Fiche de révision : Ensembles et nombres

📋 Plan du Cours

1. Entiers naturels et relatifs
2. Multiples diviseurs et divisibilité
3. Parité et opérations sur les entiers
4. Nombres premiers et factorisation
5. Décimaux rationnels et réels
6. Écritures fractionnaires
7. Écritures fractionnaires et conditions d’existence
8. Opérations sur les fractions
9. Simplification des produits fractionnaires
10. Répartition proportionnelle d’un budget

📖 1. Entiers naturels et relatifs

🔑 Notions clés & Définitions

• Entiers naturels : Les entiers naturels sont les nombres 0, 1, 2, 3, … et leur ensemble est noté ℕ.
• Entiers relatifs : Entiers naturels et leurs opposés ; leur ensemble, aussi appelé ensemble des entiers, est noté ℤ.

📝 Points essentiels

📌 Tout entier naturel est un entier relatif, ce qui s’écrit ℕ ⊂ ℤ.

💡 Astuce mémo

ℕ reste du côté positif ; ℤ ajoute les opposés négatifs.

📖 2. Multiples diviseurs et divisibilité

🔑 Notions clés & Définitions

• Multiple et diviseur : Pour deux entiers a et b, a est un multiple de b s’il existe un entier k tel que a = kb ; alors b est un diviseur de a et a est divisible par b.

★ À maîtriser

📌 La somme de deux multiples d’un entier a est encore un multiple de a.

• Un entier est divisible par 2 si son chiffre des unités est 0, 2, 4, 6 ou 8.

• Un entier est divisible par 3 si la somme de ses chiffres est divisible par 3.

Compléments

• Un entier possède un nombre fini de diviseurs, mais un nombre infini de multiples.

• Un entier est divisible par 4 si le nombre formé par ses deux derniers chiffres est divisible par 4.

• 660 est divisible par 2, 3, 4, 5 et 6, mais pas par 9.

📖 3. Parité et opérations sur les entiers

🔑 Notions clés & Définitions

• Entier pair : Multiple de 2 et pouvant s’écrire sous la forme 2k avec k entier.
• Entier impair : Entier non divisible par 2 et pouvant s’écrire sous la forme 2k + 1 avec k entier.

★ À maîtriser

• La somme ou la différence de deux entiers pairs est paire, et la somme ou la différence de deux entiers impairs est paire.

• La somme ou la différence d’un entier pair et d’un entier impair est impaire.

• Le produit d’un entier pair par tout entier est pair, tandis que le produit de deux entiers impairs est impair.

Compléments

• Un entier et son carré ont la même parité : n est pair si et seulement si n² est pair, et n est impair si et seulement si n² est impair.

• Le produit de deux entiers consécutifs est toujours pair.

• Le produit de deux entiers pairs est un multiple de 4.

📖 4. Nombres premiers et factorisation

🔑 Notions clés & Définitions

• Nombre premier : Entier naturel qui possède exactement deux diviseurs distincts dans ℕ : 1 et lui-même.
• Nombre composé : Entier naturel strictement supérieur à 1 qui n’est pas premier.

★ À maîtriser

📌 Tout entier naturel au moins égal à 2 est premier ou s’écrit comme un produit de nombres premiers, et cette décomposition est unique.

Compléments

• 0 n’est pas premier, car tout entier divise 0, et 1 n’est pas premier, car il n’a qu’un diviseur naturel.

• 2 est le seul nombre pair premier.

• La décomposition en facteurs premiers de 360 est 360 = 2³ × 3² × 5.

📖 5. Décimaux rationnels et réels

🔑 Notions clés & Définitions

• Nombre décimal : Nombre de la forme a/10ᵖ, où a est un entier et p un entier naturel, qui possède une écriture décimale avec un nombre fini de chiffres après la virgule.
• Nombre rationnel : Quotient d’un entier relatif par un entier non nul ; l’ensemble de ces nombres est noté ℚ.
• Nombre réel : Abscisse d’un point d’une droite graduée appelée droite numérique ; l’ensemble des réels est noté ℝ.

