QCM : Fonctions usuelles et variations (12 questions)

Question 1

1. Quelle propriété caractérise les extrema de la fonction carré ?

Elle possède un maximum égal à 0 en

x=0

et aucun minimum.

Elle possède un minimum égal à 1 en

x=0

et un maximum.

Elle possède un minimum égal à 0 en

x=1

et un maximum.

Elle possède un minimum égal à 0 en

x=0

et aucun maximum.

Explication

La fonction carré atteint sa plus petite valeur, 0, lorsque $x=0$ , et ses valeurs deviennent arbitrairement grandes. La fonction inverse constitue une notion différente, car elle n’admet aucun extremum.

Answer

Elle possède un minimum égal à 0 en $$x=0$$ et aucun maximum.

Question 2

2. Quel est le sens de variation de la fonction carré lorsqu’on parcourt la droite réelle de gauche à droite ?

Elle décroît sur

[0;+\infty[

puis croît sur

]-\infty;0]

.

Elle décroît sur

]-\infty;0]

puis croît sur

[0;+\infty[

.

Elle croît sur

]-\infty;0]

puis décroît sur

[0;+\infty[

.

Elle croît sur

]-\infty;0]

et reste constante sur

[0;+\infty[

.

Explication

Les valeurs de la fonction carré diminuent jusqu’à atteindre 0 en $x=0$ , puis elles augmentent après ce point. La croissance et la décroissance s’inversent donc de part et d’autre de l’origine.

Answer

Elle décroît sur $$]-\infty;0]$$ puis croît sur $$[0;+\infty[$$.

Question 3

3. Quel est l’ensemble de définition de la fonction définie par $f(x)=|x|$ ?

L’ensemble des nombres réels

\mathbb{R}

.

L’ensemble

\mathbb{R}\setminus\{0\}

des réels non nuls.

L’ensemble des réels strictement négatifs

]-\infty;0[

.

L’ensemble des réels positifs ou nuls

[0;+\infty[

.

Explication

La valeur absolue $|x|$ est définie pour tout nombre réel, y compris pour $x=0$ . L’ensemble $\mathbb{R}\setminus\{0\}$ correspond à la restriction de définition de la fonction inverse.

Answer

L’ensemble des nombres réels $$\mathbb{R}$$.

Question 4

4. Pour quelles valeurs de $x$ la fonction inverse définie par $f(x)=\frac{1}{x}$ existe-t-elle ?

Pour les réels strictement négatifs.

Pour tout réel

x

différent de 0.

Pour tout réel

x

, y compris

x=0

.

Pour les réels positifs ou nuls.

Explication

La division par zéro n’étant pas définie, la fonction inverse a pour domaine $\mathbb{R}\setminus\{0\}$ . Contrairement à cette fonction, la fonction carré et la valeur absolue sont définies en zéro.

Answer

Pour tout réel $$x$$ différent de 0.

Question 5

5. Que peut-on affirmer à propos des extrema de la fonction inverse ?

Elle admet un minimum et un maximum en

x=0

.

Elle n’admet ni minimum ni maximum.

Elle admet un minimum égal à 0.

Elle admet un maximum égal à 1.

Explication

Les valeurs de la fonction inverse ne permettent pas d’atteindre une plus petite ou une plus grande valeur sur son domaine. Le minimum égal à 0 est une propriété de la fonction carré, pas de la fonction inverse.

Answer

Elle n’admet ni minimum ni maximum.

Question 6

6. Quelle démarche permet de décrire les variations d’une fonction et d’obtenir ensuite un encadrement de ses valeurs ?

Dresser un tableau de variations, formuler chaque intervalle puis en déduire un encadrement.

Repérer les valeurs interdites, supprimer les intervalles concernés puis calculer une image.

Calculer une seule image, la comparer à zéro puis conclure sur tous les intervalles.

Tracer une droite horizontale, relever ses intersections puis comparer les abscisses obtenues.

