Fiche de révision : Équations de Maxwell et applications

📋 Plan du Cours

1. Équations de Maxwell dans le vide
2. Formes intégrales et courant de déplacement
3. Sources liées et polarisation diélectrique
4. Champ déplacement dans les diélectriques
5. Conditions aux interfaces électromagnétiques
6. Conducteur parfait et conditions de surface
7. Potentiels électromagnétiques et jauges
8. Potentiels retardés et propagation
9. Régimes quasi-stationnaires et effet de peau
10. Énergie électromagnétique et Poynting

📖 1. Équations de Maxwell dans le vide

★ À maîtriser

• Les équations de Maxwell déterminent à chaque instant et en tout point les champs électrique et magnétique à partir des distributions de charges et de courants.

📐 Formule - Dans le vide, les équations locales sont $\operatorname{div}\vec{E}=\frac{\rho}{\varepsilon_0}$, $\operatorname{div}\vec{B}=0$, $\operatorname{rot}\vec{E}=-\frac{\partial\vec{B}}{\partial t}$ et $\operatorname{rot}\vec{B}=\mu_0\left(\vec{j}+\varepsilon_0\frac{\partial\vec{E}}{\partial t}\right)$.

Compléments

📌 Hors régime permanent, les champs électrique et magnétique sont couplés et constituent le champ électromagnétique.

📖 2. Formes intégrales et courant de déplacement

🔑 Notions clés & Définitions

• Courant de déplacement : Le courant de déplacement est le terme $\varepsilon_0\frac{\partial\vec{E}}{\partial t}$ ajouté à la densité volumique de courant dans l’équation de Maxwell-Ampère pour la rendre compatible avec la conservation de la charge.

★ À maîtriser

📐 Formule - Le théorème de Gauss donne, à chaque instant, $\oiint_{\Sigma}\vec{E}\cdot\mathrm{d}\vec{S}=\frac{q_{\mathrm{int}}}{\varepsilon_0}$, tandis que le flux de $\vec{B}$ à travers toute surface fermée est nul.

📐 Formule - La loi de Maxwell-Faraday s’écrit sous forme intégrale $\oint_{\Gamma}\vec{E}\cdot\mathrm{d}\vec{\ell}=-\frac{\partial\Phi}{\partial t}$, où $\Phi$ est le flux magnétique à travers une surface bordée par $\Gamma$.

📐 Formule - La loi intégrale de Maxwell-Ampère est $\oint_{\Gamma}\vec{B}\cdot\mathrm{d}\vec{\ell}=\mu_0\iint_S\left(\vec{j}+\varepsilon_0\frac{\partial\vec{E}}{\partial t}\right)\cdot\mathrm{d}\vec{S}$.

Compléments

📐 Formule - La conservation de la charge s’écrit $\frac{\partial\rho}{\partial t}+\operatorname{div}\vec{j}=0$ et implique $\operatorname{div}\left(\vec{j}+\varepsilon_0\frac{\partial\vec{E}}{\partial t}\right)=0$.

💡 Astuce mémo

La charge se conserve → le courant de déplacement complète Ampère

📖 3. Sources liées et polarisation diélectrique

🔑 Notions clés & Définitions

• Diélectrique parfait : Isolant sans charges libres ni courant de conduction, dont les propriétés électriques sont dues aux charges liées et sont décrites par sa polarisation.
• Polarisation : La polarisation $\vec{P}$ est le moment dipolaire électrique par unité de volume d’un diélectrique.

★ À maîtriser

📌 Dans les milieux matériels, les équations de Maxwell tiennent compte des charges et courants libres ainsi que des charges et courants liés, associés aux déplacements de charges dans la matière.

📐 Formule - Dans un diélectrique polarisé, la densité volumique de courant de polarisation vérifie $\vec{j}_P=\frac{\partial\vec{P}}{\partial t}$ et la densité volumique de charges de polarisation vérifie $\rho_P=-\operatorname{div}\vec{P}$.

Compléments

📐 Formule - La densité surfacique de charges de polarisation à la surface d’un diélectrique est $\sigma_P=\vec{P}\cdot\vec{n}$, où $\vec{n}$ est la normale sortante.

