Équations complexes du second degré

📋 Plan du Cours

1. Racines carrées complexes
2. Méthode par parties réelle et imaginaire
3. Formule du second degré complexe
4. Applications et cas particuliers

📖 1. Racines carrées complexes

🔑 Notions clés & Définitions

• Racine carrée complexe : Nombre complexe vérifiant z² = a.

★ À maîtriser

📐 Formule — Pour a = α + iβ et z = x + iy, l'équation z² = a équivaut à $x^2-y^2=\alpha$ et $2xy=\beta$.

• Les racines carrées complexes de 3 + 4i sont 2 + i et −2 − i.

Compléments

📐 Formule — Si z² = a, alors $|z|^2=|a|$, donc $x^2+y^2=\sqrt{\alpha^2+\beta^2}$.

📖 2. Méthode par parties réelle et imaginaire

📝 Points essentiels

📌 Dans le système associé à z² = α + iβ, si β ≥ 0, x et y sont de même signe, tandis que si β < 0, x et y sont de signes opposés.

• Pour résoudre z² = a, on pose z = x + iy et a = α + iβ, on identifie les parties réelle et imaginaire, puis on utilise la relation des modules et les sommes et différences des équations obtenues.

💡 Astuce mémo

Décomposer, comparer, additionner puis soustraire

📖 3. Formule du second degré complexe

🔑 Notions clés & Définitions

• Discriminant : Pour l'équation az² + bz + c = 0 avec a ≠ 0, le discriminant est Δ = b² − 4ac.