QCM : Équations du second degré (8 questions)

Question 1

1. Laquelle des équations suivantes est bien une équation du second degré ?

4x-7=0

3x^2-5x+2=0

2x^3+x-1=0

5x^2-10=0

avec un coefficient quadratique nul

Explication

Une équation du second degré s’écrit $ax^2+bx+c=0$ avec $a\ne0$ . Une équation privée de terme en $x^2$ est du premier degré, tandis qu’un terme en $x^3$ relève du troisième degré.

Answer

$$3x^2-5x+2=0$$

Question 2

2. Quel est le discriminant du trinôme $2x^2-3x+5$ ?

\Delta=-31

\Delta=29

\Delta=19

\Delta=31

Explication

Le discriminant se calcule avec $\Delta=b^2-4ac$ , donc ici $\Delta=(-3)^2-4\times2\times5=9-40=-31$ . L’expression $b^2-4ac$ ne doit pas être confondue avec les paramètres de la forme canonique.

Answer

$$\Delta=-31$$

Question 3

3. Combien de solutions réelles possède l’équation $3x^2+2x+4=0$ ?

Une unique solution réelle

Une solution réelle double et une solution distincte

Deux solutions réelles distinctes

Aucune solution réelle

Explication

Son discriminant vaut $\Delta=2^2-4\times3\times4=-44<0$ , donc l’équation n’a pas de solution réelle. Le cas $\Delta=0$ correspond à une solution unique, tandis que $\Delta>0$ donne deux solutions distinctes.

Answer

Aucune solution réelle

Question 4

4. Quelle égalité obtient-on en mettant $ax^2+bx+c=0$ sous forme canonique puis en divisant par $a$ , avec $a\ne0$ ?

\left(x+\frac{b}{2}\right)^2=\frac{\Delta}{4a}

\left(x-\frac{b}{2a}\right)^2=\frac{-\Delta}{4a^2}

\left(x+\frac{b}{a}\right)^2=\frac{\Delta}{2a}

\left(x+\frac{b}{2a}\right)^2=\frac{\Delta}{4a^2}

Explication

La mise sous forme canonique conduit à $\left(x+\frac{b}{2a}\right)^2=\frac{\Delta}{4a^2}$ . Les autres égalités modifient le coefficient du terme linéaire ou le signe et ne résultent pas de cette transformation.

Answer

$$\left(x+\frac{b}{2a}\right)^2=\frac{\Delta}{4a^2}$$

Question 5

5. Pour le polynôme $4x^2-12x+8$ , quelles sont la somme et le produit de ses racines ?

S=-3

et

P=-2

S=3

et

P=-2

S=-3

et

P=2

S=3

et

P=2

Explication

Les relations de Viète donnent $S=-\frac{b}{a}=-\frac{-12}{4}=3$ et $P=\frac{c}{a}=\frac{8}{4}=2$ . La somme utilise le signe opposé de $b$ , tandis que le produit conserve le rapport $c/a$ .

Answer

$$S=3$$ et $$P=2$$

Question 6

6. Pour $f(x)=-2x^2+x+1$ , sachant que $1$ est une racine, quelle est l’autre racine ?

\frac12

-\frac12

-2

2

Explication

La vérification $f(1)=0$ établit que $1$ est une racine. Comme le produit des racines vaut $\frac{c}{a}=\frac{1}{-2}=-\frac12$ , l’autre racine vérifie $1\times x_2=-\frac12$ , donc $x_2=-\frac12$ .

Answer

$$-\frac12$$

Question 7

7. Pour un trinôme $f(x)=ax^2+bx+c$ dont le discriminant vérifie $\Delta=0$ , quelle forme factorisée convient ?

f(x)=a(x+x_0)(x-x_0)

avec deux racines opposées

f(x)=a(x-x_1)(x-x_2)

avec deux racines distinctes

f(x)=a(x-x_0)^2

Le trinôme ne possède pas de factorisation réelle

Explication

Lorsque $\Delta=0$ , le trinôme possède une racine double, ce qui donne un facteur carré. La forme à deux facteurs distincts correspond à $\Delta>0$ , tandis que l’absence de factorisation réelle correspond à $\Delta<0$ .