📖 4. Champ déplacement dans les diélectriques

🔑 Notions clés & Définitions

• Déplacement électrique : Le déplacement électrique est défini par $\vec{D}=\varepsilon_0\vec{E}+\vec{P}$ et vérifie $\operatorname{div}\vec{D}=\rho$, où $\rho$ désigne la densité volumique de charges libres.

★ À maîtriser

📐 Formule - Dans un diélectrique homogène, linéaire et isotrope, $\vec{P}=\varepsilon_0\chi\vec{E}$ et $\vec{D}=\varepsilon_0\varepsilon_r\vec{E}$, avec $\varepsilon_r=1+\chi$.

Compléments

• La susceptibilité diélectrique $\chi$ est une grandeur sans dimension.

📌 Dans un diélectrique HLI sans charges libres, $\operatorname{div}\vec{D}=0$ et $\operatorname{div}\vec{E}=0$ ; les charges de polarisation sont alors surfaciques et non volumiques.

📖 5. Conditions aux interfaces électromagnétiques

★ À maîtriser

📐 Formule - À la traversée d’une surface portant une densité de charges $\sigma$, le champ électrique vérifie $\vec{E}_2-\vec{E}_1=\frac{\sigma}{\varepsilon_0}\vec{n}_{12}$.

📐 Formule - À la traversée d’une surface portant une densité de courant $\vec{i}_s$, le champ magnétique vérifie $\vec{B}_2-\vec{B}_1=\mu_0\vec{i}_s\wedge\vec{n}_{12}$.

📌 À une interface entre deux diélectriques parfaits sans charges libres, la composante normale de $\vec{D}$ et la composante tangentielle de $\vec{E}$ sont continues, et $\vec{B}$ est continu.

Compléments

📐 Formule - À l’interface de deux diélectriques HLI, $\vec{E}_{2\mathrm{T}}=\vec{E}_{1\mathrm{T}}$ et $\varepsilon_{r2}\vec{E}_{2\mathrm{N}}=\varepsilon_{r1}\vec{E}_{1\mathrm{N}}$.

💡 Astuce mémo

La charge surfacique saute E ; le courant surfacique saute B

📖 6. Conducteur parfait et conditions de surface

🔑 Notions clés & Définitions

• Conducteur parfait : Conducteur dont la conductivité est considérée comme infinie.

★ À maîtriser

• Dans un conducteur parfait, le champ électrique est nul et le champ magnétique est constant dans le temps.

Compléments

📐 Formule - Au voisinage d’un conducteur parfait, les champs vérifient $\vec{E}(t)=\frac{\sigma(t)}{\varepsilon_0}\vec{n}$ et $\vec{B}(t)=\mu_0\vec{i}_s(t)\wedge\vec{n}$, où $\vec{n}$ est la normale dirigée vers l’extérieur du conducteur.

📖 7. Potentiels électromagnétiques et jauges

🔑 Notions clés & Définitions

• Potentiel vecteur : Le potentiel vecteur $\vec{A}$ est un champ tel que $\vec{B}=\operatorname{rot}\vec{A}$ ; il est défini à un gradient près.

★ À maîtriser

📐 Formule - Le champ électrique et les potentiels vérifient $\vec{E}+\frac{\partial\vec{A}}{\partial t}=-\operatorname{grad}V$.

📌 La jauge de Coulomb vérifie $\operatorname{div}\vec{A}=0$, tandis que la jauge de Lorentz vérifie $\operatorname{div}\vec{A}+\varepsilon_0\mu_0\frac{\partial V}{\partial t}=0$.

Compléments

📐 Formule - Une transformation de jauge $\vec{A}'=\vec{A}+\operatorname{grad}\Psi$ laisse les champs inchangés si le potentiel scalaire devient $V'=V-\frac{\partial\Psi}{\partial t}$.

