac{a}{10^n}$$ avec $$a$$ et $$n$$ entiers

Answer

$$\mathbb{N}\subset\mathbb{Z}\subset\mathbb{D}\subset\mathbb{Q}\subset\mathbb{R}$$

Answer

Un ensemble continu de réels délimité par des bornes ouvertes ou fermées

Answer

Les valeurs qui satisfont au moins l’une des conditions considérées

Answer

Isoler la variable puis traduire les solutions par un intervalle

Answer

$$x\in]2;+\infty[$$

Answer

Multiplier les deux membres par $$k$$

Answer

$$a\times(-k)>b\times(-k)$$

Answer

$$a+b<c+d$$

Question 3

3. Laquelle de ces expressions correspond à la définition d’un nombre décimal ?

Un nombre qui possède une écriture décimale infinie périodique

Un nombre qui s’écrit comme une fraction de deux nombres réels

Un nombre qui s’écrit

\frac{a}{10^n}

avec

a

et

n

entiers

Un nombre qui appartient à la réunion des rationnels et des irrationnels

Explication

Un nombre décimal peut s’écrire sous la forme $\frac{a}{10^n}$ avec $a$ et $n$ des entiers. Une fraction de deux réels ne définit pas nécessairement un nombre décimal.

Question 4

4. Quelle relation d’inclusion décrit correctement les ensembles de nombres usuels ?

\mathbb{N}\subset\mathbb{D}\subset\mathbb{Z}\subset\mathbb{R}\subset\mathbb{Q}

\mathbb{N}\subset\mathbb{Z}\subset\mathbb{D}\subset\mathbb{Q}\subset\mathbb{R}

\mathbb{R}\subset\mathbb{Q}\subset\mathbb{D}\subset\mathbb{Z}\subset\mathbb{N}

\mathbb{Z}\subset\mathbb{N}\subset\mathbb{Q}\subset\mathbb{D}\subset\mathbb{R}

Explication

Les ensembles sont emboîtés dans l’ordre $\mathbb{N}\subset\mathbb{Z}\subset\mathbb{D}\subset\mathbb{Q}\subset\mathbb{R}$ . Chaque ensemble est ainsi contenu dans le suivant.

Question 5

5. Comment définit-on un intervalle de nombres réels ?

Un ensemble défini par une fraction possédant un numérateur et un dénominateur

Un ensemble de réels contenant uniquement des nombres entiers

Une collection de nombres séparés par des valeurs qui ne lui appartiennent pas

Un ensemble continu de réels délimité par des bornes ouvertes ou fermées

Explication

Un intervalle est un ensemble continu de nombres réels représenté par des crochets ouverts ou fermés. Il peut donc contenir des nombres non entiers entre ses bornes.

Question 6

6. Que décrit l’union de deux intervalles réels ?

Les valeurs communes aux deux intervalles considérés

Les valeurs qui vérifient simultanément deux égalités données

Les valeurs situées entre les bornes sans tenir compte des crochets

Les valeurs qui satisfont au moins l’une des conditions considérées

Explication

Une union d’intervalles rassemble les valeurs qui satisfont une ou plusieurs conditions d’inégalité. Les valeurs communes aux deux intervalles correspondent plutôt à leur intersection.

Question 7

7. Quelle démarche permet de résoudre correctement une inéquation ?

Isoler la variable puis traduire les solutions par un intervalle

Remplacer la variable par zéro puis conserver l’inégalité initiale

Transformer l’inégalité en égalité puis retenir une seule valeur

Développer les nombres sans isoler la variable et choisir une borne

Explication

La résolution consiste à transformer l’inégalité pour isoler la variable, puis à représenter l’ensemble obtenu par un intervalle. Remplacer l’inégalité par une égalité ferait perdre l’ensemble des solutions.

Question 8

8. Quelle est la solution de l’inéquation $x+3>5$ ?

x\in[-2;+\infty[

x\in]5;+\infty[

x\in]2;+\infty[

x\in]-\infty;2]

Explication

En soustrayant $3$ aux deux membres, on obtient $x>2$ , ce qui correspond à l’intervalle $]2;+\infty[$ . La borne $2$ n’est pas incluse puisque l’inégalité est stricte.