Answer

$$f(x)=a(x-x_0)^2$$

Question 8

8. Une fonction quadratique s’annule en $-1$ et en $2$ , et vérifie $f(3)=-2$ ; quelle démarche permet de déterminer son expression factorisée ?

Utiliser

f(3)=-2

comme troisième racine et écrire

f(x)=a(x+1)(x-2)(x-3)

Écrire

f(x)=a(x-1)(x+2)

, puis utiliser

f(3)=-2

pour calculer

a

Écrire

f(x)=a(x+1)(x-2)

, puis utiliser

f(3)=-2

pour calculer

a

Déduire directement

a=-2

, puis écrire

f(x)=-2(x+1)(x-2)

Explication

Les zéros $-1$ et $2$ fournissent les facteurs $x+1$ et $x-2$ , donc $f(x)=a(x+1)(x-2)$ . La valeur $f(3)=-2$ sert ensuite à déterminer le coefficient $a$ , et non à créer une nouvelle racine.

Answer

Écrire $$f(x)=a(x+1)(x-2)$$, puis utiliser $$f(3)=-2$$ pour calculer $$a$$

QCM : Équations du second degré (8 questions)

Questions et réponses du QCM

1. Laquelle des équations suivantes est bien une équation du second degré ?

2. Quel est le discriminant du trinôme $2x^2-3x+5$ ?

3. Combien de solutions réelles possède l’équation $3x^2+2x+4=0$ ?

4. Quelle égalité obtient-on en mettant $ax^2+bx+c=0$ sous forme canonique puis en divisant par $a$ , avec $a\ne0$ ?

5. Pour le polynôme $4x^2-12x+8$ , quelles sont la somme et le produit de ses racines ?

6. Pour $f(x)=-2x^2+x+1$ , sachant que $1$ est une racine, quelle est l’autre racine ?

7. Pour un trinôme $f(x)=ax^2+bx+c$ dont le discriminant vérifie $\Delta=0$ , quelle forme factorisée convient ?

8. Une fonction quadratique s’annule en $-1$ et en $2$ , et vérifie $f(3)=-2$ ; quelle démarche permet de déterminer son expression factorisée ?

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QCM : Équations du second degré (8 questions)

Questions et réponses du QCM

1. Laquelle des équations suivantes est bien une équation du second degré ?

2. Quel est le discriminant du trinôme 2x2−3x+52x^2-3x+52x2−3x+5 ?

3. Combien de solutions réelles possède l’équation 3x2+2x+4=03x^2+2x+4=03x2+2x+4=0 ?

4. Quelle égalité obtient-on en mettant ax2+bx+c=0ax^2+bx+c=0ax2+bx+c=0 sous forme canonique puis en divisant par aaa, avec a≠0a\ne0a=0 ?

5. Pour le polynôme 4x2−12x+84x^2-12x+84x2−12x+8, quelles sont la somme et le produit de ses racines ?

6. Pour f(x)=−2x2+x+1f(x)=-2x^2+x+1f(x)=−2x2+x+1, sachant que 111 est une racine, quelle est l’autre racine ?

7. Pour un trinôme f(x)=ax2+bx+cf(x)=ax^2+bx+cf(x)=ax2+bx+c dont le discriminant vérifie Δ=0\Delta=0Δ=0, quelle forme factorisée convient ?

8. Une fonction quadratique s’annule en −1-1−1 et en 222, et vérifie f(3)=−2f(3)=-2f(3)=−2 ; quelle démarche permet de déterminer son expression factorisée ?

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3. Combien de solutions réelles possède l’équation $3x^2+2x+4=0$ ?

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6. Pour $f(x)=-2x^2+x+1$ , sachant que $1$ est une racine, quelle est l’autre racine ?

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8. Une fonction quadratique s’annule en $-1$ et en $2$ , et vérifie $f(3)=-2$ ; quelle démarche permet de déterminer son expression factorisée ?