📖 8. Potentiels retardés et propagation

★ À maîtriser

📐 Formule - Dans la jauge de Lorentz, les potentiels vérifient $\square V=-\frac{\rho}{\varepsilon_0}$ et $\square\vec{A}=-\mu_0\vec{j}$, avec $\square=\Delta-\varepsilon_0\mu_0\frac{\partial^2}{\partial t^2}=\Delta-\frac{1}{c^2}\frac{\partial^2}{\partial t^2}$.

📐 Formule - Les potentiels retardés sont $\vec{A}(M,t)=\frac{\mu_0}{4\pi}\iiint\frac{\vec{j}(t-PM/c)}{PM}\,\mathrm{d}\tau_P$ et $V(M,t)=\frac{1}{4\pi\varepsilon_0}\iiint\frac{\rho(t-PM/c)}{PM}\,\mathrm{d}\tau_P$.

Compléments

• La vitesse $c$ vérifie $\varepsilon_0\mu_0c^2=1$ et est interprétée comme la célérité de la lumière dans le vide et la vitesse maximale de transmission des informations.

💡 Astuce mémo

Source en P → retard PM/c → potentiel en M

📖 9. Régimes quasi-stationnaires et effet de peau

🔑 Notions clés & Définitions

• Approximation des régimes quasi-stationnaires : L’approximation des régimes quasi-stationnaires s’applique lorsque le temps caractéristique d’évolution des sources est grand devant le temps de propagation $PM/c$.

★ À maîtriser

📌 Dans l’approximation quasi-stationnaire, l’équation de Maxwell-Ampère devient $\operatorname{rot}\vec{B}=\mu_0\vec{j}$, car le courant de déplacement est négligé devant le courant de conduction.

📐 Formule - Pour un conducteur ohmique en régime forcé sinusoïdal, l’équation de diffusion du champ électrique est $\Delta\vec{E}=\mu_0\gamma\frac{\partial\vec{E}}{\partial t}$ et la profondeur de pénétration est définie par $\frac{1}{\delta}=\sqrt{\frac{\omega\mu_0\gamma}{2}}$.

Compléments

• Pour des circuits classiques, l’approximation quasi-stationnaire est typiquement utilisable jusqu’à des fréquences de l’ordre du MHz ; au-delà, les phénomènes de propagation doivent être pris en compte.

• Dans un conducteur de conductivité $\gamma$, la condition donnée pour négliger le courant de déplacement est que le temps caractéristique des variations du champ soit grand devant le temps de relaxation $\varepsilon_0/\gamma$.

• Dans le cuivre, d’une conductivité de $5{,}98\cdot10^7\ \mathrm{S\,m^{-1}}$, l’épaisseur de peau vaut 9,2 mm à 50 Hz, 2 mm à 1 kHz et 65 μm à 1 MHz.

💡 Astuce mémo

Fréquence croissante → pénétration plus faible du champ

📖 10. Énergie électromagnétique et Poynting

★ À maîtriser

📐 Formule - La puissance volumique cédée par le champ électromagnétique aux charges mobiles est $\vec{j}\cdot\vec{E}$ ; dans un conducteur ohmique, elle vaut $j^2/\gamma=\gamma E^2$ et correspond à l’effet Joule.

📐 Formule - L’identité de Poynting s’écrit $\vec{j}\cdot\vec{E}+\operatorname{div}\left(\frac{\vec{E}\wedge\vec{B}}{\mu_0}\right)+\frac{\partial}{\partial t}\left(\frac{\varepsilon_0E^2}{2}+\frac{B^2}{2\mu_0}\right)=0$.

📐 Formule - La densité volumique d’énergie électromagnétique est $u=\frac{\varepsilon_0E^2}{2}+\frac{B^2}{2\mu_0}$ et le vecteur de Poynting est $\vec{R}=\frac{\vec{E}\wedge\vec{B}}{\mu_0}$.

📐 Formule - Le bilan local d’énergie électromagnétique est $\frac{\partial u}{\partial t}+\operatorname{div}\vec{R}=-\vec{j}\cdot\vec{E}$.

Compléments

• Le flux sortant du vecteur de Poynting à travers une surface fermée représente la puissance électromagnétique qui traverse cette surface de l’intérieur vers l’extérieur.