Explication

Le tableau de variations synthétise l’évolution de la fonction, qui est ensuite traduite par des phrases sur chaque intervalle. Ces informations permettent alors d’établir un encadrement de $f(x)$ .

Answer

Dresser un tableau de variations, formuler chaque intervalle puis en déduire un encadrement.

Question 7

7. Dans l’exemple considéré, comment la fonction $f$ varie-t-elle sur les intervalles étudiés ?

Elle est croissante sur les deux intervalles

[-3;0]

et

[0;4]

.

Elle est décroissante sur les deux intervalles

[-3;0]

et

[0;4]

.

Elle est croissante sur

[-3;0]

puis décroissante sur

[0;4]

.

Elle est décroissante sur

[-3;0]

puis croissante sur

[0;4]

.

Explication

Le tableau de variations de l’exemple indique une augmentation entre $-3$ et $0$ , puis une diminution entre $0$ et $4$ . La confusion fréquente consiste à attribuer ces deux sens de variation aux intervalles opposés.

Answer

Elle est croissante sur $$[-3;0]$$ puis décroissante sur $$[0;4]$$.

Question 8

8. Dans le modèle $B(x)=-2x^2+160x-1400$ , que représente la valeur $B(20)$ ?

Le coût de production de 20 vélos vendus

Le nombre de vélos nécessaires pour obtenir 20 euros

Le nombre de jours nécessaires pour produire 20 vélos

Le bénéfice obtenu pour 20 vélos produits et vendus

Explication

La fonction $B$ associe à chaque nombre de vélos $x$ le bénéfice correspondant, exprimé en euros. Confondre $B(20)$ avec un nombre de vélos revient à inverser le rôle de la variable et celui de son image.

Answer

Le bénéfice obtenu pour 20 vélos produits et vendus

Question 9

9. Quel intervalle décrit les valeurs possibles de $x$ dans ce modèle de production de vélos ?

[5;100]

\mathbb{R}

[-100;100]

[0;+infty[ ]

Explication

Le modèle considère une production comprise entre 5 et 100 vélos par jour, donc $x\in[5;100]$ . L’ensemble $\mathbb{R}$ conviendrait à une fonction mathématique générale, mais il ne traduit pas ici les contraintes de production.

Answer

$$[5;100]$$

Question 10

10. Quelle affirmation décrit correctement le bénéfice maximal sur l’intervalle $[5;100]$ ?

Il vaut 1400 euros pour une production de 20 vélos.

Il vaut 1800 euros pour une production de 40 vélos.

Il vaut 1600 euros pour une production de 40 vélos.

Il vaut 1800 euros pour une production de 80 vélos.

Explication

Sur l’intervalle étudié, le sommet de la parabole donne un bénéfice maximal de 1800 euros atteint pour 40 vélos, ce qui s’écrit $B(x)\leq1800$ . Une production de 80 vélos ne correspond pas à l’abscisse du maximum dans ce modèle.

Answer

Il vaut 1800 euros pour une production de 40 vélos.

Question 11

11. Quelle démarche permet de relier une formule de fonction à sa courbe représentative ?

Lire une seule image, placer son point, puis prolonger une droite horizontale.

Choisir plusieurs abscisses, les placer sur l’axe vertical, puis tracer une courbe quelconque.

Additionner les abscisses, placer les résultats, puis relier les points par des segments.

Calculer des images, placer les points correspondants, puis tracer une courbe adaptée.

Explication

On calcule plusieurs valeurs $f(x)$ , on place les points de coordonnées $(x;f(x))$ , puis on les relie par une courbe adaptée. Une seule image ou une courbe choisie sans tenir compte des points ne suffit pas à représenter correctement la fonction.

Answer

Calculer des images, placer les points correspondants, puis tracer une courbe adaptée.

