Fiche de révision : Équations du second degré

📋 Plan du Cours

1. Forme et discriminant
2. Résolution selon le discriminant
3. Somme et produit des racines
4. Factorisation et exemple

📖 1. Forme et discriminant

🔑 Notions clés & Définitions

• Équation du second degré : Équation de la forme $ax^2+bx+c=0$, où a, b et c sont des réels avec $a\ne0$, et dont toute solution est une racine du trinôme $ax^2+bx+c$.
• Discriminant : Le discriminant du trinôme $ax^2+bx+c$ est le nombre $\Delta=b^2-4ac$.

📖 2. Résolution selon le discriminant

★ À maîtriser

📌 Si $\Delta<0$, l'équation $ax^2+bx+c=0$ n'a pas de solution réelle ; si $\Delta=0$, elle a une unique solution $x_0=-\frac{b}{2a}$ ; si $\Delta>0$, elle a deux solutions distinctes $x_1=\frac{-b-\sqrt{\Delta}}{2a}$ et $x_2=\frac{-b+\sqrt{\Delta}}{2a}$.

Compléments

• La résolution peut s'obtenir en écrivant $\left(x+\frac{b}{2a}\right)^2=\frac{\Delta}{4a^2}$, après mise sous forme canonique et division par a, avec $a\ne0$.

💡 Astuce mémo

Δ<0 : aucune racine réelle ; Δ=0 : une racine ; Δ>0 : deux racines.

📖 3. Somme et produit des racines

★ À maîtriser

📐 Formule - Pour un polynôme du second degré $ax^2+bx+c$, la somme S et le produit P de ses racines vérifient $S=-\frac{b}{a}$ et $P=\frac{c}{a}$.

Compléments

• Pour $f(x)=-2x^2+x+1$, 1 est une racine car $f(1)=0$, et le produit des racines donne la deuxième racine $x_2=-\frac12$.

💡 Astuce mémo

S = Somme, P = Produit : S = −b/a et P = c/a.

📖 4. Factorisation et exemple

📝 Points essentiels

📌 Pour $f(x)=ax^2+bx+c$, si $\Delta=0$, alors $f(x)=a(x-x_0)^2$ ; si $\Delta>0$, alors $f(x)=a(x-x_1)(x-x_2)$ ; si $\Delta<0$, f ne possède pas de forme factorisée réelle.

• Si f s'annule en −1 et 2, alors son expression factorisée est $f(x)=a(x+1)(x-2)$, et la condition $f(3)=-2$ permet ensuite de déterminer a.

💡 Astuce mémo

Racines → forme factorisée → détermination de a.

📊 Tableaux de synthèse

Signe du discriminant et factorisation