Équations du second degré

📋 Plan du Cours

1. Forme et discriminant
2. Résolution selon le discriminant
3. Somme et produit des racines
4. Factorisation et exemple

📖 1. Forme et discriminant

🔑 Notions clés & Définitions

• Équation du second degré : Équation de la forme $ax^2+bx+c=0$, où a, b et c sont des réels avec $a\ne0$, et dont toute solution est une racine du trinôme $ax^2+bx+c$.
• Discriminant : Le discriminant du trinôme $ax^2+bx+c$ est le nombre $\Delta=b^2-4ac$.

📖 2. Résolution selon le discriminant

★ À maîtriser

📌 Si $\Delta<0$, l'équation $ax^2+bx+c=0$ n'a pas de solution réelle ; si $\Delta=0$, elle a une unique solution $x_0=-\frac{b}{2a}$ ; si $\Delta>0$, elle a deux solutions distinctes $x_1=\frac{-b-\sqrt{\Delta}}{2a}$ et $x_2=\frac{-b+\sqrt{\Delta}}{2a}$.

Compléments

• La résolution peut s'obtenir en écrivant $\left(x+\frac{b}{2a}\right)^2=\frac{\Delta}{4a^2}$, après mise sous forme canonique et division par a, avec $a\ne0$.

💡 Astuce mémo

Δ<0 : aucune racine réelle ; Δ=0 : une racine ; Δ>0 : deux racines.

📖 3. Somme et produit des racines

★ À maîtriser

📐 Formule - Pour un polynôme du second degré $ax^2+bx+c$, la somme S et le produit P de ses racines vérifient $S=-\frac{b}{a}$ et $P=\frac{c}{a}$.

Compléments