Question 12

12. Quelle égalité illustre que deux nombres opposés ont la même image par la fonction carré ?

f(-1,5)=f(0,5)=0,25

f(-1,5)=-f(1,5)=2,25

f(-2)=f(1)=4

f(-1,5)=f(1,5)=2,25

Explication

Pour la fonction carré, un nombre et son opposé ont la même image, car $(-x)^2=x^2$ ; ainsi $f(-1,5)=f(1,5)=2,25$ . Les autres égalités associent des nombres qui ne sont pas opposés ou attribuent une valeur carrée incorrecte.

Answer

$$f(-1,5)=f(1,5)=2,25$$

QCM : Fonctions usuelles et variations (12 questions)

Questions et réponses du QCM

1. Quelle propriété caractérise les extrema de la fonction carré ?

2. Quel est le sens de variation de la fonction carré lorsqu’on parcourt la droite réelle de gauche à droite ?

3. Quel est l’ensemble de définition de la fonction définie par $f(x)=|x|$ ?

4. Pour quelles valeurs de $x$ la fonction inverse définie par $f(x)=\frac{1}{x}$ existe-t-elle ?

5. Que peut-on affirmer à propos des extrema de la fonction inverse ?

6. Quelle démarche permet de décrire les variations d’une fonction et d’obtenir ensuite un encadrement de ses valeurs ?

7. Dans l’exemple considéré, comment la fonction $f$ varie-t-elle sur les intervalles étudiés ?

8. Dans le modèle $B(x)=-2x^2+160x-1400$ , que représente la valeur $B(20)$ ?

9. Quel intervalle décrit les valeurs possibles de $x$ dans ce modèle de production de vélos ?

10. Quelle affirmation décrit correctement le bénéfice maximal sur l’intervalle $[5;100]$ ?

11. Quelle démarche permet de relier une formule de fonction à sa courbe représentative ?

12. Quelle égalité illustre que deux nombres opposés ont la même image par la fonction carré ?

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QCM : Fonctions usuelles et variations (12 questions)

Questions et réponses du QCM

1. Quelle propriété caractérise les extrema de la fonction carré ?

2. Quel est le sens de variation de la fonction carré lorsqu’on parcourt la droite réelle de gauche à droite ?

3. Quel est l’ensemble de définition de la fonction définie par f(x)=∣x∣f(x)=|x|f(x)=∣x∣ ?

4. Pour quelles valeurs de xxx la fonction inverse définie par f(x)=1xf(x)=\frac{1}{x}f(x)=x1​ existe-t-elle ?

5. Que peut-on affirmer à propos des extrema de la fonction inverse ?

6. Quelle démarche permet de décrire les variations d’une fonction et d’obtenir ensuite un encadrement de ses valeurs ?

7. Dans l’exemple considéré, comment la fonction fff varie-t-elle sur les intervalles étudiés ?

8. Dans le modèle B(x)=−2x2+160x−1400B(x)=-2x^2+160x-1400B(x)=−2x2+160x−1400, que représente la valeur B(20)B(20)B(20) ?

9. Quel intervalle décrit les valeurs possibles de xxx dans ce modèle de production de vélos ?

10. Quelle affirmation décrit correctement le bénéfice maximal sur l’intervalle [5;100][5;100][5;100] ?

11. Quelle démarche permet de relier une formule de fonction à sa courbe représentative ?

12. Quelle égalité illustre que deux nombres opposés ont la même image par la fonction carré ?

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4. Pour quelles valeurs de $x$ la fonction inverse définie par $f(x)=\frac{1}{x}$ existe-t-elle ?

7. Dans l’exemple considéré, comment la fonction $f$ varie-t-elle sur les intervalles étudiés ?

8. Dans le modèle $B(x)=-2x^2+160x-1400$ , que représente la valeur $B(20)$ ?

9. Quel intervalle décrit les valeurs possibles de $x$ dans ce modèle de production de vélos ?

10. Quelle affirmation décrit correctement le bénéfice maximal sur l’intervalle $[5;100]$ ?