QCM : Équations complexes du second degré — 8 questions

Questions et réponses du QCM

1. Quelle condition caractérise une racine carrée complexe de aa ?

C’est un nombre complexe zz tel que ∣z∣=∣a∣|z|=|a|.
C’est un nombre complexe zz tel que z+a=0z+a=0.
C’est un nombre complexe zz tel que z2=az^2=a.
C’est un nombre complexe zz tel que 2z=a2z=a.

C’est un nombre complexe $$z$$ tel que $$z^2=a$$.

Explication

Une racine carrée complexe de aa est définie par l’équation z2=az^2=a. La condition ∣z∣=∣a∣|z|=|a| concerne les modules et ne suffit pas à caractériser une racine carrée.

2. Qu'est-ce qu'une racine carrée complexe d'un nombre complexe a ?

C'est un nombre complexe tel que z = a².
C'est un nombre réel dont le carré donne a.
C'est une solution réelle de l'équation z² = a.
C'est un nombre complexe z tel que z² = a.

C'est un nombre complexe z tel que z² = a.

Explication

Une racine carrée complexe d'un nombre a est un nombre complexe z vérifiant z² = a. La réponse incorrecte suggère une solution réelle ou une définition erronée de la racine carrée.

3. Quelles sont les racines carrées complexes de 3+4i3+4i ?

2+i2+i et −2−i-2-i
2−i2-i et −2+i-2+i
3+4i3+4i et −3−4i-3-4i
4+3i4+3i et −4−3i-4-3i

$$2+i$$ et $$-2-i$$

Explication

On vérifie que (2+i)2=3+4i(2+i)^2=3+4i, et la seconde racine est son opposée, −2−i-2-i. Les nombres 2−i2-i et −2+i-2+i donnent une partie imaginaire négative pour le carré de la première racine.

4. Quelle est la formule permettant de déterminer la racine carrée complexe d'un nombre complexe a = ppa + ieta ?

Pour a = ppa + ieta et z = x + iy, l'équation z² = a équivaut à x^2 - y^2 = ppa et 2xy = eta.
La racine carrée complexe de a est donnée par z = rac{ppa + ieta}{2}.
La racine carrée complexe de a est simplement la moitié de a.
Pour a = ppa + ieta, la racine carrée complexe est toujours un nombre réel.

Pour a = ppa + ieta et z = x + iy, l'équation z² = a équivaut à x^2 - y^2 = ppa et 2xy = eta.

Explication

La formule indique que pour z = x + iy, l'équation z² = a se traduit par deux équations reliant x et y à ppa et eta. La première réponse est correcte car elle correspond à cette formule, tandis que les autres propositions sont incorrectes ou simplistes.

5. Dans le système associé à z2=α+iβz^2=\alpha+i\beta, que peut-on déduire du signe de β\beta concernant xx et yy ?

Le signe de β\beta détermine le signe de xx, mais pas celui de yy.
Si β≥0\beta\geq 0, xx et yy ont des signes opposés ; si β<0\beta<0, ils ont le même signe.
Le signe de β\beta impose que xx et yy soient tous deux positifs.
Si β≥0\beta\geq 0, xx et yy ont le même signe ; si β<0\beta<0, ils ont des signes opposés.

Si $$\beta\geq 0$$, $$x$$ et $$y$$ ont le même signe ; si $$\beta<0$$, ils ont des signes opposés.

Explication

L’équation imaginaire 2xy=β2xy=\beta relie le signe de β\beta au produit xyxy : un produit positif correspond à des signes identiques et un produit négatif à des signes opposés. Le signe de β\beta ne détermine donc pas le signe individuel de chaque variable.

6. Quelle est la fonction principale de la formule du second degré complexe dans la résolution d'équations ?

Elle sert à transformer une équation quadratique en une équation linéaire.
Elle permet de déterminer les racines d'une équation quadratique à coefficients complexes.
Elle sert à calculer la norme d'un nombre complexe.
Elle facilite la décomposition en facteurs premiers d'un nombre complexe.

Elle permet de déterminer les racines d'une équation quadratique à coefficients complexes.

Explication

La formule du second degré complexe est utilisée pour trouver les solutions d'une équation quadratique à coefficients complexes. Elle ne concerne pas la norme, la décomposition en facteurs premiers ou la transformation en équation linéaire.

7. Quelle démarche permet de résoudre efficacement z2=α+iβz^2=\alpha+i\beta par les parties réelle et imaginaire ?

Poser z=x+iyz=x+iy, comparer les modules, puis ignorer les parties réelle et imaginaire.
Identifier directement x=αx=\alpha et y=βy=\beta, puis vérifier le carré du nombre obtenu.
Poser z=x+iyz=x+iy, identifier les deux parties, puis utiliser la relation des modules et les sommes et différences obtenues.
Développer z2z^2, conserver l’équation réelle et remplacer l’équation imaginaire par x2+y2x^2+y^2.

Poser $$z=x+iy$$, identifier les deux parties, puis utiliser la relation des modules et les sommes et différences obtenues.

Explication

La méthode consiste à écrire z=x+iyz=x+iy, ce qui fournit x2−y2=αx^2-y^2=\alpha et 2xy=β2xy=\beta, puis à compléter ces relations avec celle des modules. Remplacer la comparaison des parties par x2+y2x^2+y^2 confond cette relation avec la relation des modules.

8. Quand la formule de résolution du second degré complexe a-t-elle été établie pour la première fois ?

Au 17ème siècle, avec la formalisation des nombres imaginaires par Cardan.
Au 19ème siècle, lors de l'extension de l'algèbre aux nombres complexes.
Au début du 20ème siècle, lors du développement de l'algèbre moderne.
Au 15ème siècle, avec la renaissance mathématique en Europe.

Au 19ème siècle, lors de l'extension de l'algèbre aux nombres complexes.

Explication

La formule du second degré complexe a été formalisée au 19ème siècle, notamment par Augustin-Louis Cauchy, lors de l'extension de l'algèbre aux nombres complexes. La réponse concernant le 17ème siècle fait référence à la découverte initiale des nombres imaginaires, mais pas à la formule spécifique.

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Qu'est-ce qu'une racine carrée complexe de a ?

Un nombre complexe z tel que z² = a.

Racines carrées complexes

Z² = a, avec z complexe, vérifiant cette équation.

Quelles équations équivalent à z² = a pour a = α + iβ et z = x + iy ?

x2−y2=αx^2 - y^2 = \alpha et 2xy=β2xy = \beta.

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