★ À maîtriser

📌 Tout entier est décimal et tout décimal est rationnel, ce qui s’écrit ℤ ⊂ 𝔻 ⊂ ℚ.

📌 Les ensembles de nombres sont emboîtés selon ℕ ⊂ ℤ ⊂ 𝔻 ⊂ ℚ ⊂ ℝ.

Compléments

• Une fraction irréductible a/b a pour numérateur et dénominateur deux entiers premiers entre eux, dont le seul diviseur commun est 1.

• La fraction 60/126 se réduit à la fraction irréductible 10/21.

• Le rationnel 1/3 n’est pas un nombre décimal.

• √2 et π sont des nombres réels irrationnels qui ne peuvent pas s’écrire comme le quotient de deux entiers avec un dénominateur non nul.

📖 6. Écritures fractionnaires

🔑 Notions clés & Définitions

• Écriture fractionnaire : Quotient de deux réels ou de deux expressions algébriques, avec b non nul.

📖 7. Écritures fractionnaires et conditions d’existence

🔑 Notions clés & Définitions

• Inverse d’une écriture fractionnaire : Lorsque a est non nul, l’inverse de l’écriture fractionnaire $\frac{a}{b}$ est $\frac{b}{a}$.

★ À maîtriser

📌 Une fraction a un numérateur et un dénominateur entiers, tandis qu’une écriture fractionnaire peut avoir des réels ou des expressions algébriques au numérateur et au dénominateur.

Compléments

• Les écritures $\frac{x}{x-1}$ et $\frac{1}{a+b}$ existent respectivement si $x\ne1$ et si $a+b\ne0$.

📖 8. Opérations sur les fractions

★ À maîtriser

• 🔄 Pour additionner ou soustraire des écritures fractionnaires :
  1. Réduire au même dénominateur si nécessaire
  2. Additionner ou soustraire les numérateurs en gardant le dénominateur
  3. Simplifier si possible

📐 Formule - Pour multiplier deux écritures fractionnaires, on multiplie les numérateurs entre eux et les dénominateurs entre eux : $\frac{a}{b}\times\frac{c}{d}=\frac{ac}{bd}$.

📐 Formule - Pour diviser par une écriture fractionnaire non nulle, on multiplie par son inverse : $\frac{a}{b}\div\frac{c}{d}=\frac{a}{b}\times\frac{d}{c}=\frac{ad}{bc}$.

Compléments

📐 Formule - Pour deux fractions de même dénominateur, $\frac{a}{d}+\frac{c}{d}=\frac{a+c}{d}$ et $\frac{a}{d}-\frac{c}{d}=\frac{a-c}{d}$.

💡 Astuce mémo

Pour une somme, même dénominateur puis numérateurs ; pour une division, inverse puis multiplication.

📖 9. Simplification des produits fractionnaires

📝 Points essentiels

📌 Avant un produit ou un quotient de fractions, on peut simplifier en recherchant les diviseurs communs aux numérateurs et aux dénominateurs.

📐 Formule - Pour $b\ne0$ et $c\ne0$, multiplier ou diviser le numérateur et le dénominateur de $\frac{a}{b}$ par $c$ conserve sa valeur : $\frac{a}{b}=\frac{a\times c}{b\times c}=\frac{a\div c}{b\div c}$.

• Le produit $\frac{15}{4}\times\frac{8}{25}$ se simplifie en $\frac{6}{5}$ en supprimant les facteurs communs avant d’effectuer les produits.

📖 10. Répartition proportionnelle d’un budget

★ À maîtriser

• 🔄 La répartition du budget suit cet ordre :
  1. Le rugby reçoit les trois septièmes du budget
  2. Le tennis reçoit les deux tiers du reste
  3. Le judo reçoit la part restante

📐 Formule - La part du budget reçue par le tennis est $\frac{4}{7}\times\frac{2}{3}=\frac{8}{21}$ du budget total.

Compléments

📐 Formule - La part du budget reçue par le judo est $1-\left(\frac{3}{7}+\frac{8}{21}\right)=\frac{4}{21}$ du budget total.

• Pour un budget de 4200 € en 2026, le rugby reçoit 1800 €, le tennis 1600 € et le judo 800 €.