Question 9

9. Si $a<b$ et $k>0$ , quelle opération conserve le sens de l’inégalité ?

Multiplier les deux membres par

k

Remplacer les deux membres par leurs opposés sans calcul

Diviser les deux membres par

-k

Multiplier les deux membres par

-k

Explication

Multiplier par un nombre positif conserve le sens de l’inégalité. En revanche, une multiplication ou une division par un nombre négatif inverse ce sens.

Question 10

10. Sachant que $a<b$ et que $k>0$ , quelle inégalité résulte de la multiplication des deux membres par $-k$ ?

a\times(-k)>b\times(-k)

a\times(-k)<b\times(-k)

a\times k>b\times k

a\div(-k)<b\div(-k)

Explication

La multiplication par $-k$ , qui est négatif, inverse le sens de l’inégalité et donne donc $a\times(-k)>b\times(-k)$ . La multiplication par $k>0$ aurait conservé le sens initial.

Question 11

11. Si $a<c$ et $b<d$ , quelle conclusion peut-on tirer en combinant ces deux inégalités ?

a\div b<c\div d

a\times b<c\times d

a-b<c-d

a+b<c+d

Explication

L’addition membre à membre permet de conclure que $a+b<c+d$ . Les opérations de soustraction, de multiplication et de division ne permettent pas cette combinaison générale sans informations supplémentaires.

QCM : Ensembles de nombres et inégalités — 11 questions

Questions et réponses du QCM

1. Quel ensemble regroupe les entiers supérieurs ou égaux à zéro ?

2. Quel nombre appartient à $\mathbb{Z}$ mais n’appartient pas à $\mathbb{N}$ ?

3. Laquelle de ces expressions correspond à la définition d’un nombre décimal ?

4. Quelle relation d’inclusion décrit correctement les ensembles de nombres usuels ?

5. Comment définit-on un intervalle de nombres réels ?

6. Que décrit l’union de deux intervalles réels ?

7. Quelle démarche permet de résoudre correctement une inéquation ?

8. Quelle est la solution de l’inéquation $x+3>5$ ?

9. Si $a<b$ et $k>0$ , quelle opération conserve le sens de l’inégalité ?

10. Sachant que $a<b$ et que $k>0$ , quelle inégalité résulte de la multiplication des deux membres par $-k$ ?

11. Si $a<c$ et $b<d$ , quelle conclusion peut-on tirer en combinant ces deux inégalités ?

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Questions et réponses du QCM

1. Quel ensemble regroupe les entiers supérieurs ou égaux à zéro ?

2. Quel nombre appartient à Z\mathbb{Z}Z mais n’appartient pas à N\mathbb{N}N ?

3. Laquelle de ces expressions correspond à la définition d’un nombre décimal ?

4. Quelle relation d’inclusion décrit correctement les ensembles de nombres usuels ?

5. Comment définit-on un intervalle de nombres réels ?

6. Que décrit l’union de deux intervalles réels ?

7. Quelle démarche permet de résoudre correctement une inéquation ?

8. Quelle est la solution de l’inéquation x+3>5x+3>5x+3>5 ?

9. Si a<ba<ba<b et k>0k>0k>0, quelle opération conserve le sens de l’inégalité ?

10. Sachant que a<ba<ba<b et que k>0k>0k>0, quelle inégalité résulte de la multiplication des deux membres par −k-k−k ?

11. Si a<ca<ca<c et b<db<db<d, quelle conclusion peut-on tirer en combinant ces deux inégalités ?

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2. Quel nombre appartient à $\mathbb{Z}$ mais n’appartient pas à $\mathbb{N}$ ?

8. Quelle est la solution de l’inéquation $x+3>5$ ?

9. Si $a<b$ et $k>0$ , quelle opération conserve le sens de l’inégalité ?

10. Sachant que $a<b$ et que $k>0$ , quelle inégalité résulte de la multiplication des deux membres par $-k$ ?

11. Si $a<c$ et $b<d$ , quelle conclusion peut-on tirer en combinant ces deux inégalités ?