Fiche de révision : Équations de droites et systèmes

📋 Plan du Cours

1. Équations cartésiennes des droites
2. Appartenance et droites particulières
3. Coefficient directeur et direction
4. Résolution des systèmes linéaires
5. Interprétation géométrique des systèmes
6. Déterminant et nombre de solutions

📖 1. Équations cartésiennes des droites

🔑 Notions clés & Définitions

• Équation d’une droite : égalité qui caractérise l’appartenance d’un point à cette droite
• Équation réduite : Lorsque $b\neq0$, l’équation cartésienne peut s’écrire sous la forme réduite $y=mx+p$

★ À maîtriser

📐 Formule — Toute droite du plan admet une équation cartésienne de la forme $ax+by+c=0$, avec $a$ et $b$ non simultanément nuls.

Compléments

📌 Si une équation cartésienne est multipliée par un réel non nul, elle reste une équation de la même droite.

💡 Astuce mémo

Équation cartésienne ax+by+c=0 ; équation réduite y=mx+p ou x=n

📖 2. Appartenance et droites particulières

★ À maîtriser

• Pour tester l’appartenance d’un point à une droite, on remplace ses coordonnées dans l’équation puis on vérifie si l’égalité obtenue est vraie.

📌 Une droite parallèle à l’axe des abscisses a une équation réduite $y=p$ et une droite parallèle à l’axe des ordonnées a une équation réduite $x=n$.

Compléments

• Pour la droite d’équation $3x-2y+4=0$, le point $E(12;20)$ appartient à la droite car $36-40+4=0$, tandis que $F(-6;-8)$ n’y appartient pas car $-18+16+4=2\neq0$.

💡 Astuce mémo

Un point est testé par substitution dans l’équation de la droite

📖 3. Coefficient directeur et direction

🔑 Notions clés & Définitions

• Coefficient directeur : indique sa direction ou son inclinaison
• Ordonnée à l’origine : Dans l’équation $y=mx+p$, $p$ est l’ordonnée du point de la droite d’abscisse nulle et le point d’intersection avec l’axe des ordonnées

★ À maîtriser

📐 Formule — Pour deux points distincts $A(x_A;y_A)$ et $B(x_B;y_B)$ d’une droite non verticale, le coefficient directeur vaut $m=\frac{y_B-y_A}{x_B-x_A}$.

Compléments

📐 Formule — Une droite d’équation cartésienne $ax+by+c=0$ admet pour vecteur directeur le vecteur $\vec u=(-b;a)$.

💡 Astuce mémo

Variation verticale sur variation horizontale → coefficient directeur

📖 4. Résolution des systèmes linéaires

🔑 Notions clés & Définitions

• Système linéaire : formé de deux équations de la forme $ax+by+c=0$ et $a'x+b'y+c'=0$
• Solution d’un système : déterminer tous les couples qui vérifient simultanément ses deux équations

📝 Points essentiels

• 🔄 La substitution se déroule ainsi:

  1. Exprimer une inconnue en fonction de l’autre
  2. Substituer cette expression dans la seconde équation
  3. Résoudre l’équation obtenue
  4. Calculer l’inconnue restante

• La méthode des combinaisons linéaires consiste à multiplier les équations par des nombres choisis, puis à les additionner ou les soustraire pour éliminer une inconnue.

💡 Astuce mémo

Isoler ou combiner → résoudre → remplacer

📖 5. Interprétation géométrique des systèmes

★ À maîtriser

📌 Résoudre un système revient à déterminer les coordonnées des points d’intersection des deux droites associées à ses équations.

📌 Deux droites sécantes donnent une unique solution, deux droites strictement parallèles donnent aucune solution et deux droites confondues donnent une infinité de solutions.

Compléments

• Le système $\{2x-y-7=0;\ x+y+1=0\}$ a pour unique solution le couple $(3;-1)$, car les droites associées sont sécantes.

• Le système $\{2x-y-7=0;\ -6x+3y+21=0\}$ admet une infinité de solutions, correspondant à tous les couples vérifiant $y=2x-7$, car les droites sont confondues.

💡 Astuce mémo

Sécantes : une solution ; parallèles : aucune ; confondues : une infinité

📖 6. Déterminant et nombre de solutions

📝 Points essentiels

📐 Formule — Le déterminant du système est $\det(S)=ab'-a'b$.

📌 Si $\det(S)\neq0$, les droites associées sont sécantes et le système admet une unique solution.

📌 Si $\det(S)=0$, les droites associées sont parallèles au sens large et le système admet soit aucune solution, soit une infinité de solutions.

💡 Astuce mémo

Déterminant nul : aucune ou infinité ; déterminant non nul : unique

📊 Tableaux de synthèse

Positions des droites et solutions