Fiche de révision : Équations complexes du second degré

📋 Plan du Cours

1. Racines carrées complexes
2. Méthode par parties réelle et imaginaire
3. Formule du second degré complexe
4. Applications et cas particuliers

📖 1. Racines carrées complexes

🔑 Notions clés & Définitions

• Racine carrée complexe : Nombre complexe vérifiant z² = a.

★ À maîtriser

📐 Formule — Pour a = α + iβ et z = x + iy, l'équation z² = a équivaut à $x^2-y^2=\alpha$ et $2xy=\beta$.

• Les racines carrées complexes de 3 + 4i sont 2 + i et −2 − i.

Compléments

📐 Formule — Si z² = a, alors $|z|^2=|a|$, donc $x^2+y^2=\sqrt{\alpha^2+\beta^2}$.

📖 2. Méthode par parties réelle et imaginaire

📝 Points essentiels

📌 Dans le système associé à z² = α + iβ, si β ≥ 0, x et y sont de même signe, tandis que si β < 0, x et y sont de signes opposés.

• Pour résoudre z² = a, on pose z = x + iy et a = α + iβ, on identifie les parties réelle et imaginaire, puis on utilise la relation des modules et les sommes et différences des équations obtenues.

💡 Astuce mémo

Décomposer, comparer, additionner puis soustraire

📖 3. Formule du second degré complexe

🔑 Notions clés & Définitions

• Discriminant : Pour l'équation az² + bz + c = 0 avec a ≠ 0, le discriminant est Δ = b² − 4ac.

★ À maîtriser

📐 Formule — Pour a ≠ 0 et δ² = Δ, les deux solutions de az² + bz + c = 0 sont $z'=\frac{-b-\delta}{2a}$ et $z''=\frac{-b+\delta}{2a}$.

📐 Formule — Les solutions vérifient $z'+z''=-\frac{b}{a}$ et $z'z''=\frac{c}{a}$.

Compléments

• La formule des solutions s'obtient en complétant le carré après division de l'équation par a.

📖 4. Applications et cas particuliers

★ À maîtriser

📌 Si a + b + c = 0, les racines sont 1 et c/a.

Compléments

• L'équation z² + z + 1 = 0 a pour solutions $\frac{-1-i\sqrt{3}}{2}$ et $\frac{-1+i\sqrt{3}}{2}$.

• L'équation z² − (1 + i)z + i = 0 a pour solutions 1 et i, car a + b + c = 0.

💡 Astuce mémo

a+b+c=0 donne 1, tandis que a-b+c=0 donne -1